Файл: пензенский государственный университет политехнический институт.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Диссертация

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 209

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание

Введение

Основные положения, выносимые на защиту:

Эквивалентные преобразования моделей задач линейного программирования

Анализ моделей и алгоритмов решения задач о назначениях

Анализ эквивалентных преобразований моделей задач о назначениях

Выводы

Модель и алгоритм решения задачи с приоритетными назначениями

Выводы

Алгоритм решения простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях Многообразие многокритериальных задач в сочетании с отсутствием единого принципа оптимальности порождает огромное число методов их решению. Использование того или иного подхода к решению конкретной задачи может оказать существенное влияние на трудоемкость вычислений. Это относится особенно к специальным классам задач, для которых при скалярном критерии качества разработаны эффективные алгоритмы, использующие специфику ограничений и критериальной функции. Одной из таких задач является задача о назначениях.В основе подавляющего большинства методов решения многокритериальных задач лежит понятие веса критерия, характеризующего его сравнительную важность. Наиболее распространенные методы решения многокритериальных задач основаны на свертке набора исходных целевых функций (с учетом их веса) в один обобщенный скалярный критерий [71]. Такой подход позволяет получить оптимальное по Парето решение и при этом характеризуется вычислительной эффективностью. Использование свертки обеспечивает возможность применения для решения многокритериальной задачи о назначениях специально разработанные для однокритериального случая методы – венгерский и метод Мака.Свертка частных критериев разного смыслового содержания не позволяет интерпретировать значение взвешенного обобщенного критерия, поэтому в общем случае использование операторов свертки требует предварительного нормирования матриц затратСl,l 1, k, т.е. приведения их к единой безразмерной шкале. Часто используемый способ нормирования – минимакс-нормализация.Предлагается следующий алгоритм решения простейшей многокритериальной линейной задачи о назначениях (70) – (75). Нормировать матрицы затрат Сl, l 1, k: cl clсl ijmin . c  cijl maxlmin Составить целевые функции безразмерными коэффициентами: f1(X), f2 (X),..., fk(X) с n nlfl(X)  сijxij, l 1, ki1 j1 Составить вектор   (1, 2,..., k)весовых коэффициентов относительной важности целевых функцийf1(X), f2 (X),..., fk(X) ,l 0 , l 1.k, l 1. В том случае, если все критерии имеют одинаковуюl1 важность,l 1, l 1.k. Составить скалярную целевую функция (обобщенный критерий) g(X)   ) ,( f1(X), f2 (X),..., fk(X),где  – оператор свертки. Перейти к однокритериальной задаче о назначениях вида g(X)  min, (76) n xij 1, j 1, n,i1 (77) n xij 1, i 1, n,j1 (78) xij{0,1}, i, j 1, n. (79) Решить задачу (76) – (79) венгерским методом или методом Мака. Результатом является получение решения, оптимального по Парето. Решая задачу многократно и с изменением весовых коэффициентов, можно получить множество Парето-оптимальных решений. Вид свертки в каждом конкретном случае отражает приемлемую для ЛПР форму компромисса между частными критериями. Наиболее часто используемыми свертками являются линейная свертка, мультипликативная свертка и свертка на основе отклонения от идеальной точки. 1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   21

Решение простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки Под идеальной точкой в многокритериальной задаче о назначениях вида (71) – (76) понимают такой векторF*(X)  Rk, компоненты которого являются минимумами целевых функцийf1(X), f2 (X),..., fk(X) по отдельности, т.е.fl*(X)  min fl(X),XDl 1, k. В практических задачах идеальная точка является недостижимой [73]. Свертка на основе идеальной точкиF*(X)имеет вид: g(X)  (F(X), F*(X)) , где  – некоторая метрика вRk. Наиболее часто используются взвешенная чебышевская метрика g(X)  maxlfl(X)  fl* l (80) и взвешенная евклидова метрика kg(X)  ( fl(X)  fl*)2.l1 (81) Предлагается следующий алгоритм составления обобщенного скалярного критерия на основе идеальной точки: составить kоднокритериальных задач о назначениях вида n nlfl(X)  cijxij min,i1 j1n (82)  xij 1, j 1, n,i1n (83)  xij 1, i  1, n,j1 (84) xij{0,1}, i, j 1, n, (85) гдеl 1,k; найти X * – оптимальное решение l-й задачи вида (82) – (84) и lfl*  fl(X*) , l 1, k; lсоставить вектор F*(X)  ( f*, f*,..., f*) , гдеfl*  fl(X*) , l 1, k;1 2 k lсоставить свертку на основе отклонения от идеальной точки по формуле (80) или (81). Разработана программа для нахождения решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки средствами математического пакета Mathcad, полный текст которой представлен в приложении E. На рисунке 20 приведены результаты применения свертки на основе отклонения от идеальной точки к многокритериальной задаче о назначениях, исходные данные которой совпадают с исходными данными задачи, решенной с использованием линейной свертки: Рисунок 20 – Результаты решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки На рисунке 20 представлены матрица X – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием чебышевской метрики, и матрица Y – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием евклидовой метрики. Также программа находит для каждого оптимального по Парето решения значения соответствующего ему критериального вектора. Применяя алгоритм многократно с изменением весовых коэффициентов, можно построить множество точек Парето. Выбор конкретного решения из множества Парето-оптимальных осуществляется ЛПР.Следует отметить, что в некоторых прикладных задачах ЛПР за идеальную точку может принять реальное решение, соответствующее некоторым принятым стандартам или планируемым значениям. 1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21

Модель и алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях с целевыми функциями противоположного направления

Модель и алгоритм решения многокритериальной открытой задачи о назначениях Обобщим открытую задачу о назначениях на случай многокритериальности. Математическая модель такой задачи в предположенииm nимеет вид:

Модель и алгоритм решения многокритериальной задачи с порядком назначений Обобщим задачу с порядком назначений на случай многокритериальности. Математическая модель такой задачи имеет вид:nn f1(X)  c1 x min,(121) ijiji1 j1… nn k(X)  ckx min,n (122)  xij 1,n j 1, n, (123)  xij 1, i  1, n, (124) {0,1}, i1, n, j 1, n, , i1, n, j h1, n, j*  1, h. (126) f xij гдеP {1,2,.., h}пр.(i, j)  (i, j*)– подмножество индексов работ, распределяемых в первую очередь.В главе 2 показано, что однокритериальная задача с порядком назначений эквивалента совокупности двух последовательно решаемых задач – открытой и с недопустимыми назначениями. Аналогично, многокритериальная задача с порядком назначений эквивалента совокупности двух последовательно решаемых задач – многокритериальной открытой задаче и многокритериальной задаче с недопустимыми назначениями. Следовательно, можно описать алгоритм решения многокритериальной задачи с порядком назначений. Нормировать матрицы затрат Сl, l 1, k: cl clсl ijmin . c  cijl maxlmin Найти размер штрафа Ml 2n. Построить математическую модель назначения на работы из множества P :

Выводы

Заключение

Список использованных источников


вычислений величина Mдолжна быть конечной и, вместе с тем, достаточно большой, но при этом не слишком большой, чтобы не уменьшить точность вычислений. В [48] показано, что в качестве штрафа можно взять число

M n

max

(i, j)R

сij. Для определенности будем полагать, что

M 2n

max

(i, j)R

сij.


Тогда эквивалентное преобразование недопустимых назначений формулируется так:

  1. найти размер штрафа

M 2n

max

(i, j)R

сij;




  1. перейти к матрице затрат Q , построенной по правилу:


q cij, если (i, j) Rд. н.,

ijM, если (i, j) R.

д. н.

Результатом применения преобразования является переход к простейшей линейной модели вида:

nn

(X) qijxij min,

i1 j1
n
(34)

xij 1, j 1, n,

i1

n
(35)

xij 1, i1, n,

j1
(36)

xij{0,1}, i, j 1, n.
(37)

Модели (29) – (33) и (34) – (37) эквивалентны друг другу. Можно сформулировать алгоритм решения задачи о назначениях (29) – (33) :



  1. Применить к модели (29) – (33) эквивалентное преобразование недопустимых назначений. Результатом является получение эквивалентной модели (34) – (37).

  2. Решить задачу, описываемую соотношениями (34) – (37), венгерским методом или методом Мака.

Текст программы для нахождения решения задачи с недопустимыми назначениями средствами математического пакета «Mathcad» представлен в приложении В. Результаты работы программы представлены на рисунке 7.


Рисунок 7 – Результаты поиска оптимального решения задачи с недопустимыми назначениями
Подводя итоги анализа, важно отметить, что применение выделенных эквивалентных преобразований позволяет расширить подмножество задач о назначениях, для решения которых можно применять эффективные стандартные алгоритмы.

Выводы



Задача о назначениях широко используется в прикладной деятельности и имеет множество интерпретаций. Следствием прикладной направленности задачи является многообразие описывающих ее математических моделей, многие из которых носят нетривиальный характер.

Существуют стандартные алгоритмы поиска оптимального решения задачи о назначениях с простейшей линейной моделью, позволяющие получить точное решение за полиномиальное время, например, венгерский метод и метод Мака. Однако формулировка большинства прикладных задач о назначениях не удовлетворяет простейшей линейной модели, требует ее обобщения, введения дополнительных ограничений. Часто предложенные алгоритмы решения обобщенных задач о назначениях характеризуются громоздкостью используемого математического аппарата, а также не всегда гарантируют нахождения оптимального решения, что может привести к значительным экономическим потерям в контексте многих прикладных задач.

Математические модели задач о назначениях можно упростить с помощью эквивалентных преобразований. Некоторые задачи о назначениях (задача с целевой функцией на максимум, открытая задача, задача с матрицей затрат, на элементы которой не накладывается условие неотрицательности, задачи с запретами на отдельные назначения) с помощью эквивалентных преобразований можно привести к простейшему линейному виду и решить уже существующими полиномиальными алгоритмами, например, венгерским или методом Мака.

Выделение эквивалентных преобразований, специфических для задачи о назначениях, и математическое описание подмножества задач о назначениях, математическая модель которых эквивалентна простейшей линейной, позволит расширить класс задач, которые можно решить уже существующими эффективными полиномиальными алгоритмами, например, венгерским или методом Мака.

  1. Модели и алгоритмы решения однокритериальных обобщенных линейных задач о назначениях


    1. Модель и алгоритм решения задачи с недопустимыми комбинациями назначений

Обобщим задачу, описываемую соотношениями (29) – (33). Будем полагать, что вследствие некоторых условий, например, ввиду защиты конкуренции или особенностей технологии производства, запрещены некоторые комбинации назначений.

Пусть имеется nработ и nисполнителей. Известны трудовые затраты

cij

на выполнение i-м исполнителем j-й работы ( i 1,n,

j 1, n). Каждый


исполнитель может быть назначен только на одну работу, каждая работа может быть выполнена только одним исполнителем, при этом некоторые назначения одновременно невозможны. Требуется распределить работы так, чтобы они были исполнены с минимальными затратами.

Совокупность одновременно невозможных назначений назовем недопустимой комбинацией. Формально каждой такой комбинации

соответствует бинарное отношение

Rн.к. {(i, j)}

k

на множестве индексов

I {1,2,.., n}, представляющее собой совокупность пар

(i, j) , на которые не


разрешено одновременно делать назначения,

Rн. к. I I. Совокупность

k



k
комбинаций недопустимых назначений обозначим через




Rн. к. {Rн. к. | k 1, K}.

Rн.к. ,

В допустимом решении не могут присутствовать назначения,



k
составляющие комбинации так:

Rн. к. Rн. к. . Данное требование можно записать


R
 xij


k
(i, j)Rн. к.

н. к. k

1,


k1, K.

Эти ограничения гарантируют отсутствие в искомом решении недопустимых комбинаций. Тогда математическая модель задачи с недопустимыми комбинациями назначений принимает вид:

nn

f(X) cijxij min,

i1 j1
n
(38)

xij 1, j 1, n,

i1

n
(39)

xij 1, i 1, n,

j1
(40)

xij Rн. к. 1, k1, K,

k

(i, j)Rн. к.

k

(41)

xij{0,1}, i, j 1, n.
(42)

Данная задача представляет собой совокупность L задач с недопустимыми назначениями. Каждую отдельную задачу можно представить в виде простейшей линейной модели:

nn


ij
l(X)  qlxij

min ,

Смотрите также файлы