P = 1.

При P < 1 доверительная приборная погрешность рассчитывается по формуле

(9)

где (при ), а значение предельной погрешности определяется либо по классу точности по формуле (8), либо берется равным цене деления или половине цены деления прибора (см. табл. 4).

Таблица 4

Предельные погрешности лабораторных приборов и инструментов

Прибор или инструмент	Цена деления прибора	Предельная погрешность δ (Р = 1)
Измерительная линейка	1 мм/дел	1 мм
	1 см/дел	0,5 см
Штангенциркуль	0,1 мм/дел	0,1 мм
	0,05 мм/дел	0,05 мм
Микрометр	0,01 мм/дел	0,01 мм
Весы технические до 2 кг	­	1 г
Весы аналитические до 0,2 кг	0,1 мг/дел	0,1 мг
Секундомер электронный	0,001 с/дел	0,001 с
Часы с секундной стрелкой	1 с/дел	1 с
Прибор с указанным классом точности K	C	10–2 · K · xmax
Электроизмерительный прибор без класса точности	C	C · 1 дел.
Магазины и мосты без класса точности K и без паспортных данных	C	±5 % от измеренной величины
Табличная величина		±0,5 единицы последнего приведенного в ее записи разряда

Обобщая правила вычисления погрешностей при прямых измерениях, необходимо иметь в виду следующее. В случае приблизительного равенства погрешностей

---

и результирующую погрешность результата измерений вычисляют по формуле

. (10)

Если вычисленная по формуле (7) случайная погрешность окажется по крайней мере в два раза меньше приборной , то случайной погрешностью можно пренебречь, и тогда . И наоборот, когда случайная погрешность по крайней мере в два раза больше, чем приборная, то пренебрегают последней и . Отметим, что случайную погрешность можно сделать очень малой величиной (например, за счет увеличения числа измерений), однако измерения не могут быть точнее, чем это допускает прибор.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

В большинстве экспериментов интересующая нас величина непосредственно не измеряется. Вместо этого измеряются другие величины (аргументы) и т. д., а затем искомая величина A вычисляется на основе заданной функциональной зависимости

(11)

Если для каждого аргумента в выражении (11) экспериментально найдены средние значения и вычислены погрешности , то за наилучшее приближение для величины A принимается значение



получающееся при подстановке в выражение (11) вместо истинных значений аргументов их средних экспериментальных значений.

Доверительная погрешность косвенных измерений величины

---

A определяется погрешностями прямых измерений (однократных или многократных) всех аргументов , входящих в формулу (11).

Полное приращение функции , обусловленное изменением ее аргументов на малые величины , может быть, как известно из курса высшей математики, c достаточной точностью вычислено по формуле

, (12)

где , , – частные производные функции A по ее соответствующим аргументам.

Напомним, что при вычислении частной производной все аргументы функции кроме того, по которому производится дифференцирование, считаются постоянными.

Рассматривая в выражении (12) величины как погрешности прямых (однократных или многократных) измерений аргументов, можем считать каждое из слагаемых правой части этой формулы вкладом в общую погрешность измерений функции A. Полагая эти вклады независимыми, по доказанному в математической статистике закону сложения погрешностей получаем общую формулу для вычисления погрешности при косвенных измерениях

(13)

Таким образом, для того чтобы определить абсолютную погрешность результата косвенного измерения, следует найти частные производные функции A по всем аргументам, подставить в них найденные на предыдущем этапе измерений средние значения аргументов и произвести расчет по формуле (13).

---

При расчете погрешностей по формуле (13) допустимо пренебрегать теми слагаемыми подкоренного выражения, которые по крайней мере в 2–3 раза меньше максимального (коэффициент 3 применяется в тех случаях, когда слагаемых много и малые погрешности могут внести заметный вклад в общую погрешность). Это соображение существенно упрощает расчет погрешности, а также позволяет четко выявить тот аргумент, погрешность которого имеет определяющее значение. Данный подход удобен при обсуждении результатов и важен для поиска путей повышения их точности.

Если искомая функция удобна для логарифмирования (состоит из множителей и делителей в разных степенях), учитывают, что полное приращение функции может быть с достаточной точностью рассчитано по формуле

, (14)

и вместо выражения (13) получают следующее соотношение:

(15)

Заметим, что правая часть выражения (15) дает значение относительной погрешности . Практика расчетов погрешностей результатов косвенных измерений свидетельствует о том, что вычислить относительную погрешность по формуле (15), а затем абсолютную погрешность из соотношения оказывается проще, чем производить расчеты по формуле (13).

Окончательно рекомендуется следующий алгоритм обработки результатов косвенных измерений.

1. Выполнить (однократные или многократные) прямые измерения аргументов измеряемой функции :

; ;

---

,

где n – число наблюдений аргумента x; m – число наблюдений аргумента y. (Подразумевается, что величина z является результатом однократного прямого измерения.)

2. Найти среднее арифметические значение аргументов

; ;

3. Вычислить предварительный результат измерений

.

4. Вычислить абсолютные погрешности отдельных результатов наблюдений для каждого аргумента (при многократных его измерениях), а также их квадраты и соответствующие суммы:

;

5. Для данных значений n, m и P найти по таблице коэффициент Стьюдента и вычислить погрешности аргументов (случайные или приборные):



6. Если функция удобна для логарифмирования, прологарифмировать ее и по формуле (15) вычислить относительную погрешность:

,

а затем абсолютную погрешность .

Если функция неудобна для логарифмирования, то определить доверительную погрешность

---

Смотрите также файлы

• Решение Момент инерции шара радиуса R, относительно оси, проходящей через его центр определяется по формуле (1).docx

• Развитие пенсионных систем в развитых странах мира и России. Абдуллина Алия.pptx

• Методические рекомендации по написанию практикума соответствуют рабочей программе дисциплины Административное право и Административнопроцессуальное право.pdf

• Каковы рекомендации врача.doc

• 1. зачетные соревнования на учебных занятиях.docx