ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 86
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Def.
Скалярным произведением называется функция
ν : L × L −→ R (то есть функция, сопоставляющая паре векторов пространства веще- ственное число
), такая что
∀ a, b, c ∈ L, ∀ α, β ∈ R выполнены свойства:
1. Линейность: ν(αa + βb, c) = αν(a, c) + βν(b, c).
Это свойство можно разбить на два, рассматривая их отдельно:
• ν(a + b, c) = ν(a, c) + ν(b, c)
• ν(αa, b) = αν(a, b)
2. Симметричность: ν(a, b) = ν(b, a).
3. Положительная определённость: ν(a, a) > 0 при a ̸= 0.
Обозначение: ν(a, b) = (a, b).
Замечание.
Скалярным произведение называется и функция из второго определения, и чис- ло (a, b), т.е. результат применения этой функции к паре векторов.
Примеры
1. Известное пространство геометрических векторов V
3
с привычным скалярным произведе- нием (a, b) = |a| · |b| · cos( ˆ
a, b)
Свойства из определения скалярного произведения были доказаны в лекциях предыдуще- го семестра. Собственно говоря, как произвольное линейное пространство можно рассмат- ривать как обобщение пространства V
3
, так и приведённое в начале лекции определение скалярного произведения является обобщением скалярного произведения в V
3 2. R
n
, a = (a
1
, a
2
, ..., a n
)
T
, b = (b
1
, b
2
, ..., b n
)
T
, (a, b) = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ... + a n
b n
Такое скалярное произведение в R
n считается стандартным.
3. В пространстве F функций, непрерывных на отрезке [a, b], можно задать скалярное произ- ведение следующим образом:
(f, g) =
b
R
a f (x) · g(x)dx
(выполнение свойств скалярного произведения проверьте самостоятельно)
Теорема 1 (Неравенство Коши-Буняковского)
. ∀ x, y ∈ V (x, y)
2
≤ (x, x)(y, y)
Доказательство.
Рассмотрим скалярный квадрат вектора x + αy, α ∈ R:
1
(x + αy, x + αy) = (x, x) + 2α(x, y) + α
2
(y, y) ≥ 0
(по свойству 3).
=⇒
дискриминант уравнения относительно α: D = (x, y)
2
− (x, x)(y, y) ≤ 0
=⇒ (x, y)
2
≤ (x, x)(y, y)
Def.
Нормой вектора x называется величина ∥x∥ = p(x, x). Норма обобщает понятие длины вектора.
В новых обозначениях неравенство Коши-Буняковского будет выглядеть так:
(x, y)
2
≤ ∥x∥
2
∥y∥
2
Замечание.
Поскольку (x, y)
2
≤ ∥x∥
2
∥y∥
2
⇐⇒ |(x, y)| ≤ ∥x∥∥y∥ ⇐⇒
|(x,y)|
∥x∥∥y∥
≤ 1 ⇐⇒
⇐⇒ −1 ≤
(x,y)
∥x∥∥y∥
≤ 1
, дробь
(x,y)
∥x∥∥y∥
можно назвать ”косинусом угла” между векторами x и y.
В таком случае (x, y) = ∥x∥∥y∥cos( ˆ
x, y)
Def.
Векторы x, y ∈ L называются ортогональными, если (x, y) = 0. Обозначение: x ⊥ y.
Def.
Базис g
1
, g
2
, ...g n
евклидова пространства L называется ортогональным, если g i
⊥ g j
при i ̸= j
Def.
Ортогональный базис g называется ортонормированным, если ∥g i
∥ = 1 ∀ i = 1...n
Свойства
1. Вектор θ ортогонален всем векторам линейного пространства.
2. Если (x, x) = 0, то x = θ
Докажите самостоятельно.
Замечание.
Из определений нормы и ортогональности следует теорема Пифагора:
(x, y) = 0 =⇒ ∥x + y∥
2
= ∥x∥
2
+ ∥y∥
2
Теорема 2 (неравенство Минковского)
. При любых x, y из евклидова пространства L
верно:
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥
Данное утверждение это аналог неравенства треугольника для евклидова пространства.
Доказательство.
∥x + y∥
2
= (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y)
Далее, согласно неравенству Коши-Буняковского для (x, y):
∥x + y∥
2
≤ (x, x) + 2∥x∥∥y∥ + (y, y) = ∥x∥
2
+ 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥
2
= (∥x∥ + ∥y∥)
2
Следовательно, ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Примеры
2
1. V
3
. Неравенство треугольника в ”чистом виде”
2. R
n
∥x + y∥ =
p(x
1
+ y
1
)
2
+ ... + (x n
+ y n
)
2
≤
px
2 1
+ ... + x
2
n
+
py
2 1
+ ... + y
2
n
= ∥x∥ + ∥y∥
3. F , (f, g) =
b
R
a f (x) · g(x)dx s
b
R
a
(f (x) + g(x))
2
dx ≤
s b
R
a f
2
(x)dx +
s b
R
a g
2
(x)dx
Расстояние между векторами
Def.
Пусть x, y ∈ L. Расстоянием между векторами x и y будем называть величину ρ(x, y) =
∥y − x∥
Свойства.
1. ρ(x, y) = ρ(y, x)
2. ρ(x, y) ≥ 0
Первые два свойства следуют из определения нормы и скалярного произведения.
3. Расстояние удовлетворяет неравенству треугольника:
∀ x, y, z ∈ L ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
Следует из неравенства Минковского.
Перпендикуляр из вектора на подпространство. Расстояние от вектора до подпространства
Def.
Пусть U ≤ V . Будем говорить, что вектор x ∈ V ортогонален подпространству U (x ⊥ U),
если для любого элемента y ∈ U верно, что (x, y) = 0.
Заметим, что, если u
1
, u
2
, ..., u m
−
базис U, то
(x, y) = (x, y
1
u
1
+ y
2
u
2
+ ... + y m
u m
) = y
1
(x, u
1
) + y
2
(x, u
2
) + ... + y m
(x, u m
)
,
т.е. для того чтобы вектор был ортогонален подпространству достаточно, чтобы он был ор- тогонален базису этого подпространства.
Теперь пусть x /∈ U, x
0
∈ U, x−x
0
= h ⊥ U
. Тогда вектор x
0
называется проекцией вектора x на подпространство U
3
По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Евклидово пространство
• Скалярное произведение
• Норма ветора
• Ортогональность
• Ортогональный и ортонормированный базисы
• Расстояние между векторами
• Проекция вектора на подпространство
• Перпендикуляр из вектора на подпространство
• Расстояние от вектора до подпространства
• Матрица Грама
2. Неравенство Коши-Буняковского
3. Неравенство Минковского
4. Условие равенства нулю матрицы Грама
5. Примеры скалярного произведения
6
Ортогонализация
Напомним, что базис называется ортонормированным, если все его векторы единичной длины и попарно ортогональны, т.е. (e i
, e j
= 0)
при i ̸= j.
Теорема 1.
Если ненулевые векторы e
1
, e
2
, ..., e n
попарно ортогональны, то они линейно неза- висимы.
Доказательство.
Составим линейную комбинацию данных векторов:
λ
1
e
1
+ λ
2
e
2
+ ... + λ
n e
n
= θ
Умножим скалярно обе части равенства на e
1
, получим:
λ
1
(e
1
, e
1
) = 0
Поскольку e
1
̸= θ
, получаем, что λ
1
= 0.
Умножая скалярно линейную комбинацию на λ
2
, ...λ
n
, получим, что и оставшиеся коэффици- енты равны 0. Следовательно, векторы линейно независимы. Теорема доказана.
Теорема 2.
В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.
Доказательство.
Действительно, пусть e
1
, e
2
, ..., e n
−
ортонормированный базис евклидова пространства L. Возь- мём два вектора этого пространства x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ ... + x n
e n
, y = y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ ... + y n
e n
и запишем их скалярное произведение:
(x, y) = (x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ ... + x n
e n
, y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ ... + y n
e n
)
Разобьём это скалярное произведение на составляющие по свойству линейности и, учитывая попарную ортогональность векторов и их нормированность, получим:
x
1
y
1
(e
1
, e
1
) + x
2
y
2
(e
2
, e
2
) + ... + x n
y n
(e n
, e n
) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x n
y n
,
что и требовалось получить.
Если есть два линейно независимых вектора f
1
, f
2
, то с их помощью всегда можно получить пару ортогональных векторов.
В качестве первого вектора выбираем любой вектор из данных двух, например, f
1
, т.е. e
1
= f
1
Затем строим второй вектор e
2
= f
2
+ α
1
e
1
, причем α
1
выбираем так, чтобы выполнялось требуемое условие: (e
1
, e
2
) = 0 ⇐⇒ (e
1
, f
2
+α
1
e
1
) = 0 ⇐⇒ α
1
(e
1
, e
1
)+(e
1
, f
2
) = 0
, т.е. α
1
= −
(e
1
,f
2
)
(e
1
,e
1
)
Аналогично можно поступить с тремя линейно независиммыми веторами и так далее. Этот приём лежит в основе метода ортогонализации Грама-Шмидта.
Теорема 3.
В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормирован- ный базис.
Доказательство.
1
На основе исходного базиса f
1
, f
2
, ..., f n
(то, что такой базис существует, было доказано ранее)
построим ортогональный базис e, используя следующие равенства:
e
1
= f
1
,
e
2
= f
2
−
(e
1
,f
2
)
(e
1
,e
1
)
e
1
,
e n
= f n
−
n−1
P
i=1
(f n
,e i
)
(e i
,e i
)
· e i
Необходимо показать, что ни один из последовательно вычисляемых векторов не является нулевым и что все векторы e i
(i = 1, 2, ..., n)
попарно ортогональны.
Воспользуемся методом математической индукции для k = 1, ..., n.
При k = 1 имеем один ненулевой вектор.
Далее, пусть e
1
, e
2
, ..., e k
−
ненулевые векторы, образующие ортогональную систему (т.е. по- парно ортогональные). Построим (k + 1)−й вектор:
e k+1
= f k+1
−
k+1
P
i=1
(f k+1
,e i
)
(e i
,e i
)
· e i
Если e k+1
= 0,
то f k+1
является линейной комбинацией векторов e
1
, ..., e k
, которые по заданию алгоритма выражаются через векторы f
1
, ..., f k
. Получается, что векторы f
1
, ..., f k
, f k+1
линейно зависимы, что невозможно, так как они являются частью базиса.
Теперь покажем, что e k+1
⊥ e j
для j = 1, 2, ..., k. Для этого последовательно скалярно умно- жим e k+1
на e j
при j = 1, 2, ..., k:
(e k+1
, e j
) = (f k+1
−
k
P
i=1
(f k+1
,e i
)
(e i
,e i
)
· e i
, e j
) = (f k+1
, e j
) −
(f k+1
,e j
)
(e j
,e j
)
(e j
, e j
) = 0
(поясните, почему из всей суммы осталось только одно слагаемое)
Мы построили ортогональный базис. Чтобы построить ортонормированный, разделим каж- дый вектор нового базиса на его норму:
e i
∥e i
∥
Теорема доказана.
Теорема 4.
Если e i
.e
2
, ..., e n
−
ортогональный базис и a = α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ...α
n e
n
, то
α
i
=
(a, e i
)
(e
1
, e i
)
, i = 1, 2, ..., n.
Доказательство.
(a, e i
) = (α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ...α
n e
n
, e i
) = α
i
(e i
, e i
)
,
откуда получаем необходимое равенство при i = 1, 2, ..., n.
Def.
Вектор
(a,b)
(b,b)
b называется проекцией вектора a на вектор b.
2
Исходя из этого определения и теоремы 4, заключаем, что любой вектор равен сумме своих проекций на векторы базиса.
Примеры
1. Ортонормируем многочлены f
1
= x − 1
и f
2
= x
2
+ 1
в евклидовом пространстве R
n
[x]
со скалярным произведением (f, g) =
1
R
−1
f (x) · g(x)dx g
1
= f
1
g
2
= f
2
−
(f
2
,g
1
)
(g
1
,g
1
)
g
1
(f
2
, g
1
) =
1
R
−1
(x
3
− x
2
+ x − 1)dx =
x
4 4
−
x
3 3
+
x
2 2
− 1|
1
−1
= −
2 3
− 2 = −
8 3
(g
1
, g
1
) =
1
R
−1
(x − 1)
2
dx =
1 3
(x − 1)
3
|
1
−1
=
8 3
Таким образом, g
2
= x
2
+ 1 + x − 1 = x
2
+ x
Для нормирования нужно определить векторы g
1
∥g
1
∥
и g
2
∥g
2
∥
2. В пространстве M
x×2
(R)
зададим скалярное произведение как сумму произведений одно- имённых элементов матриц.
Ортогонализируем матрицы A
1
=
1 1 1
1
и A
2
=
1 0 0
1
(A
1
, A
2
) = 2, (A
1
, A
1
) = 4
,
B
1
= A
1
B
2
= A
2
−
(A
2
,B
1
)
(B
1
,B
1
)
B
1
= A
2
−
1 2
B
1
=
1 2
−
1 2
−
1 2
1 2
Псевдорешение
Пусть система линейных уравнений
a
11
a
12
a
1m b
1
a
21
a
22
a
2m b
2
a n1
a n2
a nm b
n
∼
несовместна.
Перепишем её в виде линейной комбинации столбцов (т.е. векторов пространства R
n
) :
x
1
a
11
a
21
a n1
+ x
2
a
12
a
22
a n2
+ ... + x m
a
1m a
2m a
nm
=
b
1
b
2
b n
3
Будем считать, что столбцы в левой части линейно независимы. Тогда они образуют базис ли- нейного пространства размерности m (по числу векторов), обозначим его как L
m
, а сами столбцы как ϕ
1
, ϕ
2
, ..., ϕ
m
Тогда получается, что вектор b = (b
1
, b
2
, ..., b n
)
T
не является линейной комбинацией векторов
ϕ
1
, ϕ
2
, ..., ϕ
m
, т.е. не принадлежит пространству L
m
Пусть b
0
−
проекция b на L
m
. Будем решать систему
a
11
a
12
a
1m b
01
a
21
a
22
a
2m b
02
a n1
a n2
a nm b
0n
,
т.е. с вектором b
0
в правой части. Эта система будет иметь решение, так как b
0
выражается через базис L
m
Решение x
∗
новой системы называется псевдорешением исходной системы уравнений. Та- ким образом, задача сводится к нахождению проекции вектора на подпространство.
Пусть b
0
= β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
Так как (b−b
0
) ⊥ ϕ
i
(как перпендикуляр к подпространству), то получим систему уравнений:
(b − b
0
, ϕ
i
) = 0 ⇐⇒ (b, ϕ
i
) = (b
0
, ϕ
i
), i = 1, 2, ..., m
Запишем эту систему:
(β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
, ϕ
1
) = (b, ϕ
1
),
(β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
, ϕ
2
) = (b, ϕ
2
),
(β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
, ϕ
m
) = (b, ϕ
m
).
Если базис ϕ
1
, ϕ
2
, ..., ϕ
m ортонормировать, то в новом ортонормированном базисе e
1
, e
2
, ..., e m
вектор b
0
можно найти по формуле b
0
=
m
P
i=1
(b
0
, e i
)e i
=
m
P
i=1
(b, e i
)e i
= (b
01
, b
02
, ..., b
0m
)
T
Пример
Найдём псевдорешение системы
Скалярным произведением называется функция
ν : L × L −→ R (то есть функция, сопоставляющая паре векторов пространства веще- ственное число
), такая что
∀ a, b, c ∈ L, ∀ α, β ∈ R выполнены свойства:
1. Линейность: ν(αa + βb, c) = αν(a, c) + βν(b, c).
Это свойство можно разбить на два, рассматривая их отдельно:
• ν(a + b, c) = ν(a, c) + ν(b, c)
• ν(αa, b) = αν(a, b)
2. Симметричность: ν(a, b) = ν(b, a).
3. Положительная определённость: ν(a, a) > 0 при a ̸= 0.
Обозначение: ν(a, b) = (a, b).
Замечание.
Скалярным произведение называется и функция из второго определения, и чис- ло (a, b), т.е. результат применения этой функции к паре векторов.
Примеры
1. Известное пространство геометрических векторов V
3
с привычным скалярным произведе- нием (a, b) = |a| · |b| · cos( ˆ
a, b)
Свойства из определения скалярного произведения были доказаны в лекциях предыдуще- го семестра. Собственно говоря, как произвольное линейное пространство можно рассмат- ривать как обобщение пространства V
3
, так и приведённое в начале лекции определение скалярного произведения является обобщением скалярного произведения в V
3 2. R
n
, a = (a
1
, a
2
, ..., a n
)
T
, b = (b
1
, b
2
, ..., b n
)
T
, (a, b) = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ... + a n
b n
Такое скалярное произведение в R
n считается стандартным.
3. В пространстве F функций, непрерывных на отрезке [a, b], можно задать скалярное произ- ведение следующим образом:
(f, g) =
b
R
a f (x) · g(x)dx
(выполнение свойств скалярного произведения проверьте самостоятельно)
Теорема 1 (Неравенство Коши-Буняковского)
. ∀ x, y ∈ V (x, y)
2
≤ (x, x)(y, y)
Доказательство.
Рассмотрим скалярный квадрат вектора x + αy, α ∈ R:
1
(x + αy, x + αy) = (x, x) + 2α(x, y) + α
2
(y, y) ≥ 0
(по свойству 3).
=⇒
дискриминант уравнения относительно α: D = (x, y)
2
− (x, x)(y, y) ≤ 0
=⇒ (x, y)
2
≤ (x, x)(y, y)
Def.
Нормой вектора x называется величина ∥x∥ = p(x, x). Норма обобщает понятие длины вектора.
В новых обозначениях неравенство Коши-Буняковского будет выглядеть так:
(x, y)
2
≤ ∥x∥
2
∥y∥
2
Замечание.
Поскольку (x, y)
2
≤ ∥x∥
2
∥y∥
2
⇐⇒ |(x, y)| ≤ ∥x∥∥y∥ ⇐⇒
|(x,y)|
∥x∥∥y∥
≤ 1 ⇐⇒
⇐⇒ −1 ≤
(x,y)
∥x∥∥y∥
≤ 1
, дробь
(x,y)
∥x∥∥y∥
можно назвать ”косинусом угла” между векторами x и y.
В таком случае (x, y) = ∥x∥∥y∥cos( ˆ
x, y)
Def.
Векторы x, y ∈ L называются ортогональными, если (x, y) = 0. Обозначение: x ⊥ y.
Def.
Базис g
1
, g
2
, ...g n
евклидова пространства L называется ортогональным, если g i
⊥ g j
при i ̸= j
Def.
Ортогональный базис g называется ортонормированным, если ∥g i
∥ = 1 ∀ i = 1...n
Свойства
1. Вектор θ ортогонален всем векторам линейного пространства.
2. Если (x, x) = 0, то x = θ
Докажите самостоятельно.
Замечание.
Из определений нормы и ортогональности следует теорема Пифагора:
(x, y) = 0 =⇒ ∥x + y∥
2
= ∥x∥
2
+ ∥y∥
2
Теорема 2 (неравенство Минковского)
. При любых x, y из евклидова пространства L
верно:
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥
Данное утверждение это аналог неравенства треугольника для евклидова пространства.
Доказательство.
∥x + y∥
2
= (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y)
Далее, согласно неравенству Коши-Буняковского для (x, y):
∥x + y∥
2
≤ (x, x) + 2∥x∥∥y∥ + (y, y) = ∥x∥
2
+ 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥
2
= (∥x∥ + ∥y∥)
2
Следовательно, ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Примеры
2
1. V
3
. Неравенство треугольника в ”чистом виде”
2. R
n
∥x + y∥ =
p(x
1
+ y
1
)
2
+ ... + (x n
+ y n
)
2
≤
px
2 1
+ ... + x
2
n
+
py
2 1
+ ... + y
2
n
= ∥x∥ + ∥y∥
3. F , (f, g) =
b
R
a f (x) · g(x)dx s
b
R
a
(f (x) + g(x))
2
dx ≤
s b
R
a f
2
(x)dx +
s b
R
a g
2
(x)dx
Расстояние между векторами
Def.
Пусть x, y ∈ L. Расстоянием между векторами x и y будем называть величину ρ(x, y) =
∥y − x∥
Свойства.
1. ρ(x, y) = ρ(y, x)
2. ρ(x, y) ≥ 0
Первые два свойства следуют из определения нормы и скалярного произведения.
3. Расстояние удовлетворяет неравенству треугольника:
∀ x, y, z ∈ L ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
Следует из неравенства Минковского.
Перпендикуляр из вектора на подпространство. Расстояние от вектора до подпространства
Def.
Пусть U ≤ V . Будем говорить, что вектор x ∈ V ортогонален подпространству U (x ⊥ U),
если для любого элемента y ∈ U верно, что (x, y) = 0.
Заметим, что, если u
1
, u
2
, ..., u m
−
базис U, то
(x, y) = (x, y
1
u
1
+ y
2
u
2
+ ... + y m
u m
) = y
1
(x, u
1
) + y
2
(x, u
2
) + ... + y m
(x, u m
)
,
т.е. для того чтобы вектор был ортогонален подпространству достаточно, чтобы он был ор- тогонален базису этого подпространства.
Теперь пусть x /∈ U, x
0
∈ U, x−x
0
= h ⊥ U
. Тогда вектор x
0
называется проекцией вектора x на подпространство U
3
h
x
0
x
Теорема 3.
Если x
0
−
проекция x на подпространство U, x
1
∈ U, x
1
̸= x
0
, то
∥x − x
0
∥ ≤ ∥x − x
1
∥
Доказательство.
По теореме Пифагора (так как (x − x
0
) ⊥ (x
0
− x
1
) ∈ U
):
∥x − x
1
∥
2
= ∥x − x
0
+ x
0
− x
1
∥
2
= ∥x − x
0
∥
2
+ ∥x
0
− x
1
∥
2
,
т.е. ∥x − x
0
∥ ≤ ∥x − x
1
∥.
Теорема 4.
Пусть U ≤ V , x /∈ U. Тогда существует единственный вектор x
0
∈ U : (x−x
0
) ⊥ U.
Доказательство.
Пусть g
1
, g
2
, ..., g m
−
базис U, x
0
∈ U.
Тогда x
0
= α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
Если (x − x
0
) ⊥ U
, то в частности:
(x − x
0
, e
1
) = 0, (x − x
0
, e
2
) = 0, ..., (x − x
0
, e m
) = 0
,
т.е. мы получаем систему из m уравнений с m неизвестными:
(α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
, e
1
) = (x, e
1
),
(α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
, e
2
) = (x, e
2
),
(α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
, e m
) = (x, e m
).
Разложим левые части уравнений в сумму m скалярных произведений по свойству линейно- сти и запишем матрицу коэффициентов этой системы уравнений:
(e
1
, e
1
)
(e
2
, e
1
)
(e m
, e
1
)
(e
1
, e
2
)
(e
2
, e
2
)
(e m
, e
2
)
(e
1
, e m
)
(e
2
, e m
)
(e m
, e m
)
= A
Её определитель не может быть равен нулю. В противном случае нашлась бы строка, выра- жающаяся через другие с коэффициентами λ
1
, ..., λ
m
, например, первая. Вычтем из неё соответ- ствующую линейную комбинацию, получим строку:
(e
1
, e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
)
(e
2
, e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
)
(e m
, e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
)
,
4
x
0
x
Теорема 3.
Если x
0
−
проекция x на подпространство U, x
1
∈ U, x
1
̸= x
0
, то
∥x − x
0
∥ ≤ ∥x − x
1
∥
Доказательство.
По теореме Пифагора (так как (x − x
0
) ⊥ (x
0
− x
1
) ∈ U
):
∥x − x
1
∥
2
= ∥x − x
0
+ x
0
− x
1
∥
2
= ∥x − x
0
∥
2
+ ∥x
0
− x
1
∥
2
,
т.е. ∥x − x
0
∥ ≤ ∥x − x
1
∥.
Теорема 4.
Пусть U ≤ V , x /∈ U. Тогда существует единственный вектор x
0
∈ U : (x−x
0
) ⊥ U.
Доказательство.
Пусть g
1
, g
2
, ..., g m
−
базис U, x
0
∈ U.
Тогда x
0
= α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
Если (x − x
0
) ⊥ U
, то в частности:
(x − x
0
, e
1
) = 0, (x − x
0
, e
2
) = 0, ..., (x − x
0
, e m
) = 0
,
т.е. мы получаем систему из m уравнений с m неизвестными:
(α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
, e
1
) = (x, e
1
),
(α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
, e
2
) = (x, e
2
),
(α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
, e m
) = (x, e m
).
Разложим левые части уравнений в сумму m скалярных произведений по свойству линейно- сти и запишем матрицу коэффициентов этой системы уравнений:
(e
1
, e
1
)
(e
2
, e
1
)
(e m
, e
1
)
(e
1
, e
2
)
(e
2
, e
2
)
(e m
, e
2
)
(e
1
, e m
)
(e
2
, e m
)
(e m
, e m
)
= A
Её определитель не может быть равен нулю. В противном случае нашлась бы строка, выра- жающаяся через другие с коэффициентами λ
1
, ..., λ
m
, например, первая. Вычтем из неё соответ- ствующую линейную комбинацию, получим строку:
(e
1
, e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
)
(e
2
, e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
)
(e m
, e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
)
,
4
где все элементы – нули.
Таким образом, нашёлся вектор e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
∈ U
, ортогональный всем элементам базиса и, следовательно, всем векторам подпространства. Этим вектором может быть только θ,
т.е.
e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
= θ
и элементы линейно зависимы, что невозможно, так как это базис
Следовательно, решение единственно, а, значит, у каждого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство.
Def.
Матрица A из доказательства теоремы 4 называется матрицей Грама векторов e
1
, e
2
, ..., e n
В процессе доказательства теоремы было получено важное свойство: определитель матрицы
Грама равен нулю, тогда и только тогда, когда векторы e
1
, e
2
, ..., e n
линейно зависимы. Поясните самостоятельно.
Def.
Вектор h = x − x
0
,
, где x
0
−
проекция вектора x на подпространство U, называется пер- пендикуляром из вектора x на подпространство U. Расстоянием от вектора до подпространства называется длина такого перпендикуляра.
5
Таким образом, нашёлся вектор e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
∈ U
, ортогональный всем элементам базиса и, следовательно, всем векторам подпространства. Этим вектором может быть только θ,
т.е.
e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
m e
m
= θ
и элементы линейно зависимы, что невозможно, так как это базис
Следовательно, решение единственно, а, значит, у каждого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство.
Def.
Матрица A из доказательства теоремы 4 называется матрицей Грама векторов e
1
, e
2
, ..., e n
В процессе доказательства теоремы было получено важное свойство: определитель матрицы
Грама равен нулю, тогда и только тогда, когда векторы e
1
, e
2
, ..., e n
линейно зависимы. Поясните самостоятельно.
Def.
Вектор h = x − x
0
,
, где x
0
−
проекция вектора x на подпространство U, называется пер- пендикуляром из вектора x на подпространство U. Расстоянием от вектора до подпространства называется длина такого перпендикуляра.
5
По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Евклидово пространство
• Скалярное произведение
• Норма ветора
• Ортогональность
• Ортогональный и ортонормированный базисы
• Расстояние между векторами
• Проекция вектора на подпространство
• Перпендикуляр из вектора на подпространство
• Расстояние от вектора до подпространства
• Матрица Грама
2. Неравенство Коши-Буняковского
3. Неравенство Минковского
4. Условие равенства нулю матрицы Грама
5. Примеры скалярного произведения
6
Ортогонализация
Напомним, что базис называется ортонормированным, если все его векторы единичной длины и попарно ортогональны, т.е. (e i
, e j
= 0)
при i ̸= j.
Теорема 1.
Если ненулевые векторы e
1
, e
2
, ..., e n
попарно ортогональны, то они линейно неза- висимы.
Доказательство.
Составим линейную комбинацию данных векторов:
λ
1
e
1
+ λ
2
e
2
+ ... + λ
n e
n
= θ
Умножим скалярно обе части равенства на e
1
, получим:
λ
1
(e
1
, e
1
) = 0
Поскольку e
1
̸= θ
, получаем, что λ
1
= 0.
Умножая скалярно линейную комбинацию на λ
2
, ...λ
n
, получим, что и оставшиеся коэффици- енты равны 0. Следовательно, векторы линейно независимы. Теорема доказана.
Теорема 2.
В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.
Доказательство.
Действительно, пусть e
1
, e
2
, ..., e n
−
ортонормированный базис евклидова пространства L. Возь- мём два вектора этого пространства x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ ... + x n
e n
, y = y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ ... + y n
e n
и запишем их скалярное произведение:
(x, y) = (x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ ... + x n
e n
, y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ ... + y n
e n
)
Разобьём это скалярное произведение на составляющие по свойству линейности и, учитывая попарную ортогональность векторов и их нормированность, получим:
x
1
y
1
(e
1
, e
1
) + x
2
y
2
(e
2
, e
2
) + ... + x n
y n
(e n
, e n
) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ... + x n
y n
,
что и требовалось получить.
Если есть два линейно независимых вектора f
1
, f
2
, то с их помощью всегда можно получить пару ортогональных векторов.
В качестве первого вектора выбираем любой вектор из данных двух, например, f
1
, т.е. e
1
= f
1
Затем строим второй вектор e
2
= f
2
+ α
1
e
1
, причем α
1
выбираем так, чтобы выполнялось требуемое условие: (e
1
, e
2
) = 0 ⇐⇒ (e
1
, f
2
+α
1
e
1
) = 0 ⇐⇒ α
1
(e
1
, e
1
)+(e
1
, f
2
) = 0
, т.е. α
1
= −
(e
1
,f
2
)
(e
1
,e
1
)
Аналогично можно поступить с тремя линейно независиммыми веторами и так далее. Этот приём лежит в основе метода ортогонализации Грама-Шмидта.
Теорема 3.
В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормирован- ный базис.
Доказательство.
1
На основе исходного базиса f
1
, f
2
, ..., f n
(то, что такой базис существует, было доказано ранее)
построим ортогональный базис e, используя следующие равенства:
e
1
= f
1
,
e
2
= f
2
−
(e
1
,f
2
)
(e
1
,e
1
)
e
1
,
e n
= f n
−
n−1
P
i=1
(f n
,e i
)
(e i
,e i
)
· e i
Необходимо показать, что ни один из последовательно вычисляемых векторов не является нулевым и что все векторы e i
(i = 1, 2, ..., n)
попарно ортогональны.
Воспользуемся методом математической индукции для k = 1, ..., n.
При k = 1 имеем один ненулевой вектор.
Далее, пусть e
1
, e
2
, ..., e k
−
ненулевые векторы, образующие ортогональную систему (т.е. по- парно ортогональные). Построим (k + 1)−й вектор:
e k+1
= f k+1
−
k+1
P
i=1
(f k+1
,e i
)
(e i
,e i
)
· e i
Если e k+1
= 0,
то f k+1
является линейной комбинацией векторов e
1
, ..., e k
, которые по заданию алгоритма выражаются через векторы f
1
, ..., f k
. Получается, что векторы f
1
, ..., f k
, f k+1
линейно зависимы, что невозможно, так как они являются частью базиса.
Теперь покажем, что e k+1
⊥ e j
для j = 1, 2, ..., k. Для этого последовательно скалярно умно- жим e k+1
на e j
при j = 1, 2, ..., k:
(e k+1
, e j
) = (f k+1
−
k
P
i=1
(f k+1
,e i
)
(e i
,e i
)
· e i
, e j
) = (f k+1
, e j
) −
(f k+1
,e j
)
(e j
,e j
)
(e j
, e j
) = 0
(поясните, почему из всей суммы осталось только одно слагаемое)
Мы построили ортогональный базис. Чтобы построить ортонормированный, разделим каж- дый вектор нового базиса на его норму:
e i
∥e i
∥
Теорема доказана.
Теорема 4.
Если e i
.e
2
, ..., e n
−
ортогональный базис и a = α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ...α
n e
n
, то
α
i
=
(a, e i
)
(e
1
, e i
)
, i = 1, 2, ..., n.
Доказательство.
(a, e i
) = (α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ...α
n e
n
, e i
) = α
i
(e i
, e i
)
,
откуда получаем необходимое равенство при i = 1, 2, ..., n.
Def.
Вектор
(a,b)
(b,b)
b называется проекцией вектора a на вектор b.
2
Исходя из этого определения и теоремы 4, заключаем, что любой вектор равен сумме своих проекций на векторы базиса.
Примеры
1. Ортонормируем многочлены f
1
= x − 1
и f
2
= x
2
+ 1
в евклидовом пространстве R
n
[x]
со скалярным произведением (f, g) =
1
R
−1
f (x) · g(x)dx g
1
= f
1
g
2
= f
2
−
(f
2
,g
1
)
(g
1
,g
1
)
g
1
(f
2
, g
1
) =
1
R
−1
(x
3
− x
2
+ x − 1)dx =
x
4 4
−
x
3 3
+
x
2 2
− 1|
1
−1
= −
2 3
− 2 = −
8 3
(g
1
, g
1
) =
1
R
−1
(x − 1)
2
dx =
1 3
(x − 1)
3
|
1
−1
=
8 3
Таким образом, g
2
= x
2
+ 1 + x − 1 = x
2
+ x
Для нормирования нужно определить векторы g
1
∥g
1
∥
и g
2
∥g
2
∥
2. В пространстве M
x×2
(R)
зададим скалярное произведение как сумму произведений одно- имённых элементов матриц.
Ортогонализируем матрицы A
1
=
1 1 1
1
и A
2
=
1 0 0
1
(A
1
, A
2
) = 2, (A
1
, A
1
) = 4
,
B
1
= A
1
B
2
= A
2
−
(A
2
,B
1
)
(B
1
,B
1
)
B
1
= A
2
−
1 2
B
1
=
1 2
−
1 2
−
1 2
1 2
Псевдорешение
Пусть система линейных уравнений
a
11
a
12
a
1m b
1
a
21
a
22
a
2m b
2
a n1
a n2
a nm b
n
∼
несовместна.
Перепишем её в виде линейной комбинации столбцов (т.е. векторов пространства R
n
) :
x
1
a
11
a
21
a n1
+ x
2
a
12
a
22
a n2
+ ... + x m
a
1m a
2m a
nm
=
b
1
b
2
b n
3
Будем считать, что столбцы в левой части линейно независимы. Тогда они образуют базис ли- нейного пространства размерности m (по числу векторов), обозначим его как L
m
, а сами столбцы как ϕ
1
, ϕ
2
, ..., ϕ
m
Тогда получается, что вектор b = (b
1
, b
2
, ..., b n
)
T
не является линейной комбинацией векторов
ϕ
1
, ϕ
2
, ..., ϕ
m
, т.е. не принадлежит пространству L
m
Пусть b
0
−
проекция b на L
m
. Будем решать систему
a
11
a
12
a
1m b
01
a
21
a
22
a
2m b
02
a n1
a n2
a nm b
0n
,
т.е. с вектором b
0
в правой части. Эта система будет иметь решение, так как b
0
выражается через базис L
m
Решение x
∗
новой системы называется псевдорешением исходной системы уравнений. Та- ким образом, задача сводится к нахождению проекции вектора на подпространство.
Пусть b
0
= β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
Так как (b−b
0
) ⊥ ϕ
i
(как перпендикуляр к подпространству), то получим систему уравнений:
(b − b
0
, ϕ
i
) = 0 ⇐⇒ (b, ϕ
i
) = (b
0
, ϕ
i
), i = 1, 2, ..., m
Запишем эту систему:
(β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
, ϕ
1
) = (b, ϕ
1
),
(β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
, ϕ
2
) = (b, ϕ
2
),
(β
1
ϕ
1
+ β
2
ϕ
2
+ ... + β
m
ϕ
m
, ϕ
m
) = (b, ϕ
m
).
Если базис ϕ
1
, ϕ
2
, ..., ϕ
m ортонормировать, то в новом ортонормированном базисе e
1
, e
2
, ..., e m
вектор b
0
можно найти по формуле b
0
=
m
P
i=1
(b
0
, e i
)e i
=
m
P
i=1
(b, e i
)e i
= (b
01
, b
02
, ..., b
0m
)
T
Пример
Найдём псевдорешение системы
1 2 3 4 5 6 7