Қостанай облысы Қостатай ауданы әкімдігінің«Мичурин орта мектебі» ММГУ «Мичуринскаясредняяшкола»Отделаобразования акимата Костанайского района, КостанайскойобластиВекторы в пространствеМетодическое пособие10-11 классовс. МичуринскоеУДК 371.3ББК 74.262.21В27Рецензентты:Вельченко О. А Магистр математики, старший преподаватель кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин Костанайского филиала ФГБОУ ВПО«Челябинский государственный университет»Альмагамбетова М.К Заместитель директора по учебной работе ГУ «Мичуринская средняя школа»Векторы в пространстве: Методическое пособие/сост: З. А. Альмагамбетова.-Костанайскаяобласть, Костанайскийрайон, 2016.- 32.с.ISBN 978-601-316-177-8Пособие предназначено для более подробного изучения темы «Векторы в пространстве» по стереометрии за курс 10-11 классов общеобразовательной школы. Данное пособие может быть использовано учителями математики средних школ при обучении школьников решению векторных задач, а также студентами математических специальностей педагогических институтов.УДК 371.3ББК 74.262.21©Альмагамбетова З. А.,2016Введение.Данное пособие адресовано в первую очередь тем, кто желает успешно подготовиться к ЕНТ по математике. Цель нашего пособия - рассмотреть примеры решения некоторых стереометрических задач, предлагаемых на ЕНТ, которые позволят лучше понять и запомнить векторный и координатный способы решения геометрических задач.Данное пособие включает в себя перечень основных формул на применение координат и векторов при вычислении расстояний, углов, площадей и объёмов в стереометрических задачах. Затем приводятся примеры решения задач различного уровня сложности и упражнения для самостоятельного решения (с ответами). Задания взяты из различных сборников ЕНТ. Рекомендации по работе с пособием:

1. 
   Внимательно ознакомьтесь со справочным материалом, при необходимости повторите теоретический материал по школьному учебнику или по другим источникам (см. список литературы). Применение основных формул сопровождается иллюстрирующими задачами.
   
2. 
   Прочитав задачу, попытайтесь решить её самостоятельно, не заглядывая в решение, предложенное в пособии. Не исключено, что Ваше решение может оказаться более рациональным или оригинальным.
   
3. 
   Если же задачу не удаётся решить самостоятельно, посмотрите начало решения, указанное в пособии. Возможно, Вам достаточно будет какой-то начальной идеи, чтобы завершить решение самостоятельно.
   
4. 
   Если всё-таки задачу решить не можете, ознакомьтесь с полным решением, предложенным в пособии. После этого обязательно перерешайте разобранную задачу от начала до конца самостоятельно.
   
5. 
   В некоторых задачах предложены несколько способов решения. Разберите каждый! После этого переходите к упражнениям для самостоятельной работы.
   

---

Пособие будет полезно не только учащимся старших классов, но и учителям математики. Проанализировав решения, учитель математики сможет более эффективно построить систему учебных занятий. С другой стороны, он будет иметь реальную возможность отбора задач для осуществления контроля за освоением конкретным учеником данной темы.Векторы на плоскости

Вектором называется отрезок, у которого указаны начало и конец (т.е. величина, которая характеризуется численным значением и направлением).

Координаты и длина вектора

Даны точки А(х1;у1) и В(х2; у2) Координаты вектора
Длина вектора вычисляется по формуле:
Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
Действия над векторами Если , то
Разложение вектора по координатным векторам Если , то
Коллинеарные векторы Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Условие коллинеарностивекторов в координатном представлении:	- сонаправленные векторы - противоположно направленные векторы
Равные векторы ,если: У равных векторов соответствующие координаты равны. Противоположные векторы ( противоположные векторы, если: Соответствующие координаты противоположны.
Ортогональные векторы Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов, на плоскости:	- ортогональные векторы
Скалярное умножение векторов Скалярным произведением двух векторов называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними : Скалярное произведение векторов выражается через координаты:	=900  00≤900  900≤1800 
Применение скалярного произведения к решению задач

---

Метод координат в пространстве

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),  Оси координат обозначаются так: OX- ось абсцисс OY- ось ординат OZ- ось аппликатточка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.  В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z).

Прямоугольная система координат в пространстве

Действия над векторами:

Сложение векторов

Вычитание векторов

Умножение вектора на число k.

Координаты середины отрезка AB: А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2). Точка М середина отрезка AB.

Вычисление длины вектора по его координатам:

Расстояние между двумя точками. А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).

Вычисление координат вектора . Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).

Скалярное произведение векторов и выражается формулой:

Перпендикулярность векторов: ;

Коллинеарность векторов: ; , если координаты векторов не равны нулю.

Косинус угла между ненулевыми векторами векторов и вычисляется по формуле:

---

Задачи по теме «векторы в пространстве»А1.Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).Найдите | 2АВ+3СД | Решение: (2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2) (-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).2 +3 =(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19). +3 = =Ответ:2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .Решение:cosα=CД(-4;4;0) = =4MN=(-3;4;-5) = =5Cosα= = =0,7Ответ:0,7

---

3. Вычислите угол между векторами (2; -2; 0) и (3; 0; -3). Решение:Cos =ab=2*3+(-2)*0+(-3)*0=6 = =2 = =3cos = = =60⁰Ответ :60⁰4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: (2; -1;3) и (1;3; n)?Решение:ab=2*1-3*(-1)+3n3n-1=03n=1n=Ответ:5.Вычислите координаты вектора 2 +3 + по координатам векторов: (3;1; 1), (-2;0;2)Решение:2 + =(2*3;2*1;2*1)+(3*(-2);3*0;3*2)+(1;-1;0)=(6-6+1;2+0-1;2+6)=(1;1;8)Ответ:(1;1;8)6.Вычислите значение k , при котором скалярное произведение векторов (2;k;-1) и (3; -1; 2k) равно(-5)Решение:ab=2*3-k-2k

---

Смотрите также файлы

• Россия священная наша держава, Россия любимая наша страна.docx

• Оушыны з масаты мен тапсырмаларын білу, тсіну жне баалауды амтитын метатануды лшеу рылымы.docx

• Таырыбы рашан кн снбесін.docx

• Біліктілік санатын беру (растау) рсіміне атысуа тініш.docx

• Конкурса Навигаторы детства 0.pptx