Файл: Внимание! Текст в документе специально не редактировался и не.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.12.2023
Просмотров: 63
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
пример системы, наХодящейся в равновесном состоянии, – Химическая реакция:
Если вещества А и В преобразуются в С и D с той же скоростью, что С и D преобразуются обратно в А и В, то реакция наХодится в равновесном состоянии. Предположим, что равновесие оказалось нарушено. Если скорость, с которой вещества А и В преобразуются в С и D, не равна скорости протекания обратного процесса, реакция будет наХодиться в неравновесном состоянии. ОбщиХ правил, описывающиХ неравновесные, диссипативные системы, не существует, как и общего математического метода иХ изучения, поэтому используется компьютерное моделирование – особенно полезное с учетом того, что в жизни встречается множество примеров диссипативныХ систем. Описанные выше идеи постепенно сформировали современное видение биологии и, как следствие, способствовали ее математической формализации.
Современная математическая биология
Изучение систем, наХодящиХся в неравновесном состоянии, и поиск вычислительныХ методов, позволяющиХ смоделировать подобные системы, стали
популярны в 1980-е и 1990-е годы при изучении нелинейныХ систем, то есть
систем, поведение которыХ нельзя представить как сумму поведений иХ частей.
Основная причина этого в том, что части нелинейныХ систем взаимодействуют
друг с другом. Вновь рассмотрим примитивный живой организм z и предположим,
что он имеет всего два органа – Х и у. Если поведение этого организма
нелинейное, то жизненное состояние организма f(z) будет равно, к примеру,
произведению, а не сумме состояний его органов f(Х) и f(у). В качестве примера
из повседневной жизни можно привести прием лекарств.
Если вы примете два лекарства или более, иХ совокупный терапевтический эффект не будет равен сумме эффектов отдельныХ медикаментов. Как правило, они вступают в реакцию между собой, причем часто во вред организму.
Рис. Нелинейные системы
Нелинейные системы: сложно изучить, так как не существует одного математического метода, описывающего иХ все, Хотя иХ поведение и поХоже. К примеру, если мы подтолкнем маятник, он будет совершать колебания до теХ пор, пока не остановится. ПоХожие ситуации наблюдаются в иммунной системе и в долговременной памяти человека.
Любопытная особенность нелинейныХ систем состоит в том
, что иХ поведение может быть Хаотическим. Хаотические системы – это системы, обладающие сложным поведением, которое непросто спрогнозировать, так как они одновременно стремятся к равновесному состоянию и отдаляются от него. К примеру, атмосфера и климат, тектонические плиты, эпилепсия, популяции и многие другие явления, представляют собой Хаотические системы и описываются уравнением ФерХюльста. Изучение Хаоса стало популярным в биологии благодаря фракталам – иХ Характерным примером в природе является ветвление растений.
В середине 1980-Х ученые объединили нелинейные, Хаотические и диссипативные системы в одно целое – сложные системы, изучению которыХ в биологии уделяется наибольшее внимание. К таким системам относятся, например, муравейники, мозг, иммунная система, клетка, морфогенез или экосистемы. В некоторыХ случаяХ сложные системы изучаются с применением стандартныХ методов математической биологии. Однако некоторые системы настолько сложны, что изучить иХ можно только альтернативными компьютерными методами, позволяющими найти лишь приближенные решения. Такие методы называются эвристическими. К примеру, в настоящее время метод клеточныХ автоматов является одной из альтернатив моделированию сложныХ систем, для которыХ неизвестны описывающие иХ дифференциальные уравнения. Классический пример клеточного автомата – колония муравьев. В некоторыХ случаяХ, несмотря на то что дифференциальные уравнения, описывающие систему, известны (например, в случае с пятнами на коже позвоночныХ), поведение системы быстрее и удобнее смоделировать с помощью клеточныХ автоматов. Кроме того, клеточные автоматы позволяют наглядно изобразить узоры, к примеру полоски зебры, что при использовании дифференциальныХ уравнений невозможно. Еще одним примером служит клеточный автомат Ва-Top, описывающий модель «Хищник – жертва» Лотки – Вольтерры.
В этой главе мы коротко обрисовали основные этапы развития математической биологии. Обратите внимание, что не только зарождение, но и последующее развитие этой дисциплины неизменно наХодилось под большим влиянием преобладавшиХ на тот момент физическиХ интерпретаций жизни. Более того, математическая биология – это дисциплина, которая способствовала тщательному анализу биологическиХ явлений и экспериментальныХ данныХ. Сегодня одним из самыХ важныХ достижений математической биологии являются математические модели, позволяющие проводить с помощью компьютера сложные эксперименты.
Математические модели в биологии
Человек всегда испытывал потребность понимать, контролировать и предсказывать поведение всего сущего. Для этого ученые всеХ времен и народов создавали модели окружающего мира, то есть представления или абстракции некоторой системы или явления.
Модель обладает несколькими полезными свойствами. С одной стороны, она позволяет понять и объяснить то или иное явление – в качестве примера можно привести модель клеточного цикла или метаболизма глюкозы. С другой стороны, что особенно важно, она позволяет предсказать состояние или поведение изучаемой системы в будущем: это может быть прогнозирование климата или описание какой- либо гипотетической ситуации, например, воздействия аварии на атомной электростанции на флору и фауну региона.
Также компьютерное моделирование позволяет ученым проверить те или иные гипотезы. К примеру, можно провести эксперимент, опровергающий гипотезу о происХождении жизни или позволяющий рассмотреть меХанизм эволюции конкретного вида. Модель может использоваться и для того, чтобы вдоХновить, например, группу инженеров на поиски решения задачи. В любом случае построение моделей очень важно, как в силу иХ практической ценности, так и из-за того, что моделирование – единственный способ, который позволяет постепенно выстроить картину окружающего мира.
В биологии, как и в другиХ наукаХ, наиболее полезны математические модели: они в абстрактной форме представляют систему или явление с использованием языка и формальныХ средств математики. К примеру, в модели клетки, сердца или экосистемы составные части объекта и взаимодействие между ними представлены математическими выражениями. Эти выражения связывают множество вХодныХ переменныХ I1, I2, …, Inи выХодную переменную О. ВХодные переменные обозначают величины, которые можно наблюдать (и измерить) в Ходе эксперимента. Обычно одна из этиХ переменныХ – время, t. Она обозначает момент времени, в который были получены вХодные значения
I1(t), I2(t), …, In(t). Как только эти значения определяются экспериментально или любым другим способом (например, на основе какиХ-либо теоретическиХ предпосылок), они вводятся в модель. Используя математические выражения модели, ученый определяет значение выХодной переменной
O(t), которое отражает какое-либо свойство системы. Обычно этим свойством является состояние или поведение системы в определенный момент времени t.
В математическиХ выраженияХ используются параметры. В отличие от вХодныХ и выХодныХ переменныХ, они обозначают величины, которые нельзя наблюдать в Ходе эксперимента напрямую, например, уровень рождаемости, константа распада, скорость биоХимической реакции и т. д. Как следствие, значения параметров устанавливаются в лаборатории или при полевыХ исследованияХ.
Для определения приближенного значения параметра используются сложные статистические методы. Однако иногда это значение уже известно: его можно найти в таблицаХ, опубликованныХ другими исследователями. В качестве примера можно привести калорийность продуктов в модели, связанной с диетами. Другие известные параметры – это сезонный уровень заболеваемости гриппом или время роста культуры бактерий. Параметры связывают вХодные переменные I1(t), I2(t), …, In(t) с выХодной переменной O(t) посредством выражений математической модели.
Рис. Математическая модель, вХодные переменные (I) и
выХодная переменная (О)
Компьютер как пробирка
Моделирование – одно из основныХ понятий современной науки – заключается в прогнозировании будущего состояния системы, O(t+1), на основе определенной вычислительной модели. К примеру, прогноз погоды на ближайшие дни основан на вычислительной модели климата, прогнозирование численности волков и зайцев в определенном регионе производится на основе модели «Хищник – жертва», а число людей, которые заболеют сезонным гриппом, можно спрогнозировать с помощью вычислительной модели эпидемии гриппа. Таким образом, для составления прогнозов требуется вычислительная модель.
В общем случае такая модель – это компьютерная программа, написанная на одном из языков программирования (Visual Basic, C/C++, Java и т.д.). Моделирование заключается в том, чтобы заставить математическую модель работать на компьютере в поискаХ ответа на вопросы, касающиеся будущего состояния системы: «что произойдет, если...?». Таким образом, компьютер превращается в пробирку, подлинную лабораторию, где можно исследовать явления, которые нельзя изучить при полевыХ исследованияХ или в лаборатории.
Существует несколько способов компьютерного моделирования. Во-первыХ, оно может заключаться в определении начальныХ условий и будущего состояния системы. Начальные условия – это значения вХодныХ переменныХ модели (они известны), на основе которыХ выполняется прогноз. Ученые называют отправную точку модели нулевым моментом времени, поэтому начальные условия записываются так: I1(0), I2(0), …, In(0). К примеру, если на сегодняшний день свиным гриппом заболели 1247 человек, из которыХ 1240 выжили, семь – умерли, то начальные условия таковы: I1(0)=1247, I2(0)=1240, I3(0)=7. Зная эти начальные условия и применив вычислительную модель эпидемии, можно задаться вопросом: сколько человек заболеют гриппом через семь дней?
Во-вторыХ, моделирование может заключаться в изменении параметров и оценке воздействия новыХ значений на будущее состояние системы. Что произойдет в примере со свиным гриппом, если вместо уровня смертности в 0,78% использовать значение в 2,96 %? Каким в этом случае будет уровень смертности через месяц?
В-третьиХ, моделирование может заключаться в определении будущего состояния системы при заданныХ начальныХ условияХ и некоторыХ значенияХ определенныХ параметров.
Сравнение моделей
В некоторыХ ситуацияХ моделирование может состоять в прогнозировании явления путем сравнения прогнозов, полученныХ с помощью различныХ вычислительныХ моделей. Такая ситуация может сложиться, когда одно явление описывается несколькими математическими моделями. К примеру, можно сравнить различные математические модели климата для одной и той же ситуации, смоделировать поведение колонии муравьев с помощью разныХ вычислительныХ моделей или определить число Хищников и жертв, сравнив данные, полученные с использованием клеточныХ автоматов, с данными, полученными по уравнениям Лотки - Вольтерры.
Рис. Увеличение объема метана в земной коре и стратосфере согласно вычислительной модели в сравнении с другими моделями, описывающими это же явление
Некоторые примеры использования математики в биологии
Рассмотрим важные примеры использования математики в биологии. Мы поговорим о матрице Лесли, клеточныХ автоматаХ, модели «Хищник – жертва» и клеточныХ автоматаХ.