+ (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2. 
   перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
   

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3. 
   вспомним, что число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
   а число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
   
4. 
   согласно п. 2, число 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ запишется как 382 единицы и 2018 нулей
   
5. 
   добавляем старшее слагаемое 2⁴⁰³², получаем число 2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸, в котором 383 единицы и в конце (после последней единицы) – 2018 нулей:
   

6. 
   выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число 2²⁰¹⁸):
   

,

где число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно

7. 
   согласно п. 2, число 2²⁰¹⁸ – 2⁶ запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое:
   

где число L содержит 2011 единиц

8. 
   теперь остаётся найти, сколько единиц будет в двоичной записи числа 2⁶ – 2⁴, согласно п. 2 находим, что оно содержит 2 единицы
   
9. 
   таким образом, общее число единиц равно 382 + 2011 + 2 = 2395
   
10. 
    ответ: 2395.
    

Решение (способ 2, Е.А. Смирнов, Нижегородская область):

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴
   

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2. 
   перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
   

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3. 
   представим – 2²⁰¹⁸ = – 2²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁸ и – 2⁶ = – 2⁷ + 2⁶
   

---

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁸ – 2⁷ + 2⁶– 2⁴

4. 
   слагаемое 2⁴⁰³² в двоичной записи содержит 1 единицу
   
5. 
   слагаемое 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁹ содержит 381 единицу (число 2^N–2^K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: )
   
6. 
   слагаемое 2²⁰¹⁸ – 2⁷ содержит 2011 единиц, слагаемое 2⁶– 2⁴ содержит 2 единицы
   
7. 
   позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395
   

ответ: 2395

Решение (способ 3, А.И. Козлов, г. Северобайкальск):

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴
   

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2. 
   перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки
   

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3. 
   выражение 2²⁴⁰⁰–2⁴ дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (2⁶) и, соответственно на 2019 месте справа (2²⁰¹⁸). Следовательно, остается 2394 единички.
   
4. 
   С учетом того, что 2⁴⁰³² дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц
   
5. 
   Ответ: 2395
   

---

Ещё пример задания:

Р-15. Решите уравнение .
Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1. 
   удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему
   
2. 
   получаем
   
3. 
   уравнение приобретает вид , откуда получаем
   
4. 
   переводим 15 в шестеричную систему счисления:
   
5. 
   ответ: 23.
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу с помощью программы:
   

a = int('60', 8 ) # перевод "60" в 10-ю систему

b = int('120', 7 ) # перевод "120" в 10-ю систему

x = b - a # число Х в 10-й системе

x6 = ''

while x > 0:# перевод в 6-ю систему

x6 += str(x%6)

x //= 6

x6 = x6[::-1]# разворот числа

print(x6)

2. 
   ещё один вариант программы (Б.С. Михлин):
   

x = int( '120', 7 ) - int( '60', 8 )

print('в 10 c.c:', x)

s = ''

while x:

s = str( x%6 ) + s

x //= 6

print( 'Ответ в 6 с.с:', s )

3. 
   ответ: 23.
   

Ещё пример задания:

Р-14. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение:

1. 
   если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело
   
2. 
   поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15
   
3. 
   очевидно, что это число 15.
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу с помощью программы:
   

for i in range(1,100):

x = i

x3 = ''

while x > 0:# перевод в 3-ю систему

---

x3 += str(x%3)

x //= 3

x3 = x3[::-1][-1]# последняя цифра числа

x = i

x5 = ''

while x > 0:

x5 += str(x%5)

x //= 5

x5 = x5[::-1][-1]

if x3 == "0" and x5 == "0":

print(i)

break

2. 
   ответ: 15.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

1. 
   Используется тот факт, что последняя цифра в записи числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N:
   

for x in range(1,101): # ищем решение от 1 до 100

if x%3 == x%5 == 0: # 'and' можно не использовать

print(x)

break

2. 
   ответ: 15.
   

Ещё пример задания:

Р-13. Запись числа 67₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение:

1. 
   поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом имеем
   

2. 
   следовательно, основание N – это делитель числа 66
   
3. 
   с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть
   
4. 
   выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:
   

5. 
   видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие
   
6. 
   таким образом, верный ответ – 3.
   
7. 
   можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 67₁₀ = 2111₃
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу с помощью программы:
   

for i in range(2,37):# перебираем возможные основания

x = 67

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

---

x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N[-1]== "1" and len(x_N) == 4:

print(i)

break

2. 
   ответ: 3.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

1. 
   Если при переводе из 10-й в N-ю систему счисления очередную полученную цифру дописывать слева к найденным ранее цифрам (т.е. так, как мы и делаем при ручном переводе), то не нужен будет разворот числа.
   
2. 
   Для i > 10 надо учитывать, что цифра может быть буквой.
   
3. 
   Верхняя граница основания 99 в цикле for i завышена. Арабских цифр и латинских букв хватит только для оснований до 10+26=36. Далее нет общепринятых правил обозначения цифр (если хотим получать N-ичное представление числа).
   

for N in range(2, 37): # подбираем основание от 2 до 36

x = 67

s = '' # в s будет представление числа в N-ичной системе

while x:

d = x % N # цифра (digit)

if d < 10:

d = str( d ) # цифра от 0 до 9

else:

d = chr( ord( 'A' ) + d - 10 ) # «цифра» от A до Z

s = d + s # цифру d приписываем слева к s

x //= N

if s[-1] == '1' and len( s ) == 4:

print( N )

break

4. 
   возможен второй вариант: без представления всего числа в N-й системе счисления; здесь можно брать основание больше 36.
   

for N in range(2, 101): # подбираем основание от 2 до 100

x = 67

k = 0 # счетчик цифр (разрядов) N-ичного числа

while x:

d = x % N # очередная цифра (digit)

k += 1

if k == 1: d0 = d # d0 - младшая цифра

x //= N

if d0 == 1 and k == 4:

print( N )

break

5. 
   ответ: 3.
   

---

Смотрите также файлы

• Дневник производственной практики пм. 04 Выполнение работ по профессии Младшая медицинская сестра по уходу за больными.docx

• Немного предыстории и истории Power bi.pdf

• Противодействие коррупции любых стран.docx

• Сценарий 9 мая 2023 года.docx

• Методические рекомендации по организации выполнения и защиты дипломного проекта (работы) по программам подготовки специалистов среднего звена.docx