Министерство образования Республики БеларусьУчреждение образованияБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИФакультет компьютерных систем и сетейКафедра информатики Дисциплина: Методы численного анализа ОТЧЁТк лабораторной работена темуМетод АдамсаВыполнил: студент группы 153503 Кончик Денис СергеевичПроверил: Анисимов Владимир Яковлевич Минск 2022

Содержание

1. 
   ЦЕЛЬ РАБОТЫ
   

Изучить решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса.

2. 
   ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
   

3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

# -*- coding: cp1251 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport sympyimport mathfrom calculate import CalculateListYfrom calculate import CalculateYplot_dots = 10**3eps = 10**-3# Тестовый пример 1# y'= y + e^x# y = x * e^xx0, y0 = 1, math.eL, R = 1, 2def f(x, y):return y + math.e ** xdef p(x):return -1def q(x):return math.e ** xdef ans(x):return round(x * math.e ** x, 6)# Метод Рунге-Кутта 4 порядкаdef RungeKuttaMethod4(x, n):y_list = [y0]h = (x - x0) / nfor k in range(n):x_k = x0 + k * hy_k = y_list[-1]K1 = h * f(x_k, y_k)K2 = h * f(x_k + h / 2, y_k + K1 / 2)K3 = h * f(x_k + h / 2, y_k + K2 / 2)K4 = h * f(x_k + h, y_k + K3)y_list.append(y_k + 1/6 * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4))return y_list# Неявный метод Адамса 2 порядкаdef AdamsImplicit2(x, n):y_list = [y0]h = (x - x0) / nfor k in range(n):y_k = y_list[-1] p_k = p(x0 + k * h)p_k_plus1 = p(x0 + (k + 1) * h) q_k = q(x0 + k * h)q_k_plus1 = q(x0 + (k + 1) * h)y_list.append(((2 - h * p_k) * y_k + h * (q_k + q_k_plus1)) / (2 + h * p_k_plus1))return y_list# Явный метод Адамса 2 порядкаdef AdamsExplicit2(x, n):h = (x - x0) / ny_list = [y0, CalculateY(RungeKuttaMethod4, x0 + h, eps)[0]]for k in range (1, n):

---

x_k_minus1 = x0 + (k - 1) * hx_k = x0 + k * hy_k_minus1 = y_list[-2]y_k = y_list[-1]y_list.append(y_k + h * ((3/2) * f(x_k,y_k) - (1/2) * f(x_k_minus1, y_k_minus1)))return y_list# Явный метод Адамса 3 порядкаdef AdamsExplicit3(x, n):h = (x - x0) / ny_list = [y0, CalculateY(RungeKuttaMethod4, x0 + h, eps)[0], CalculateY(RungeKuttaMethod4, x0 + 2 * h, eps)[0]]for k in range (2, n):x_k_minus2 = x0 + (k - 2) * hx_k_minus1 = x0 + (k - 1) * hx_k = x0 + k * hy_k_minus2 = y_list[-3]y_k_minus1 = y_list[-2]y_k = y_list[-1]y_list.append(y_k + h*((23/12)*f(x_k,y_k)-(4/3)*f(x_k_minus1,y_k_minus1)+(5/12)*f(x_k_minus2,y_k_minus2)))return y_listx_list = []for i in range(plot_dots + 1):x_list.append(L + (R - L) / plot_dots * i)xToCalculate = 1.5print(f"Количество точек для построения графика: {plot_dots}")print(f"Точность: {eps:.0e}") print("\nN_max – максимальное количество узлов для одной из точек, \nнеобходимое для достижения заданной точности")print("N_middle – среднее количество узлов по всем точкам при \nдостижении заданной точности")print(f"\nТочка: {xToCalculate}")print(f"Калькулятор: {ans(xToCalculate)}")y_list, N_max, N_middle = CalculateListY(AdamsImplicit2, x_list, eps)print("\nНеявный метод Адамса 2 порядка O(h^2):")print(f"N_max: {N_max}")print(f"N_middle: {int(N_middle)}")print("На графике: красный")print(f"В точке: {CalculateY(AdamsImplicit2, xToCalculate, eps)[0]} [{CalculateY(AdamsImplicit2, xToCalculate, eps)[1]}]")print(f"Delta = {abs(CalculateY(AdamsImplicit2, xToCalculate, eps)[0] - ans(xToCalculate)):.2e}")plt.plot(x_list, y_list, 'red', linewidth = 2)y_list, N_max, N_middle = CalculateListY(AdamsExplicit2, x_list, eps)print("\nЯвный метод Адамса 2 порядка O(h^2):")print(f"N_max: {N_max}")print(f"N_middle: {int(N_middle)}")print("На графике: синий")print(f"В точке: {CalculateY(AdamsExplicit2, xToCalculate, eps)[0]} [{CalculateY(AdamsExplicit2, xToCalculate, eps)[1]}]")print(f"Delta = {abs(CalculateY(AdamsExplicit2, xToCalculate, eps)[0] - ans(xToCalculate)):.2e}")plt.plot(x_list, y_list, '--b', linewidth = 2)y_list, N_max, N_middle = CalculateListY(AdamsExplicit3, x_list, eps)print("\nЯвный метод Адамса 3 порядка O(h^3):")print(f"N_max: {N_max}")print(f"N_middle: {int(N_middle)}")print("На графике: желтый")print(f"В точке: {CalculateY(AdamsExplicit3, xToCalculate, eps)[0]} [{CalculateY(AdamsExplicit3, xToCalculate, eps)[1]}]")print(f"Delta = {abs(CalculateY(AdamsExplicit3, xToCalculate, eps)[0] - ans(xToCalculate)):.2e}")plt.plot(x_list, y_list, ':y', linewidth = 2)plt.show()# Вычислить Y по методу и X def CalculateY(method, x, eps):n = 1 # Количество узлов от x0 до x для точности epswhile True:y_list = method(x, n)y_list_correctly = method(x, n * 2)max_delta = max(abs(y_list_correctly[2 * i] - y_list[i]) for i in range(n + 1)) if (max_delta < eps):return round(y_list_correctly[-1], 6), n * 2else:n *= 2# Создать список Y по методу и списку Xdef CalculateListY(method, x_list, eps):y_list = [] # Список игрековn_list = [] # Список n (числа узлов) для каждой точкиfor x in x_list:y, n = CalculateY(method, x, eps)y_list.append(y)n_list.append(n)return y_list, max(n_list), sum(n_list) / len(x_list)5. ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫЯвные методы Адамса k-го порядка требуют предварительного вычисления решения в k начальных точках. Для вычисления начальных значений программа использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

---

Для неявного метода Адамса 2-го порядка программа считает, что исходное дифференциальное уравнение является линейным.Тестовый пример 1.1.С помощью неявного метода Адамса 2 порядка¹, явных методов Адамса 2, 3, 4 порядков^2,3,4 найти с заданной точностью решение заданного уравнения на заданном отрезке.

ДУ	Начальное условие		Отрезок	Решение		Точность
Точек для построения графиков:
1 – красный, 2 – синий, 3 – желтый, 4 – черный
Количество необходимых для достижения заданной точности точек разбиения отрезка для одной из точек в методе
	Адамс [2] (неявный)	Адамс [2] (явный)			Адамс [3] (явный)		Адамс [4] (явный)
Макс.	2048	4096			512		256
Ср.	556	1228			190		71

---

Тестовый пример 1.2.Для условия предыдущего задания найти значения решения задачи Коши в заданных точках.n – число точек разбиения отрезка [1; x] для достижения заданной точности в точке x. – шаг разбиения, соответствующий количеству точек разбиения n.

Неявный метод Адамса 2-го порядка
x	2.0	2.7	3.4
Метод(х)
n	128	512	1024

---

Явный метод Адамса 2-го порядка
x	2.0	2.7	3.4
Метод(х)
n	256	1024	2048

Явный метод Адамса 3-го порядка
x	2.0	2.7	3.4
Метод(х)
n	64	128	256

---

Смотрите также файлы

• Задание 3. Тема Экспертиза качества непродовольственных товаров. Идентификация непродовольственных товаров.docx

• Тема Методические аспекты взаимосвязи стратегического и проектного управления в предпринимательской деятельности.docx

• Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине математика для студентов направления подготовки 43. 03. 03 Гостиничное дело Направленность (профиль) Гостиничная деятельность.pdf

• 12 недель в году. Как за 12недель сделать больше, чемдругие успевают за 12 месяцев.pdf

• Методические указания к практическим занятиям.docx