Файл: Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu.pdf

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
теореме (9) f
′
(z) =
∞
X
n=1
nc n
(z − a)
n−1
∀z ∈ U .
Значит, U лежит в круге сходимости и ряда f
′
(z) =
∞
X
n=1
nc n
(z − a)
n−1
, по- этому по той же теореме (9) f
′
∈ O(U ) и имеет в U производную f
′′
(z) =
=
∞
X
n=2
n(n − 1)c n
(z − a)
n−2
И так далее.
В силу произвольности a ∈ D и U ∈ D имеем: f
′
, f
′′
, . . . ∈ O(D).
Формула для коэффициентов ряда Тейлора
Утверждение 22. Если f (z) =
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n
∈ O(|z − a| < r), то b
n
=
f
(n)
(a)
n!
(7.3)
∀n = 0, 1, 2, . . .. В частности, коэффициенты сходящегося степенного ряда од- нозначно определяются его суммой, то есть разложение в степенной ряд един- ственно (если существует).
Доказательство:
Продифференцируем равенство f (z) =
∞
X
m=0
b m
(z − a)
m почленно n раз (это раз- решено в силу теоремы (9)) и подставим z = a, получим: f
(n)
(a) = n!b n
⇔ b n
=
=
f
(n)
(a)
n!
Как следствие, получаем следующее утверждение.
Утверждение 23. Каждый сходящийся степенной ряд – это ряд Тейлора своей суммы: f (z) =
∞
X
n=0
f
(n)
(a)
n!
(z − a)
n в круге сходимости.
Интегральная формула Коши для производных
Утверждение 24. Пусть D ∈ C – ограниченная область с кусочно-гладкой гра- ницей и f ∈ O(D) (то есть f ∈ O(G) для некоторого открытого G ⊃ D). Тогда
∀a ∈ D и ∀n = 0, 1, 2, . . . имеем:
f
(n)
(a) =
n!
2πi
Z
∂D
f (z) dz
(z − a)
n+1
(7.4)
44
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Доказательство:
Пусть r > 0 : B(a, r) ⊂ D. Тогда ∀z ∈ B(a, r) имеем: f (z) =
∞
X
n=0
c n
(z − a)
n
, где c
n
=
1 2πi
Z
∂B(a,ρ)
f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
, где ρ ∈ (0, r) (по теореме (6) о разложении голономной функции в степенной ряд).
При этом по утверждению (22) c n
=
f
(n)
(a)
n!
Таким образом, f
(n)
(a) = n!c n
=
n!
2πi
Z
∂B(a,ρ)
f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
. По интегральной теореме
Коши (5) для области D\B(a, ρ) имеем:
Z
∂D
f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
−
Z
∂B(a,ρ)
f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
= 0. Тогда f
(n)
(a) =
n!
2πi
Z
∂D
f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
Теорема Морера
Теорема 10. (Теорема Морера) Пусть D ∈ C – открытое множество, f : D →
→ C непрерывна и ∀ открытого треугольника T с T ⊂ D имеем
Z
∂T
f (z) dz = 0.
Тогда f ∈ O(D).
Доказательство:
∀a ∈ D пусть U ⊂ D – открытый круг с центом a. Достаточно доказать, что f ∈ O(U ), а в силу произвольности выбора точки a и радиуса круга U ⊂ D будем иметь f ∈ O(D).
По теореме (4) о существовании первообразной в круге ∀z ∈ U имеем: F
′
(z) =
= f (z), где F (z) :=
Z
[a,z]
f (ζ) dζ ∈ O(U ).
Тогда f ∈ O(U ) по утверждению (21).
Эквивалентность трёх определений голоморфной функции
Следующие утверждения о функции f , определённой в окрестности точки a ∈ C,
эквивалентны.
Утверждение 25. f ∈ O(a), то есть f является C-дифференцируемой в некото- рой окрестности точки a.
Утверждение 26. f является суммой сходящегося степенного ряда: f (z) =
=
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n в некоторой окрестности точки a.
45
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Утверждение 27. f непрерывна в некоторой окрестности U точки a и ∀ откры- того треугольника T с T ⊂ U имеем
Z
∂T
f (z) dz = 0.
В утверждении (25) предполагается существование одной производной, в утвер- ждении (26) – бесконечного количества производных, в утверждении (27) – нуля производных.
Упражнение 11. Доказать эквивалентность утверждений (25), (26) и (27).
46
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 8
Нули голоморфных функций
Утверждение 28. Пусть a ∈ C, f ∈ O(a) и f (a) = 0. Тогда либо f ≡ 0 в неко- торой окрестности точки a (то есть при |z − a| < ε для некоторого ε > 0), либо
∃n ∈ N : f(z) = (z − a)
n g(z), где g ∈ O(a) и g(a) ̸= 0.
Доказательство:
По теореме (6) о разложении в степенной ряд f (z) =
∞
X
m=0
c m
(z−a)
m при |z − a| < ε.
При этом по условию c
0
= f (a) = 0. Либо все c m
, m = 1, 2, . . ., равны 0 (тогда f ≡ 0
в окрестности точки a), либо ∃n := min{m ∈ N | c m
̸= 0}. Во втором случае f (z) =
=
∞
X
m=n c
m
(z − a)
m
= (z − a)
n g(z), где g(z) :=
∞
X
m=n c
m
(z − a)
m−n
. Ряд
∞
X
m=n c
m
(z − a)
m−n сходится при |z − a| < ε, следовательно, его сумма g ∈ O(|z − a| < ε). При этом g(a) = c n
̸= 0 по определению n.
Определение 16. Число n называется порядком нуля функции f (z) в точке z =
= a.
Замечание 12. Поскольку c m
=
f
(m)
(a)
m!
, можно также сказать, что порядок нуля функции f (z) в точке a равен min{m ∈ N | f
(m)
(a) ̸= 0}.
Приведём пример. Выясним, каков порядок нуля функции f (z) = sin z − z при z = 0.
f (0) = 0;
f
′
(z) = cos z − 1 ⇒ f
′
(0) = 0;
f
′′
(z) = − sin z ⇒ f
′′
(0) = 0;
f
′′′
(z) = − cos z ⇒ f
′′′
(0) = −1 ̸= 0.
Таким образом, это нуль 3-го порядка.
Упражнение 12. Доказать, что если f, g ∈ O(C) и |f (z)| ≤ |g(z)| ∀z ∈ C, то
∃C : f(z) = Cg(z) ∀z ∈ C.
Указание: применить утверждение (28) и теорему Лиувилля (7).
Принцип изолированности нулей
Утверждение 29. Пусть f ∈ O(a) и f (a) = 0. Тогда либо f ≡ 0 в окрестности точки a, либо ∃ε > 0 : f (z) ̸= 0 при 0 < |z − a| < ε.
Доказательство:
Если f ̸≡ 0 в окрестности точки a, то f (z) = (z − a)
n g(z), где g ∈ O(a) и g(a) ̸= 0.
Тогда в силу непрерывности g(z) при z = a ∃ε > 0 : g(z) ̸= 0 при |z − a| < ε.
47
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Определение области. Теорема об открыто-замкнутом подмножестве
Определение 17. Открытое множество D ∈ C называется областью, если оно линейно связно, то есть ∀a, b ∈ D
∃ непрерывное отображение γ : [0, 1] → D,
для которого γ(0) = a, γ(1) = b (иными словами, любые две точки из D можно соединить непрерывной кривой в D).
Замечание 13. Раньше, когда мы говорили об области, мы не имели в виду это топологическое определение, а просто использовали этот термин как синоним понятия множества.
Приведём примеры.
1) Круг B(a, r) = {|z − a| < r} – область.
2) Два непересекающихся круга B(a
1
, r
1
) ∪ B(a
2
, r
2
) – открытое множество, но не область.
Теорема 11. (Теорема об открыто-замкнутом подмножестве) Пусть D ∈ C
– область и A, B ∈ C – такие открытые множества, что A ∩ B = ∅ и A ∪ B = D.
Тогда либо A = ∅, либо B = ∅.
Доказательство:
Предположим, что оба множества A и B непусты. Выберем a ∈ A, b ∈ B и пусть
γ : [0, 1] → D – непрерывное отображение с γ(0) = a, γ(1) = b (такое γ существует по определению области). Пусть t
0
:= sup{t ∈ [0, 1] | γ(t) ∈ A}. Имеем: t
0
> 0 в силу открытости A и непрерывности γ, t
0
< 1 в силу открытости B и непрерывности γ.
Если γ(t
0
) ∈ A, то ∃ε > 0 : γ([t
0
− ε, t
0
+ ε]) ⊂ A, то есть ∃t > t
0
(так как t
0
< 1)
такое, что γ(t) ∈ A. Это противоречит определению t
0
как sup.
Если γ(t
0
) ∈ B, то ∃ε > 0 : γ([t
0
− ε, t
0
+ ε]) ⊂ B, тогда множество {t ∈ [0, 1] |
γ(t) ∈ A} имеет верхнюю грань t
0
− ε < t
0
(так как t
0
> 0). Это противоречит определению t
0
как sup.
Теорема единственности
Теорема 12. (Теорема единственности) Пусть D ⊂ C – область, f
1
, f
2
∈ O(D)
и ∃ множество M ⊂ D, имеющее в D предельную точку (то есть такую точку a ∈ D, что ∀ε > 0 {0 < |z − a| < ε} ∩ M непусто) и такое, что f
1
(z) = f
2
(z) ∀z ∈
∈ M . Тогда f
1
(z) = f
2
(z) ∀z ∈ D.
Доказательство:
Пусть A := множество всех предельных точек a ∈ D множества нулей f
1
− f
2
. По условию A непусто (содержит предельную точку множества M ). По утверждению
(29) о принципе изолированности нулей A открыто.
При этом B := D\A тоже открыто по определению A как множества предельных точек (если b ∈ B, то b не является предельной точкой множества нулей f
1
− f
2
, то есть в некоторой проколотой окрестности точки b нет нулей f
1
− f
2
, а значит, нет и точек A, то есть эта окрестность ⊂ B).
48
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
По теореме (11) об открыто-замкнутом подмножестве получаем, что одно из мно- жеств A или B пусто, но A непусто, значит, B = ∅ ⇒ A = D ⇒ множество нулей f
1
− f
2
, которое содержит в себе A в силу непрерывности f
1
− f
2
, совпадает с D.
Приведём примеры.
1) Если f, g ∈ O(0) и f
1
n

= g
1
n

при всех n ∈ N, n ≥ n
0
, то f ≡ g в окрестности точки 0.
2) Если f, g ∈ O(C) совпадают ∀z ∈ R, то они совпадают ∀z ∈ C (так как R имеет в C предельную точку, а именно: любая точка R – предельная).
В частности, свойство e z
1
+z
2
= e z
1
· e z
2
∀z
1
, z
2
∈ C вытекает из голоморфности e z
и того, что это свойство верно ∀z
1
, z
2
∈ R.
Сформулируем в качестве утверждения следствие из теоремы единственности
(12).
Утверждение 30. Если f ∈ O(D), где D ∈ C – область, то {a ∈ D | f (a) = 0} не более чем счётно (либо f ≡ 0 в D).
Доказательство:
Обозначим Z(f ) := {a ∈ D | f (a) = 0}. По теореме единственности (12) все точки множества Z(f ) изолированы: ∀a ∈ Z(f ) ∃ε > 0 : {0 < |z − a| < ε} ∩ Z(f ) = ∅
(иначе a – предельная точка Z(f ) и, следовательно, f ≡ 0 в D). Выберем произ- вольные точки q(a) ∈ (Q+iQ)∩
n
0 < |z − a| <
ε
3
o
. Тогда отображение, описываемое соответствием a 7→ q(a), есть вложение Z(f ) в счётное множество Q + iQ.
Упражнение 13. Пусть f
1
(z) = z
2
sin
1
z и f
2
(z) ≡ 0. Тогда f
1
, f
2
совпадают на множестве

1
πn
| n ∈ Z\{0}

, имеющем предельную точку z = 0, но неверно,
что f
1
≡ f
2

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
sin z :=
e iz
− e
−iz
2i
=
∞
X
n=0
(−1)
n z
2n+1
(2n + 1)!
;
cos z :=
e iz
+ e
−iz
2
=
∞
X
n=0
(−1)
n z
2n
(2n)!
б) Рациональные функции.
P (z)
Q(z)
=
J
X
j=1
K
j
X
k=1
c jk
(z − b j
)
k
+ P
1
(z) – разложение на простейшие дроби. В силу этого разложения достаточно уметь разлагать f (z) = (z − b)
−k по степеням (z − a).
По теореме (6) о разложении голономной функции в степенной ряд и по утвер- ждению (22) имеем: f (z) =
∞
X
n=0
f
(n)
(a)
n!
(z − a)
n при |z − a| < |b − a|.
f
(n)
(z) = −k(−k − 1) · . . . · (−k − n + 1)(z − b)
−k−n c
n
=
f
(n)
(a)
n!
= (−1)
n
·
k(k + 1) · . . . · (k + n − 1)
n!
· (a − b)
−k−n
= (−1)
n
C
k−1
k+n−1
·
· (a − b)
−k−n
Итак,
1
(z − b)
k
=
∞
X
n=0
(−1)
n
C
k−1
k+n−1
(a − b)
−k−n
(z − a)
n при |z − a| < |b − a|.
Эквивалентно:
a − b z − b

k
=
∞
X
n=0
C
k−1
k+n−1
z − a b − a

n при |z − a| < |b − a|.
в) Простейшие частные случаи для
a − b z − b

k
(a = 0, b = 1).
При k = 1:
1 1 − z
= 1 + z + z
2
+ . . . при |z| < 1 – геометрическая прогрессия.
При k = 2:
1
(1 − z)
2
= 1 + 2z + 3z
2
+ . . . при |z| < 1 – продифференцированная геометрическая прогрессия.
г) Логарифм.
Проинтегрируем геометрическую прогрессию из предыдущего пункта, получим:
− ln(1 − z) = z +
z
2 2
+
z
3 3
+ . . . при |z| < 1, где логарифм определяется рисунком ниже или формулой ln w = ln |w| + i arg w, где −π < arg w < π.
Для доказательства формулы надо продифференцировать ln w по теореме (3) об обратной функции.
50
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Рис. 8.1: Логарифм как обратное отображение к экспоненциальному отображению д) Бином Ньютона.
1 + C
1
α
z + C
2
α
z
2
+ . . .
=
(1 + z)
α
при |z|
<
1, где α
∈ C – любое,
C
n
α
:=
α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)
n!
,
(1 + z)
α
:= e
α ln(1+z)
Для доказательства надо продифференцировать n раз функцию (1 + z)
α
при
α = 0.
Частные случаи: при α = −1 и α = −2 получаем формулы из пункта (в).
Упражнение 15. Доказать, что при α = −
1 2
получается формула (1 − 4z)
−
1 2
=
=
∞
X
n=0
C
n
2n z
n при |z| < 1.
51
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 9
Разложение голоморфных функций в ряд Лорана
Теорема 13. Пусть f ∈ O(V ), где V := {z ∈ C | r
1
< |z − a| < r
2
}, 0 ≤ r
1
< r
2
≤ +
+∞. Тогда числа c
n
=
1 2πi
Z
|z−a|=ρ
f (z) dz
(z − a)
n+1
(9.1)
при всех n ∈ Z не зависят от выбора ρ ∈ (r
1
, r
2
), и ∀z ∈ V имеем:
f (z) =
+∞
X
n=−∞
c n
(z − a)
n
(9.2)
Сходимость ряда
+∞
X
n=−∞
c n
(z − a)
n означает, что сходятся его главная часть
−1
X
n=−∞
c n
(z − a)
n и правильная часть
+∞
X
n=0
c n
(z − a)
n
Доказательство:
1) Независимость c n
от выбора ρ вытекает из интегральной теоремы Коши (5)
для области {ρ
1
< |z − a| < ρ
2
} и функции f (z)
(z − a)
n+1 2) Зафиксируем z ∈ V и выберем s, t так, что r
1
< s < |z − a| < t < r
2
. По интегральной формуле Коши (6.1) f (z) =
1 2πi
Z
|ζ−a|=t f (ζ) dζ
ζ − z
−
1 2πi
Z
|ζ−a|=s f (ζ) dζ
ζ − z
Обозначим I
1
:=
1 2πi
Z
|ζ−a|=t f (ζ) dζ
ζ − z и I
2
:=
1 2πi
Z
|ζ−a|=s f (ζ) dζ
ζ − z
. Тогда f (z) = I
1
− I
2
Рис. 9.1: Область V и контуры интегрирования
52
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Для |ζ − a| = t имеем |ζ − a| > |z − a|. Тогда f (ζ)
ζ − z
=
f (ζ)
(ζ − a) − (z − a)
=
=
f (ζ)
(ζ − a)

1 −
z − a
ζ − a

Используя разложение суммы бесконечно убывающей геометрической прогресии
1 1 −
z − a
ζ − a
=
+∞
X
n=0
z − a
ζ − a

n
, получаем:
f (ζ)
ζ − z
=
=
+∞
X
n=0
f (ζ)(z − a)
n
(ζ − a)
n+1
. Полученный ряд сходится равномерно по ζ на окружности
|ζ − a| = t по признаку Вейерштрасса, так как f (ζ)(z − a)
n
(ζ − a)
n+1
≤
M |q|
n t
, где M :=
= max
|ζ−a|=t
|f (ζ)|, |q| =
z − a
ζ − a
=
|z − a|
t
< 1. Тогда можем проинтегрировать этот ряд почленно: I
1
=
1 2πi
Z
|ζ−a|=t f (ζ) dζ
ζ − z
=
+∞
X
n=0 1
2πi
Z
|ζ−a|=t f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
· (z − a)
n
=
+∞
X
n=0
c n
(z − a)
n
– получилась правильная часть ряда Лорана.
Для |ζ − a| = s имеем |ζ − a| < |z − a|. Тогда f (ζ)
ζ − z
=
f (ζ)
(ζ − a) − (z − a)
=
=
−
f (ζ)
(z − a)

1 −
ζ − a z − a
.
Используя разложение суммы бесконечно убываю- щей геометрической прогресии
1 1 −
ζ − a z − a
=
+∞
X
m=0
ζ − a z − a

m
, получаем:
f (ζ)
ζ − z
=
= −
+∞
X
m=0
f (ζ)(ζ − a)
m
(z − a)
m+1
. Полученный ряд сходится равномерно по ζ на окружности
|ζ − a| = s по признаку Вейерштрасса, так как f (ζ)(ζ − a)
m
(z − a)
m+1
≤
M |q|
m t
, где M :=
= max
|ζ−a|=s
|f (ζ)|, |q| =
ζ − a z − a
=
s
|z − a|
< 1. Тогда можем проинтегрировать этот ряд почленно: I
2
=
1 2πi
Z
|ζ−a|=s f (ζ) dζ
ζ − z
= −
+∞
X
m=0 1
2πi
Z
|ζ−a|=s f (ζ)(ζ − a)
m dζ · (z − a)
−m−1
=
= −
+∞
X
m=0
c
−m−1
(z − a)
−m−1
= −
−1
X
n=−∞
c n
(z − a)
n
– получилась главная часть ряда
Лорана.
Таким образом, f (z) = I
1
− I
2
=
+∞
X
n=−∞
c n
(z − a)
n
53
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА