Файл: Линейные пространства.pdf

Нормируем векторы:
e
1
=
1
√
6
(1, 1, 2)
T
, e
2
=
1
√
66
(7, 1, −4)
T
b
0
= (b, e
1
)e
1
+ (b, e
2
)e
2
= ... = −
1 11
(9, 6, 9)
Теперь решаем систему


1 2
−
9 11 1
1
−
6 11 2
1
−
9 11


∼


1 2
−
9 11 0
−1 3
11 0
−3 9
11


Такимм образом, x
∗
= (
3 11
, −
3 11
)
T
Обратите внимание, что вектор состоит из двух компонент, так как является элементом дву- мерного пространства (натянутого на два столбца по количеству неизвестных).
Ортогональное дополнение
Пусть L
1
≤ L
и f
1
, f
2
, ..., f m
−
базис в L
1
. Мы можем по методу Грама-Шмидта построить ортогональный базис e
1
, e
2
, ..., e m
. Дополним его до ортогонального базиса всего пространства L:
e
1
, e
2
, ..., e m
, e m+1
, ..., e n
Рассмотрим подпространство L
2
, натянутое на векторы e m+1
, ..., e n
, его размерность dimL
2
=
n − m
, причем если a ∈ L
1
, b ∈ L
2
то a ⊥ b.
Def.
Подпространства L
1
и L
2
, построенные описанным выше способом, называются ортого- нальными дополнениями друг друга. При этом L = L
1
⊕ L
2
Таким образом, для любого подпространства евклидова пространства можно построить его ортогональное дополнение, причем для любого x ∈ L справедливо представление x = x
1
+ x
2
,
где x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
, x
1
⊥ x
2
. При этом x
1
называют ортогональной проекцией x на L
1
, x
2
–
ортогональной составляющей x относительно подпространства L
1
Очевидно, что ортогональное дополнение к подпространству состоит из всех векторов, орто- гональных каждому вектору данного подпространства.
Теорема 5.
Пусть дана матрица
A
=






a
11
a
12
a
1n a
21
a
22
a
2n a
m1
a m2
a mn






Тогда пространство решений L
1
однородной системы линейных уравнений AX = θ является ортогональным дополнением к линейной оболочке L
2
строк матрицы и L
1
⊕ L
2
= R
n
Доказательство проведите самостоятельно, используя связь ранга матрицы с количеством элементов фундаментальной системы решений.
Самым простым примером подпространства и его ортогонального дополнения являются ко- ординатная плоскость с одной стороны и третья ось с другой в пространстве V
3 5

Ортогональные матрицы
Def.
Матрица A называется ортогональной, если A · A
T
= A
T
· A = E
. Иначе говоря, если обратная матрица совпадает с транспонированной.
Свойства.
1. detA = ±1.
Следует из detA · detA
T
= detE.
2. Столбцы матрицы A образуют ортонормированную систему.
Если рассмотреть произведение A
T
· A
, равное единичной матрице, нетрудно увидеть, что строки A
T
это столбцы матрицы A, а их произведения равны нулю, если они не соовпадают,
и равны единице, если совпадают.
Аналогично для строк.
6

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Проекция вектора на вектор
• Псевдорешение
• Ортогональное дополнение
• Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая относительно подпространства
• Ортогональная матрица
2. Метод ортогонализации Грама-Шмидта
3. Координаты в ортогональном базисе
4. Способ нахождения псевдорешения
5. Свойства ортогональной матрицы
6. Основные теоретические факты с доказательствами
7

Линейные операторы
Def.
Линейным оператором линейного пространства V называется функция A : V → V ,
обладающая следующими свойствами (свойствами линейности:
1. ∀ x, y ∈ V A(x + y) = A(x) + A(y);
2. ∀ α ∈ R A(αx) = αA(x).
Def.
Если A(x) = y, то y называется образом вектора x при операторе A, а x− прообразом
(возможно, не единственным) вектора y при операторе A.
Лемма.
Для любого линейного оператора A пространства L верно: A(θ) = θ.
Доказательство.
Пусть x ∈ L− некоторый вектор.
A(θ) = A(0 · x) = 0 · A(x) = θ
Примеры.
1. Id− тождественный оператор: ∀ x ∈ V Id(x) = x
Выполнение свойств линейности очевидно.
2. Θ− нулевой оператор: Θ(x) = θ ∀ x ∈ V
3. A− ортогональное проектирование на подпространство.
Действительно, пусть U ≤ V и x
0
, y
0
∈ U −
проекции векторов x, y ∈ V соответственно, т.е.
A(x) = x
0
, A(y) = y
0
Имеем:
x − x
0
= h x
, y − y
0
= h y
, где h x
, h y
⊥ U
, следовательно, x + y − (x
0
+ y
0
) = h x
+ h y
,
при этом очевидно, что (h x
+ h y
) ⊥ U
Таким образом, для вектора x + y подобран такой элемент подпространства U, что их раз- ность ортогональна этому подпространству (проще говоря, сумма проекций совпадает с проекцией суммы векторов). Поскольку такой вектор определяется единственным образом,
делаем вывод, что A(x + y) = A(x) + A(y).
Выполнение второго свойства проверьте самостоятельно.
4. Оператор дифференцирования D(f) = f
′
в пространстве P
n
[x].
Дифференцирование обладает свойствами линейности.
1

5. Пусть B(x) = x + x
0
, где x− произвольный, а x
0
−
фиксированный вектор пространства L.
Тогда B(x + y) = x + y + x
0
С другой стороны, B(x) + B(y) = x + x
0
+ y + x
0
= x + y + 2x
0
̸= B(x + y)
,
т.е. B не является линейным оператором.
Теорема 1.
Пусть e
1
, e
2
, ..., e n
−
некоторый базис линейного пространства L, g
1
, g
2
, ..., g n
−
произвольный набор векторов из L. Тогда существует единственный линейный оператор A ли- нейного пространства L, такой, что A(e
1
) = g i
, i = 1, 2, ..., n.
Доказательство.
Сначала докажем, что соответствие A(e i
) = g i
однозначно определяет преобразование A.
Действительно, пусть x = α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
n e
n
−
произвольный вектор из L.
Тогда A(x) = α
1
A(e
1
) + α
2
A(e
2
) + ... + α
n
A(e n
)
Если поставить в соответствие каждому вектору e
1
вектор g i
(i = 1, 2, ..., n)
, то каждому век- тору x оператор A сопоставит вектор y = α
1
g
1
+ α
2
g
2
+ ... + α
n g
n
Поскольку числа α
1
, ..., α
n определены однозначно (как координаты вектора x), то и вектор y
определён однозначно.
Аналогично при x
0
= β
1
e
1
+ β
2
e
2
+ ... + β
n e
n имеем:
A(x + x
0
) = A((α
1
+ β
1
)e
1
+ (α
2
+ β
2
)e
2
+ ... + (α
n
+ β
n
)e n
) = (α
1
+ β
1
)g
1
+ (α
2
+ β
2
)g
2
+ ... +
(α
n
+ β
n
)g n
= α
1
g
1
+ α
2
g
2
+ ... + α
n g
n
+ β
1
g
1
+ β
2
g
2
+ ... + β
n g
n
= A(x) + A(x
0
)
Выполнение второго свойства проверьте самостоятельно.
Теорема 2.
Пусть A− линейный оператор пространства L, L
0
≤ L
. Тогда A(L
0
) ≤ L
и dimL
0
≤ dimA(L
0
)
(через A(L
0
) обозначено множество всех элементов, полученных при воздействии операто- ра на каждый элемент L
0
)
Доказательство.
Если L
0
= {θ}
, утверждение очевидно. Предположим, что L
0
имеет базис e
1
, ..., e m
. Тогда для любого вектора x ∈ L
0
, x = α
1
e
1
+ ... + α
m e
m верно:
A(x) = A(α
1
e
1
+ ... + α
m e
m
) = α
1
A(e
1
) + ... + α
m
A(e m
)
,
т.е. любой вектор из A(L
0
)
является линейной комбинацией векторов A(e i
), i = 1, ..., m.
И
наоборот: для любой линейной комбинации такого вида найдётся прообраз в L
0
Таким образом, мы получаем, что A(L
0
)−
линейная оболочка векторов A(e i
), i = 1, ..., m и её
размерность dim(< A(e
1
), A(e
2
), ..., A(e n
) >) ≤ m
, так как не может превосходить их количества
(объясните, почему).
2

Матрица линейного оператора
Def.
Матрицей линейного оператора A в базисе e
1
, e
2
, ..., e n
линейного пространства L назва- ется такая матрица A
0
, что A(x)
e
= A
0
· x e
для любого вектора x ∈ L.
Теорема 3.
Матрица линейного оператора A в произвольном базисе линейного пространства
L
существует и единственна.
Доказательство.
Пусть e
1
, e
2
, ..., e n
– базис линейного пространства L. Найдём образы базисных элементов в этом же базисе:
A(e
1
) = ξ
11
e
1
+ ξ
12
e
2
+ ... + ξ
1n e
n
,
A(e
2
) = ξ
21
e
1
+ ξ
22
e
2
+ ... + ξ
2n e
n
,
A(e n
) = ξ
n1
e
1
+ ξ
n2
e
2
+ ... + ξ
nn e
n
,
Теперь пусть x = α
1
e
1
+ ... + α
n e
n
−
произвольный вектор из L. Составим из координат
A(e i
), i = 1, ..., n
(в естественном ворядке) матрицу A
0
, расположив их в столбец, и умножим на столбец координат вектора x в базисе e. Получим:
A · x
T
e
=




ξ
11
ξ
21
ξ
n1
ξ
12
ξ
22
ξ
n2
ξ
1n
ξ
2n
ξ
nn




·




α
1
α
2
α
n




=




ξ
11
α
1
+ ξ
21
α
2
+ ... + ξ
n1
α
n
ξ
12
α
1
+ ξ
22
α
2
+ ... + ξ
n2
α
n
ξ
1n
α
1
+ ξ
2n
α
2
+ ... + ξ
nn
α
n




С другой, стороны:
A(x) = A(α
1
e
1
+ ... + α
n e
n
) = α
1
A(e
1
) + ... + α
n
A(e n
)
= α
1
(ξ
11
e
1
+ ξ
12
e
2
+ ... + ξ
1n e
n
) + ... +
α
n
(ξ
n1
e
1
+ ξ
n2
e
2
+ ... + ξ
nn e
n
) = (α
1
ξ
11
+ ...α
n
ξ
n1
)e
1
+ ... + (α
1
ξ
1n
+ ... + α
n
ξ
nn
)e n
Сравнивая результаты, видим, что мы получили вектор, координаты которого были записаны выше.
Единственность матрицы оператора обоснуйте самостоятельно.
Доказательство теоремы задаёт способ нахождения матрицы линейного оператора A в фик- сированном базисе:
1. Выбрать базис e
1
, e
2
, ..., e n
2. Найти векторы A(e
1
), A(e
2
), ..., A(e n
)
и их координаты в том же базисе
3. Записать эти координаты последовательно в столбцы матрицы A.
Теорема 4.
Различным линейным операторам пространства L соответствуют различные мат- рицы в базисе g
1
, g
2
, ..., g n
. Любая квадратная матрица порядка n является матрицей некоторого линейного оператора пространства L.
Доказательство. Если матрицы A
g
, B
g операторов A и B в базисе g совпадают, то для произ- вольного x ∈ L верно:
3

A(x) = A
g x = B
g x = B(x)
, т.е. сами операторы также совпадают.
Далее, пусть D− некоторая квадратная матрица порядка n.
Зададим отображение D : L −→ L : D(x) = D
g x
. Тогда
D(x + y) = D
g
· (x + y) = D
g
· x + D
g
· y = D(x) + D(y)
Аналогично: D(λx) = D
g
· λx = λD
g
· x = λD(x)
, т.е. это отображение является линейным оператором.
Далее вычислим образы базисных векторов g i
и убедимся, что их координаты в базисе g сов- падают с соответствующими столбцами матрицы A
g
Замечание.
В дальнейшем будем отождествлять линейный оператор и его матрицу (в фик- сированном базисе). Будем писать A(x) для оператора и Ax для матрицы оператора.
В разных базисах оператор может иметь разные матрицы.
Примеры.
1. Нулевой оператор Θ(x) = θ для любого x ∈ L.
В частности, Θ(e i
) = θ
, т.е. матрица данного оператора нулевая.
2. Тождественный оператор Id(x) = x для любого x ∈ L.
В частности
Id(e
1
) = e
1
= 1 · e
1
+ 0 · e
2
+ ... + 0 · e n
,
Id(e
2
) = e
2
= 0 · e
1
+ 1 · e
2
+ ... + 0 · e n
,
Id(e
1
) = e n
= 0 · e
1
+ 0 · e
2
+ ... + 1 · e n
,
т.е. матрица данного оператора единичная.
3. Оператор дифференцирования D(f) = f
′
в пространстве P
n
[x].
Выберем естественный базис: e
1
= x n
, e
2
= x n−1
, ..., e n+1
= 1
Тогда D(e
1
) = nx n−1
= ne
2
= 0e
1
+ ne
2
+ 0e
3
+ ... + 0e n+1
,
D(e
2
) = (n − 1)x n−2
= (n − 1)e
3
= 0e
1
+ 0e
2
+ (n − 1)e
3
+ ... + 0e n+1
,
D(e n
) = 1 = 0e
1
+ 0e
2
+ 0e
3
+ ... + 1e n+1
D(e n+1
) = 0 = 0e
1
+ 0e
2
+ 0e
3
+ ... + 0e n+1 4

Таким образом, матрица оператора в выбранном базисе будет иметь вид:






0 0
0 0
n
0 0
0 0
n − 1 0
0 0
0 1
0






Матрица линейного оператора в различных базисах
Пусть в пространстве L заданы два базиса: g
1
, g
2
, ..., g n
и f
1
, f
2
, ..., f n
, а также линейный опе- ратор A.
Как известно, для любого x ∈ L выполняется x f
= C
f →g x
g
, x g
= C
g→f x
f
Аналогично для y = A(x): y f
= C
f →g y
g
, y g
= C
g→f y
f
,
и в соответствующих базисах: y g
= A
g x
g
, y f
= A
f x
f
,
откуда, подставив в первое равенство выражения через базис f, получим:
C
g→f y
f
= A
g
C
g→f x
f
=⇒ y f
= C
f →g
A
g
C
g→f x
f
Таким образом, мы получили связь матриц оператора в различных базисах:
A
f
= C
f →g
A
g
C
g→f
5

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Линейный оператор
• Образ вектора, прообраз вектора
• Матрица линейного оператора
2. Способ нахождения матрицы оператора
3. Матрица оператора в различных базисах
4. Условие равенства нулю матрицы Грама
5. Примеры скалярного произведения
6

Ядро и образ линейного оператора
Def.
Ядром линейного оператора A линейного пространства L называется множество KerA =
{x ∈ L | A(x) = θ}
То есть это все те векторы, которые оператор обращает в нулевой вектор.
Def.
Образом линейного оператора A называется множество ImA = {A(x) | x ∈ L}. Или просто: ImA = A(L).
То есть это все те векторы, которые получаются в результате применения линейного опе- ратора ко всем векторам линейного пространства. Если вспомнить, что линейный оператор это функция, то образ оператора это множество значений данной функции.
Теорема 1.
Ядро и образ линейного оператора A линейного пространства L являются под- пространствами L.
Доказательство.
Пусть x, y ∈ KerA. Тогда для произвольных α, β ∈ L выполнено:
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) = θ + θ = θ,
т.е. αx + βy ∈ KerA и, согласно критерию подпро- странства, KerA ≤ L.
Теперь если x, y ∈ ImA, то найдутся такие x
0
, y
0
∈ L,
что A(x
0
) = x, A(y
0
) = y
. Следователь- но, A(αx
0
+ βy
0
) = αA(x
0
) + βA(y
0
) = αx + βy,
т.е. для вектора αx + βy нашёлся прообраз, а,
значит, αx + βy ∈ ImL.
Очевидно, что для поиска базиса ядра оператора нужно решить однородную систему уравне- ний, соответствующую матрице оператора. Рассмотрим, как устроен образ.
Теорема 2.
Образ линейного оператора представляет собой линейную оболочку столбцов матрицы данного оператора (в базисе g).
Действительно, для x = α
1
g
1
+ α
2
g
2
+ ... + α
n g
n имеет место:
A(x) = A(α
1
g
1
+ α
2
g
2
+ ... + α
n g
n
) = α
1
A(g
1
) + α
2
A(g
2
) + ... + α
n
A(g n
)
,
при этом координаты A(g i
), i = 1, ...n,
в базисе g и есть столбцы матрицы A.
Следствие.
размерность опраза линейного оператора A равна рангу его матрицы: dimImA =
rankA
(в любом базисе – поясните почему)
Def.
Размерность образа линейного оператора A называется рангом этого оператора A.
Def.
Размерность ядра линейного оператора A называется дефектом этого оператора.
Примеры.
1. Пусть A− линейный оператор проектирования на плоскость Oxy в V
3
В стандартном базисе i, j, k имеем:
A(i) = i, A(j) = j, A(k) = θ
,
1

т.е. KerA =< k >.
Поскольку для любого x ∈ V
3
выполнено A(x) = αi + βj, то ImA =< i, j >= Oxy. Проще говоря, образом оператора проектирования на плоскость является сама данная плоскость,
что вполне очевидно.
2. D− оператор дифференцирования на R
3
[x]
Если x
3
, x
2
, x, 1−
базис R
3
[x]
, то D(1) = θ, т.е. ядро оператора образуют многочлены- константы.
С другой стороны для f ∈ R
3
[x]
имеем: A(f) = b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
, т.е. ImD =< x
2
, x, 1 >
, образ оператора D состоит из многочленов не выше второй степени.
Def.
Линейный оператор A называется инъективным, если разным векторам соответствуют разные образы при данном операторе.
Теорема 3.
Линейный оператор A линейного пространства L инъективен тогда и только то- гда, когда KerA = {θ}.
Доказательство.
Пусть A инъективен. Возьмём линейно независимые векторы g
1
, g
2
, ..., g k
∈ L
и запишем ли- нейную комбинацию их образов:
α
1
A(g
1
) + α
2
A(g
2
) + ... +
k
A(g k
) = θ
Отсюда A(α
1
g
1
+ α
2
g
2
+ ... +