Файл: Позиционные системы счисления.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 1051

Скачиваний: 9

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Еще пример задания:


Р-12. Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение:

  1. поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем



  1. следовательно, основание N – это делитель числа

  2. с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть

  3. неравенство дает (так как )

  4. неравенство дает (так как )

  5. таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа

  • 9, при получаем запись числа

  • 14, при получаем запись числа

  • 18, при получаем запись числа

  • наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)

  • таким образом, верный ответ – 18.

    Решение (программа на
    Python, А.Н. Носкин):

    1. можно решить задачу с помощью программы:

    for i in range(100,1,-1):# перебираем возможные основания

    x = 381

    x_N = ''

    while x > 0:# перевод в N-ю систему

    if x%i>9:break # пропускаем цифры в виде букв

    else: x_N += str(x%i)

    x //= i

    x_N = x_N[::-1]# разворот числа

    if x_N == '': pass

    elif x_N[-1]== "3" and len(x_N) == 3:

    print(i)

    break

    1. ответ: 18.

    Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

    1. Если цифры больше девяти не представлять латинскими буквами, то программа даст неверный ответ 27, т.к. 381 в 27-ичной системе не (14)3, а E3 (т.е. двухзначное число)

    for N in range(36, 3, -1): # подбираем основание N от 36 до 4

    x = 381

    s = ''

    while x:

    d = x % N # цифра (digit)

    if d < 10:

    d = str( d ) # цифра от 0 до 9

    else:

    d = chr( ord( 'A' ) + d - 10 ) # буквенная цифра от A до Z

    s = d + s # цифру d приписываем слева

    x //= N

    if s[-1] == '3' and len( s ) == 3:

    print( N )

    break

    1. ответ: 18.

    Еще пример задания:


    Р-11. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

    Общий подход:

    • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.

    • в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 114 = 5

    • потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

    Решение (вариант 1, через десятичную систему):

    1. общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:



    где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

    1. среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )

    2. таким образом, верный ответ – 5, 21 .

    Возможные ловушки и проблемы:

    • выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие

    • остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему

    • найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

    Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

    1. переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения

    2. из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
      это 114 = 5 и 1114 = 21

    3. таким образом, верный ответ – 5, 21 .

    Возможные ловушки и проблемы:

    • есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25)

    • можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести

    Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

    1. можно решить задачу с помощью программы:

    for i in range(1,31):# перебираем ответы

    x = i

    x4 = ''

    while x > 0:# перевод в 4-ю систему

    x4 += str(x%4)

    x //=4

    x4 = x4[::-1]# разворот числа

    if x4[-2:]== "11":

    print(i, end=",")

    1. ответ: 5, 21.

    Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

    1. полная программа:

    for d in '0', '1': # d - цифра (digit). При d > 1 - выход за 25

    # int - переводит из 4-ой в 10-ую систему

    print( int( d+'11', 4 ), end = ',' )

    1. Ответ: 5, 21.

    Еще пример задания:


    Р-10. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

    Общий подход:

    • здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

    • поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть

    • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на

    Решение:

    1. итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

    (*)

    где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

    1. сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

    2. из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2

    3. в этой задаче есть только три таких делителя: и

    4. таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .

    • Смотрите также файлы