где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

8. 
   используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19
   
9. 
   таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .
   

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ):

1. 
   нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел
   
2. 
   поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)
   
3. 
   есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3
   
4. 
   выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 30₅ = 15, 31₅ = 16, 32₅ = 17, 33₅ = 18 и 34₅ = 19
   
5. 
   таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно решить задачу с помощью программы:
   

for i in range(1,31):# перебираем ответы

x = i

x5 = ''

while x > 0:# перевод в 5-ю систему

x5 += str(x%5)

x //= 5

x5 = x5[::-1]# разворот числа

if x5[0]== "3":

print(i, end=",")

2. 
   ответ: 3, 15, 16, 17, 18, 19.
   

Еще пример задания:

Р-05. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение (1 способ):

1. 
   Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то
   
   1. 
      , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3
      
   2. 
      это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число
      
2. 
   определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .
   
3. 
   очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает
   

---

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

4. 
   остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение
   

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

5. 
   получаем
   
   1. 
      при :
      
   2. 
      при : решения – не целые числа
      
   3. 
      при : и , второе решение не подходит
      
6. 
   таким образом, верный ответ: 4, 68.
   

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1. 
   запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем
   

2. 
   таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
   
3. 
   среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:
   

---

так что первый ответ: 68.

4. 
   остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше
   
5. 
   поэтому , следовательно,
   
6. 
   по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием  3 цифры 3 нет)
   
7. 
   итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)
   
8. 
   таким образом, верный ответ: 4, 68.
   

Возможные ловушки и проблемы: на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3) можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание нужно помнить, что максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления 100 в системе с основанием p равно p2

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно решить задачу с помощью программы:
   

for i in range(4,100):# перебираем возможные основания

x = 71 # число по условию

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

if x%i>9:break # пропускаем цифры в виде букв

else: x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N[-2:]== "13":

print(i, end=",")

2. 
   ответ: 4, 68.
   

Решение (программа на

---

Python, Б.С. Михлин):

1. 
   полная программа:
   

for x in range(4, 72): # x - основание от 4 до 71

# (дальше перебирать нет смысла)

# справа число 13 переведено в 10-ую систему

if 71 % (x*x) == x + 3:

print( x, end = ',' )

2. 
   Ответ: 4, 68.
   

Еще пример задания:

Р-04. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.

Решение (1 способ):

1. 
   Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то
   
   1. 
      , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2
      
   2. 
      это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число
      
2. 
   определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .
   
3. 
   очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает
   

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

4. 
   остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение
   

или равносильное

---

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

5. 
   получаем
   
   1. 
      при :
      
   2. 
      при : решения – не целые числа
      
   3. 
      при : и , второе решение не подходит
      
   4. 
      при : решения – не целые числа
      
6. 
   таким образом, верный ответ: 6, 42.
   

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1. 
   запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем
   

2. 
   таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
   
3. 
   среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:
   

так что первый ответ: 42.

4. 
   остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше
   
5. 
   поэтому , следовательно,
   
6. 
   по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому
   
7. 
   итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится)
   
8. 
   переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):
   

   8	6		3				Дальше делить нет смысла	8	6		4							8	6		6					8	6		7
   8	4		2	8		3		8	4		2	1			4			8	4		1	4		6		8	4		1	2		7
   	2		2	7		9…			2		2	0			5…				2		1	2		2			2			7		1
   				1								1										2								5

9. 
   таким образом, верный ответ: 6, 42.
   

---

Смотрите также файлы

• Дневник производственной практики пм. 04 Выполнение работ по профессии Младшая медицинская сестра по уходу за больными.docx

• Немного предыстории и истории Power bi.pdf

• Противодействие коррупции любых стран.docx

• Сценарий 9 мая 2023 года.docx

• Методические рекомендации по организации выполнения и защиты дипломного проекта (работы) по программам подготовки специалистов среднего звена.docx