Файл: Конспект лекций по дисциплине Дистанционное зондирование и фотограмметрия для студентов 2 курса направление подготовки.pdf

36
'
'
Z
Z
Z
Y
Y
Y
S
S



'
'
)
(
Z
Y
Z
Z
Y
Y
S
S



'
'
)
(
Z
Y
Z
Z
Y
Y
S
S























f
c
y
y
c
x
x
c
Z
f
b
y
y
b
x
x
b
Y
f
a
y
y
a
x
x
a
X
3 0
2 0
1 3
0 2
0 1
3 0
2 0
1
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
Из анализа формул видно, что при вычислении нужно знать
Z
точки местности. Она может быть снята с карты. Т.о. точность
XY
будет зависеть от точности измерения
xy
и от ошибки определения
Z
Для вычисления координат точек местности эти формулы используются редко. В основном для определения элементов внешнего ориентирования снимка.
Обратная связь
Рисунок 29 - Зависимость между координатами точек местности и снимка
(обратная)
r
R
R
r
R
N
S
A



Отличие от предыдущего вывода в том, что при переходе к координатной форме векторы проектируются не на внешнюю систему координат, а на систему координат снимка.
f
Z
y
y
Y
x
x
X








0 0
Z
R
r
a
A
A
R
S
R
X
Y
S x’ y’ z’
X
*
Y
*
Z
*

37
*
*
0
Z
X
f
x
x



*
*
0
Z
Y
f
y
y



Обычно для точки фотографирования и точки местности известны координаты во внешней системе
XYZ
Z
Y
X
S
S
S
Запишем зависимость между координатами в системе координат снимка и во внешней системе.
S
S
S
Z
Z
Y
Y
X
X
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Z
Y
X





3 3
3 2
2 2
1 1
1
*
*
*


























)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3 3
3 2
2 2
1 1
1
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
Z
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
Y
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
X
2.6 Определение элементов внешнего ориентирования снимка по
координатам опорных точек.
Решение
уравнений
для
определения
элементов
внешнего
ориентирования снимка по координатам опорных точек.
Из изложенного ранее следует, что для определения координат точек местности нужно знать элементы внешнего ориентирования снимка. В настоящее время координаты
S
S
S
Z
Y
X
можно определить с помощью GPS, а угловые элементы можно определить инерциальными системами. Но так как эти системы дорогостоящие и могут иметь сбои в работе, то применяются не всегда. Поэтому используют фотограмметрический метод определения элементов внешнего ориентирования – по опорным точкам.
Опорными точками называют точки, координаты которых определены на местности, как правило, в геодезической системе координат Гаусса и они опознаны на снимке. Если измерить координаты опорных точек на снимке, то можно записать прямую или обратную связь координат точек снимка и местности. Рассмотрим вариант для обратной связи.

38
*
*
0
Z
X
f
x
x



*
*
0
Z
Y
f
y
y





























)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3 3
3 2
2 2
1 1
1
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
Z
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
Y
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
X
Здесь неизвестные
S
S
S
Z
Y
X

Одна опорная точка дает 2 уравнения с 6 неизвестными.
Если взять три опорные точки, то получим 6 уравнений с 6 неизвестными – то есть их можно решить.
Для того, чтобы решить с контролем берут 4 опорные точки.
В данных уравнениях неизвестные входят в направляющие косинусы, которые являются тригонометрическими функциями и кроме того они перемножаются друг на друга, такие уравнения называются нелинейными.
Непосредственно такие уравнения решить нельзя. Для этого используют различные приемы. Наиболее распространенный способ – приведение нелинейных уравнений к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора.
Для этого задают приближенные значения функции и дополняют её частными производными.












z
z
y
y
x
x








0
Если приближенная функция задана грубо, то добавляют вторую, третью, четвертую и т.д. производные.
В фотограмметрии, как правило, аргументы задают грубо и при разложении в ряд следовало бы расписывать до n производной, но тогда уравнения получаются громоздкими и чтобы этого избежать ограничиваются первой производной. А чтобы достичь соответственной точности используют итерационный метод Ньютона.
Основываясь на сказанном, распишем






































x
x
x
S
S
x
S
S
x
S
S
x
S
S
S
x
изм
Z
Z
Y
Y
X
X
Z
Y
X
x

39






































y
y
y
S
S
y
S
S
y
S
S
y
S
S
S
y
изм
Z
Z
Y
Y
X
X
Z
Y
X
y
0
x
x
x
изм


0
y
y
y
изм


Введем обозначения


*
*
0 0
0 0
0 0
Z
X
f
Z
Y
X
x
S
S
S
выч







(2)


*
*
0 0
0 0
0 0
Z
Y
f
Z
Y
X
y
S
S
S
выч







-функции, вычисленные по приближенным значениям аргументов



























x
x
x
x
x
x
S
x
x
S
x
x
S
x
x
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a
;
;
;
;
;



























y
y
y
y
y
y
S
y
y
S
y
y
S
y
y
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a
;
;
;
;
;






x
x
x
S
x
S
x
S
x
выч
изм
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a
x
x













y
y
y
S
y
S
y
S
y
выч
изм
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a
y
y







Это уравнения в каноническом виде.
Запишем в виде уравнений.


0








изм
выч
x
x
x
S
x
S
x
S
x
x
x
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a






(1)


0








изм
выч
y
y
y
S
y
S
y
S
y
y
y
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a






y
l
Здесь неизвестные –




S
S
S
Z
Y
X
– поправки к приближенным значениям аргументов
0 0
0 0
0 0



S
S
S
Z
Y
X
deg
abc
– коэффициенты при неизвестных.
y
x
l
l
– свободные члены.
Уравнение вида (1) составляют для каждой опорной точки, если число опорных точек будет не 3 а больше, то в правой части будет не 0, а
y
x
v
v
Если число уравнений больше числа неизвестных, то уравнения решаются по методу наименьших квадратов.
 
 
min min


pvv
vv

40
Чтобы выполнить численное решение уравнений нужно вычислить численные значения коэффициентов deg
abc
и
y
x
l
l
изм
x
,
изм
y
– измеренные на снимке координаты опорных точек.
Чтобы найти
выч
x
,
выч
y
по формуле (2) нужно задать приближенные значения
0 0
0 0
0 0



S
S
S
Z
Y
X
, элементы внутреннего ориентирования, геодезические координаты опорных точек.
Если аэросъемка плановая, то
0 3


, то приближенные значения задаются равными 0. Чтобы задать
S
S
S
Z
Y
X
0 0
0
используют опорные точки.
Рисунок 30 – Стандартное расположение опорных точек
Из рисунка 30 видно, что приближенное значение
S
S
Y
X
0 0
можно получить как среднее из координат опорных точек.
4 4
3 2
1 0
оп
оп
оп
оп
S
X
X
X
X
X




4 4
3 2
1 0
оп
оп
оп
оп
S
Y
Y
Y
Y
Y




H
Z
Z
Z
Z
Z
оп
оп
оп
оп
S





4 4
3 2
1 0
Для вычисления коэффициентов необходимо взять производные от функций



























x
x
x
x
x
x
S
x
x
S
x
x
S
x
x
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a
;
;
;
;
;
оп 1 оп 2 оп 3 оп 4 оп 1 оп 2
S о
О

41
*
*
Z
X
f
x




























)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3 3
3 2
2 2
1 1
1
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
Z
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
Y
Z
Z
c
Y
Y
b
X
X
a
X
2
V
V
U
V
U
V
U











 
 
*
3 1
*
3
*
1 3
2
*
*
*
1 2
*
*
3
*
1
*
*
Z
x
a
fa
Z
x
a
Z
fa
a
Z
X
f
Z
fa
Z
X
a
Z
a
f
X
Z
X
f
X
a
S
S
x
x
































 
 
*
3 1
*
3
*
1 3
2
*
*
*
1 2
*
*
3
*
1
*
*
Z
x
b
fb
Z
x
b
Z
fb
b
Z
X
f
Z
fb
Z
X
b
Z
b
f
Y
Z
X
f
Y
b
S
S
x
x
































 
 
*
3 1
*
3
*
1 3
2
*
*
*
1 2
*
*
3
*
1
*
*
Z
x
c
fc
Z
x
c
Z
fc
c
Z
X
f
Z
fc
Z
X
c
Z
c
f
Z
Z
X
f
Z
с
S
S
x
x
































Рассмотрим пример дифференцирования по

 
































2
*
*
*
*
*
*
*
Z
X
Z
Z
X
f
Z
X
f
d
x
x


































cos cos cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos
3 2
1 3
2 1
3 2
1

















c
c
c
b
b
b
a
a
a




sin s
co cos n
si





Продифференцируем



*
X
и



*
Z
отдельно




S
S
Z
Z
c
X
X
a
X













1 1
*
1 1
1 1
sin sin sin cos cos sin sin cos
)
sin
(
cos
a
c
c
a




























S
S
Z
Z
a
X
X
с
X







1 1
*


42




S
S
Z
Z
c
X
X
a
Z













3 3
*
3 1
3 3
cos sin cos cos
a
c
c
a





















S
S
Z
Z
a
X
X
c
Z







3 3
*

 












 












*
3 3
1 1
2
*
3 3
*
1 1
*
2
*
*
*
*
*
Z
Z
Z
a
X
X
c
x
Z
Z
a
X
X
c
f
Z
Z
Z
a
X
X
c
X
Z
Z
a
X
X
c
Z
f
Z
X
Z
Z
X
f
d
S
S
S
S
S
S
S
S
x
x


























































Рассмотренные ранее теоретические операции были выполнены с целью преобразования строгого уравнения для определения элементов внешнего ориентирования и приведения уравнений к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора.
Решение же этих уравнений не рассматривалось.
Выше были получены формулы для вычисления коэффициентов deg
abc
и
y
x
l
l
После этого формируют матрицу коэффициентов
n
n
n
n
n
n
n
g
e
d
c
b
a
g
e
d
c
b
a
g
e
d
c
b
a
A






2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
6




S
S
S
Z
Y
X
X

61
матрица неизвестных
n
n
l
l
l
L

2 1
1

матрица свободных членов уравнений

43
n
n
v
v
v
V

2 1
1

матрица поправок
n
– число уравнений
V
L
AX


уравнение поправок


x
изм
выч
x
x
x
S
x
S
x
S
x
v
x
x
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a
















y
изм
выч
y
y
y
S
y
S
y
S
y
v
y
y
g
e
d
Z
c
Y
b
X
a














Чтобы решить эти уравнения нужно перейти к нормальным уравнениям. Для этого формируют транспонированную матрицу
T
A
(столбцы меняем на строки).
0


L
A
AX
A
T
T
0 61 66


C
X
B
нормальное уравнение
gg
ge
gd
gc
gb
ga
cg
ce
cd
bc
bb
ba
ag
ae
ad
ac
ab
aa
B







66
gl
bl
al
L


Решать нормальные уравнения можно любым предложенным в математике способом, но в фотограмметрии предпочитают решать по методу
Гаусса.
L
Q
X
1



1

Q
– обратная матрица диагональных коэффициентов нормальных уравнений.
В МНК предусмотрена оценка точности решенных уравнений и определенных уравнений.
Сначала вычисляют СКО единицы веса
 
 
k
n
v
v
v
v
y
y
x
x




n
– число уравнений (число опорных точек умноженное на 2)

44
k
– число неизвестных
Далее вычисляют СКО неизвестных




















 









Q
m
Q
m
Q
m
Q
m
Q
m
Q
m
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X
Так как приближенные значения были заданы грубо, то из первого решения уравнений неизвестные будут получены с большими ошибками, чтобы добиться точности используют итерационный метод Ньютона.
Суть которого в том, что при втором решении уравнений используют уточненные значения неизвестных.
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X









0 0
0















0 0
0
При втором решении заново вычисляют коэффициенты и свободные члены и опять формируют матрицу. И так до тех пор, пока поправки станут меньше ошибки измерения. Или можно просто задать число итераций. А также используют критерий разности значений неизвестных из смежных итераций.

45