Файл: Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu.pdf

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Сходимость рядов по целым степеням z − a
Утверждение 31. Пусть b n
∈ C ∀n ∈ Z. Положим
R :=
1
lim n→∞
n p|b n
|
,
r := lim n→∞
n p|b
−n
|.
(9.3)
Тогда ряд
+∞
X
n=−∞
b n
(z −a)
n сходится абсолютно и равномерно на компактах в кольце
{r < |z − a| < R}.
При |z − a| > R расходится правильная часть
+∞
X
n=0
+b n
(z − a)
n
, а при |z − a| < r расходится главная часть
−1
X
n=−∞
b n
(z − a)
n
Доказательство:
Это вытекает из формулы Коши-Адамара (7.1) и её следствия для степенных рядов
+∞
X
n=0
b n
(z − a)
n и
+∞
X
n=1
b
−n
Z
n
, где Z :=
1
z − a
Сформулируем следствие.
Утверждение 32. (Единственность разложения в ряд Лорана) Если f (z) =
=
+∞
X
n=−∞
b n
(z − a)
n при r
1
< |z − a| < r
2
, то ∀ρ ∈ (r
1
, r
2
) имеем: b n
=
=
1 2πi
Z
|z−a|=ρ
f (z) dz
(z − a)
n+1
. В частности, разложение f в ряд по целым степеням z − a в данном кольце единственно.
Доказательство:
Зафиксируем n ∈ Z. Ряд f (z)
(z − a)
n+1
=
+∞
X
m=−∞
b m
(z − a)
m−n−1
сходится равномерно на окружности |z − a| = ρ, где r
1
< ρ < r
2
. Следовательно, его можно проин- тегрировать почленно:
Z
|z−a|=ρ
f (z) dz
(z − a)
n+1
=
+∞
X
m=−∞
b m
Z
|z−a|=ρ
(z − a)
m−n−1
dz = b n
· 2πi
(использовали формулу (4.3)).
Замечание 14. Одна и та же функция f (z) в разных кольцах с центром a может иметь разные разложения в ряд Лорана.
Приведём пример.
f (z) =
1
(z − 1)(z − 2)
. Эта функция голоморфна в трёх кольцах: D
1
:= {|z| < 1} –
круг радиуса 1, D
2
:= {1 < |z| < 2} – кольцо с радиусами от 1 до 2, D
3
:= {|z| > 2}
– внешность круга радиуса 2.
54
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
1) Рассмотрим z ∈ D
1
:= {|z| < 1}. Тогда, используя разложение суммы беско- нечно убывающей геометрической прогрессии, получаем: f (z) =
1
z − 2
−
1
z − 1
=
= −
1 2
·
1 1 −
z
2
+
1 1 − z
= −
1 2
+∞
X
n=0

z
2

n
+
+∞
X
n=0
z n
=
+∞
X
n=0

1 −
1 2
n+1

z n
2) Рассмотрим z ∈ D
2
:= {1 < |z| < 2}. Тогда, используя разложение суммы бес- конечно убывающей геометрической прогрессии, получаем: f (z) =
1
z − 2
−
1
z − 1
=
= −
1 2
·
1 1 −
z
2
−
1
z
·
1 1 −
1
z
= −
1 2
+∞
X
n=0

z
2

n
−
1
z
+∞
X
n=0
1
z

n
= −
+∞
X
n=0 1
2
n+1
z n
−
+∞
X
n=0 1
z n+1
=
= −
+∞
X
n=0 1
2
n+1
z n
−
−1
X
n=−∞
z n
3) Рассмотрим z ∈ D
3
:= {|z| > 2}. Тогда, используя разложение суммы беско- нечно убывающей геометрической прогрессии, получаем: f (z) =
1
z − 2
−
1
z − 1
=
1
z
·
·
1 1 −
2
z
−
1
z
·
1 1 −
1
z
=
1
z
+∞
X
n=0
2
z

n
−
1
z
+∞
X
n=0
1
z

n
=
+∞
X
n=0 2
n z
n+1
−
+∞
X
n=0 1
z n+1
=
+∞
X
n=0 2
n
− 1
z n+1
=
=
−1
X
n=−∞
(2
−n−1
− 1)z n
Неравенства Коши
Утверждение 33. Если f (z) =
+∞
X
n=−∞
c n
(z − a)
n
∈ O(r
1
< |z − a| < r
2
), то
|c n
| ≤
M (r)
r n
(9.4)
∀n ∈ Z ∀r ∈ (r
1
, r
2
), где M (r) := max
|z−a|=r
|f (z)|.
Доказательство:
|c n
| =
1 2πi
Z
|z−a|=r f (z) dz
(z − a)
n+1
≤
1 2π
max
|z−a|=r
|f (z)|
|z − a|
n+1
· 2πr ≤
M (r)
r n
Классификация изолированных особых точек однозначного характера
Определение 18. Точка a ∈ C называется изолированной особой точкой одно- значного характера для функции f (z), если ∃ε > 0 : f ∈ O(0 < |z − a| < ε).
Такая точка a для функции f (z) называется:
1) устранимой, если ∃ lim z→a f (z) ∈ C;
55
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
2) полюсом, если lim z→a f (z) = ∞;
3) существенно особой точкой, если ∄ lim z→a f (z) ∈ C.
Приведём примеры. Точка a = 0 является:
1) устранимой для f (z) ≡ 1 или для f (z) =
sin z z
;
2) полюсом для f (z) =
1
z n
, где n ∈ N, или для f (z) = ctg z;
3) существенно особой точкой для f (z) = e
1
z
(так как lim x→+0
f (x) = +∞ ̸= 0 =
= lim x→−0
f (x));
4) неизолированной особой точкой для f (z) = ctg
1
z
(так как ∄ε > 0 : f (z) ∈ O(0 <
< |z| < ε), поскольку f (z) не голоморфна в точках z n
=
1
πn
);
5) особой точкой неоднозначного характера для f (z) =
√
z (так как ∄f (z) ∈ O(0 <
< |z| < ε) : (f (z))
2
= z).
Описание устранимой особой точки
Следующие утверждения про функцию f ∈ O(0 < |z − a| < ε) эквивалентны.
Утверждение 34. f (z) имеет устранимые особую точку при z = a.
Утверждение 35. f (z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки a, то есть ∃ε
1
> 0 и ∃M > 0 : |f (z)| ≤ M при 0 < |z − a| < ε
1
Утверждение 36. В разложении f (z) =
+∞
X
n=−∞
c n
(z − a)
n в кольце 0 < |z − a| < ε
имеем c n
= 0 при всех n < 0.
Утверждение 37. Можно доопределить f (z) при z = a так, что f ∈ O(|z − a| <
< ε).
Доказательство:
Докажем, что из утверждения (34) следует утверждение (35). Действительно,
функция имеющая предел, ограничена.
Докажем, что из утверждения (35) следует утверждение (36). По неравенствам
Коши (33) ∀n ∈ Z ∀r ∈ (0, ε) имеем |c n
| ≤
M (r)
r n
≤
M
r n
. Если n < 0, то при r → +0
получаем, что |c n
| → +0, но c n
не зависит от r, поэтому c n
= 0 ∀n < 0.
Докажем, что из утверждения (36) следует утверждение (37). По условию f (z) =
=
+∞
X
n=0
c n
(z − a)
n при 0 < |z − a| < ε. Полагая f (a) := c
0
, получаем, что f (z) =
=
+∞
X
n=0
c n
(z − a)
n при |z − a| < ε. Тогда по теореме (9) о голоморфности суммы степенного ряда f ∈ O(|z − a| < ε).
56
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Докажем, что из утверждения (37) следует утверждение (34). Любая голоморф- ная функция непрерывна, а значит, ∃ lim z→a f (z) ∈ C.
Замечание 15. Утверждение о том, что из утверждения (35) следует утвер- ждение (37), то есть что любую ограниченную f ∈ O(0 < |z − a| < ε) можно продолжить до f ∈ O(|z − a| < ε), доопределяя f (a), называется теоремой Рима- на об устранимой особенности.
Приведём независимое доказательство теоремы Римана об устранимой особенно- сти.
Доказательство:
Рассмотрим функцию g(z) :=
(
(z − a)
2
f (z),
0 < |z − a| < ε
0,
z = a
. Тогда ∃g
′
(a) :=
= lim z→a g(z) − g(a)
z − a
= lim z→a
(z − a)f (z) = 0 в силу ограниченности f (z). Таким образом,
g ∈ O(|z − a| < ε), при этом g(a) = g
′
(a) = 0 ⇒ g(z) имеет при z = a нуль порядка
≥ 2 (тривиальный случай g ≡ 0 влечёт f ≡ 0, и тогда теорема очевидна). Тогда по утверждению (28) g(z) = (z − a)
2
h(z) для некоторой функции h ∈ O(|z − a| < ε).
Полагая f (a) := h(a), получим требуемое продолжение.
Упражнение 16. Доказать, что ∄f ∈ O(0 < |z − a| < ε) : (f (z))
2
= z − a при
0 < |z − a| < ε.
Указание: доказать, что при f (a) := 0 будет f ∈ O(|z − a| < ε) и выяснить,
нуль какого порядка у f (z) при z = 0.

Упражнение 17. Можно ли конформно отобразить C без точки на единичный круг без точки? А C без двух точек на круг без двух точек?
Описание полюса
Утверждение 38. Функция f (z) =
+∞
X
n=−∞
c n
(z − a)
n
∈ O(0 < |z − a| < ε) имеет при z = a полюс тогда и тольк тогда, когда ∃N ∈ N : c n
= 0 при n < −N , а c
−N
̸= 0
(то есть главная часть ряда Лорана имеет конечное ненулевое число ненулевых коэффициентов).
Доказательство:
Докажем ⇐. По условию f (z) =
+∞
X
−N
c n
(z − a)
n
= (z − a)
−N
+∞
X
m=0
c m−N
(z − a)
m
=
=
g(z)
(z − a)
N
, где g(z) :=
+∞
X
m=0
c m−N
(z − a)
m
. Тогда g(a) = c
−N
̸= 0 по условию. Следо- вательно, lim z→a g(z)
(z − a)
N
= ∞.
Докажем ⇒. По условию f (z) имеем полюс при z = a. Тогда f (z) ̸= 0 при 0 <
< |z − a| < ε
1
для некоторого ε
1
∈ (0, ε). Следовательно,
1
f
∈ O(0 < |z − a| < ε
1
)
57
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
имеем при z = a предел 0, то есть устранимую особую точку. Тогда по утвержде- нию (37), полагая
1
f (a)
:= 0, получим, что
1
f
∈ O(|z − a| < ε
1
). При этом
1
f
̸≡ 0
(иначе было бы f ≡ ∞). Обозначим через N порядок нуля функции
1
f (z)
при z = a. Тогда по утверждению (28)
1
f (z)
= (z − a)
N
h(z) для некоторой функции h ∈ O(|z − a| < ε
1
), причём h(a) ̸= 0. Следовательно, используя разложение в ряд
Тейлора, получим: f (z) = (z − a)
−N
1
h(z)
= (z − a)
−N
(b
0
+ b
1
(z − a) + . . .), причём b
0
̸= 0. Тогда f (z) =
+∞
X
n=−N
c n
(z − a)
n при 0 < |z − a| < ε
1
, где c
−N
= b
0
̸= 0.
Определение 19. Число N ∈ N называется порядком полюса функции f (z) при z = a.
Замечание 16. Согласно доказательству утверждения (38), порядок полюса функции f (z) при z = a равен порядку нуля функции
1
f (z)
при z = a.
58
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 10
Теорема Сохоцкого
Теорема 14. (Теорема Сохоцкого) Пусть f ∈ O(0 < |z − a| < ε) имеет существенно особую точку при z = a. Тогда ∀w
0
∈ C ∃ последовательность z
n
→ a : f (z n
) → w
0
Доказательство:
1) Пусть w
0
= ∞. Заметим, что ∀n ∈ N ∃z n
: 0 < |z n
−a| <
1
n и |f (z n
)| > n, так как иначе f (z) была бы ограниченной при 0 < |z − a| <
1
n
, а тогда по утверждению (35)
особенность при z = a была бы устранимой. Тогда z n
→ a при n → ∞ и f (z n
) → ∞
при n → ∞.
2) Пусть w
0
∈ C. Тогда либо ∃ последовательность z n
→ a : f (z n
) = w
0
∀n ∈ N,
либо ∃ε
1
> 0 : f (z) ̸= w
0
при 0 < |z − a| < ε
1
В первом случае последовательность z n
– искомая.
Во втором случае z = a является изолированной особой точкой однозначного характера для функции g(z) :=
1
f (z) − w
0
. Если ∃ lim z→a g(z) ∈ C, то функция f (z) =
= w
0
+
1
g(z)
тоже имеет при z → a предел ∈ C, но это противоречит условию, что z = a – существенно особая точка для f (z). Следовательно, z = a – существенно особая точка для g(z). Тогда по пункту (1) этого доказательства ∃z n
→ a : g(z n
) →
→ ∞. Следовательно, f (z n
) = w
0
+
1
g(z n
)
→ w
0
при n → ∞.
Замечание 17. (Эквивалентная формулировка теоремы Сохоцкого (14))
∀ функции f ∈ O(0 < |z − a| < ε) множество частичных пределов f (z) при z → a есть либо одна точка из C, либо вся расширенная комплексная плоскость C.
Упражнение 18. Пусть f ∈ O(D\M ), где D = {0 < |z − a| < ε}, а M = {z n
|
n ∈ N} – последовательность, сходящаяся к a, причём f (z) имеет полюс при z =
= z n
∀n ∈ N.
Доказать, что ∀w
0
∈ C ∃z
′
n
→ a : f (z
′
n
) → w
0
при n → ∞.
a = ∞ как изолированная особая точка
Определение 20. Функция f (z) имеет изолированную особую точку однозначно- го характера при z = a, если ∃R > 0 : f ∈ O(|z| > R).
Точка a = ∞ для функции f (z) называется:
1) устранимой, если ∃ lim z→∞
f (z) ∈ C;
2) полюсом, если lim z→∞
f (z) = ∞;
3) существенно особой точкой, если ∄ lim z→∞
f (z) ∈ C.
Приведём примеры. Точка a = ∞ является:
59
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
1) устранимой для f (z) =
1
z
;
2) полюсом для f (z) = z n
, где n ∈ N;
3) существенно особой точкой для f (z) = e z
Замечание 18. Характер особенности f (z) при z = ∞ такой же, как у функции g(ζ) := f
1
ζ

при ζ = 0. В частности, f (z) =
+∞
X
n=−∞
c n
z n
∈ O(|z| > R) имеет при z = ∞:
1) устранимую особую точку, если c n
= 0 ∀n ∈ N;
2) полюс, если ∃N ∈ N : c
N
̸= 0 и c n
= 0 при n > N (N := порядок полюса);
3) существенную особую точку, если ∃ последовательность n k
→ ∞ : c n
k
̸= 0.
Таким образом, если под главной частью ряда Лорана f (z) =
+∞
X
n=−∞
c n
z n
∈ O(|z| >
> R) на ∞ понимать по определению
+∞
X
n=1
c n
z n
, то критерий особенности в терминах ряда Лорана один и тот же для a ∈ C и для a = ∞, а именно:
1) устранимая особая точка ⇔ главная часть ряда Лорана ≡ 0;
2) полюс ⇔ в главной части конечное ненулевое число ненулевых коэффициентов;
3) существенно особая точка ⇔ в главной части ряда Лорана бесконечное число ненулевых коэффициентов.
Упражнение 19. Какая особенность у sin z z
2

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Описание всех конформных отображений C и C на себя
Утверждение 40. 1) Конформные отображение f : C → C – это линейные функ- ции f (z) = az + b, где a ∈ C\{0}, b ∈ C, и только они.
2) Конформные отображения f : C → C – это ДЛО f (z) =
az + b cz + d
, где a, b, c, d ∈
∈ C, ad − bc ̸= 0, и только они.
Доказательство:
1) Всякое конформное отображение f : C → C – это целая функция f ∈ O(C),
то есть z = ∞ – изолированная особая точка однозначного характера для f . Если z = ∞ – существенно особая точка для f , то по теореме Сохоцкого (14) ∀z
0
∈ C
∃ последовательность z n
→ ∞ : f (z n
) → w
0
:= f (z
0
) при n → ∞. Тогда обратное отображение z = g(w) разрывно в точке w
0
= f (z
0
), так как ∃ последовательность w
n
= f (z n
) → w
0
: g(w n
) = z n
→ ∞ при n → ∞. Это противоречит гомеоморфности f . Следовательно, f имеет при z = ∞ устранимую особую точку или полюс. Тогда по утверждению (39) f – полином. При этом f
′
̸= 0 ∀z ∈ C, так как f – конформное отображение. Тогда по основной теореме алгебры (8) степень полинома f
′
(z) равна
0, то есть f
′
(z) ≡ a ∈ C\{0}. Тогда по единственности первообразной f (z) = az + b.
2) Если f (∞) = ∞, то f конформно отображает C на C, тогда по пункту (1) этого доказательства f (z) = az + b – частный случай ДЛО. Если же f (∞) = w
0
∈ C, то рассмотрим g(z) :=
1
f (z) − w
0
– конформное отображение C на C как композиция
ДЛО и f . При этом g(∞) = ∞, тогда по пункту (1) этого доказательства g(z) =
= az + b. Следовательно, f (z) = w
0
+
1
g(z)
= w
0
+
1
az + b
=
aw
0
z + bw
0
+ 1
az + b
– ДЛО.
Упражнение 22. Доказать, что ∄ конформного отображения C ни на какое от- крытое множество D ⊂ C, отличное от C.
Мероморфные функции на C
Определение 21. Функция f (z) называется мероморфной в области D ⊂ C (за- пись: f ∈ M(D)), если f (z) не имеет в D особенностей, кроме полюсов, то есть
∃ множество M ⊂ D (возможно, пустое) такое, что f ∈ O(D\M ) и f (z) имеет полюс при z = a ∀a ∈ M .
Замечание 19. Множество M в определении мероморфной функции состоит из изолированных точек (по определению полюса) ⇒ M не имеет предельных точек в D и не более чем счётно.
Приведём примеры.
1) f (z) = tg z ∈ M(C), так как множество M её полюсов – это n
π
2
+ πn | n ∈ Z
o
,
оно состоит из полюсов 1-го порядка;
2) g(z) = tg
1
z
̸∈ M(C), так как z = 0 – предельная точка полюсов (то есть эта особая точка не является полюсом).
61
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА