Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

• если думаем, что детерминированного тренда нет, то используем тест только с константой (и без тренда, это повышает мощность теста);
• если думаем, что ряд имеет нулевое среднее, то используем первый тест.
Что касается выбора порядка лагов, то неформальный подход состо- ит в использовании экономического смысла или экономической моде- ли. Формальный подход, как правило, сводится к применению правила
Schwert’а (1989):
1. Определяем максимальный лаг p max
= [12 4
p n/100];
2. Выбираем порядок лага p < p max по информационным критери- ям
6
, либо по t-статистикам (чтобы старший коэффициент был зна- чим).
К сожалению, критические значения распределения Дики-Фуллера нестандартны и для них нужны специальные таблицы.
Кратко опишем некоторые другие тесты на единичный корень.
1. Рассмотрим (A)DF-GLS test в двух вариантах
7
:
(a) с константой: единичный корень vs стационарность,
(b) с трендом: единичный корень vs TS-ряд.
Это соответствует ADF-тесту №2 и №3.
Обозначим x
∗
t
=






x
1
x
2
− rx
1
x n
− rx n−1






, z
∗
t
=






1 1
− r
1
− r






,
6
Akaike или Schwarz (Bayesian).
7
Elliott, Rothenberg, Stock, 1996.
61

где r =
(
1
−
7
n
, const
1
−
13.5
n
, trend
Далее, обозначим x d
t
– OLS-остатки в двух случаях:
• в случае теста с константой в регрессии x
∗
на z
∗
;
• в случае теста с трендом в регрессии x
∗
на z
∗
и r + (1
− r)t.
Процедуру проверки можно записать следующим образом:
для вспомогательной регрессии
∆x d
t
= ϕx d
t−1
+ θ
1
∆x d
t−1
+
· · · + θ
p
∆x d
t−p
+ error тестируем гипотезу
H
0
: ϕ = 0 vs
H
1
: ϕ < 0.
Тестовой статистикой служит τ = ˆ
ϕ
OLS
/ s. e.(ϕ).
Далее, используем специальное критическое значение τ
cr для дан- ного теста и применяем следующее статистические правило: от- вергаем H
0
(гипотезу единичного корня) при
τ <
−τ
cr
< 0.
2. PP-test
8
Рассмотрим модель
∆x t
= φx t−1
+
const trend
!
+ u t
,
u t
∼ I(0)
и u t
могут быть автокоррелированы
9 8
Phillips & Perron, 1988.
9
Допускается даже гетероскедастичность
62

Пусть ˆ
u t
– OLS-остатки и
ˆ
σ
2
=
1
n n
X
t=1
ˆ
u
2
t
,
s
2
=
P
n t=1
ˆ
u
2
t n
− k − 1
,
где k – число регрессоров.
Тестовые статистики:
Z
t
=
s
ˆ
σ
2
ˆ
λ
2
·
ˆ
φ
s
φ
−
1 2
(ˆ
λ
2
− ˆσ
2
)
ns
φ
ˆ
λ
· s
,
Z
φ
= n ˆ
φ
−
1 2
(ˆ
λ
2
− ˆσ
2
)
n
2
s
2
φ
s
2
,
где
ˆ
λ
2
=
1
n


n
X
t=1
ˆ
u
2
t
+ 2
L
X
j=1

1
−
j
L + 1

n
X
t=j+1
ˆ
u t
ˆ
u t−j

 .
Замечание. Это аналог формулы Newey-West’а.
Cтатистики Z
t и Z
φ
являются скорректированными на серийную корреляцию статистиками ADF
t и ADF
n соответственно при p =
0.
Критические значения для Z
t и Z
φ
–это критические значения для статистик ADF
t и ADF
n соответственно. Статистическое правило в этом случае аналогично ADF-тесту.
Один из главных недостатков тестов на единичный корень, опи- санных выше, является их недостаточная мощность в том слу- чае, когда альтернативная гипотеза заключается в наличии корня,
близкого к единичному. Поэтому параллельно с рассмотренными тестами используется следующий:
3. KPSS-test
10
Это очень популярный тест, в котором меняются местами основ- ная и альтернативная гипотезы. Нулевая гипотеза состоит в том,
10
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin 1992.
63

что ряд стационарен или является TS-рядом, а альтернативная говорит о том, что имеется единичный корень. Для критических значений теста существуют специальные таблицы.
4. Sargan-Bhargava test (1983).
Тестовая статистика
R
1
=
P
n t=2
(x t
− x t−1
)
2
P
n t=1
(x t
− ¯x)
2
,
которая является модификацией DW-статистики. Гипотеза еди- ничного корня отвергается при R
1
> (R
1
)
cr
5. Schmidt-Phillips test (1992).
6. NP-тесты
11
: модифицированный PP-тест.
Отдельно стоит отметить специфические тесты единичного корня,
которые учитывают определённую специфику временной структуры.
1. Сезонные единичные корни вида x
t
= φx t−S
+
· · · + u t
:
• DHF-тест (Dickey, Hasza, Fuller, 1984);
• HEGY-тест (Hylleberg, Engle, Garnger, Yoo 1990).
2. Структурные сдвиги в известное время: Perron-test (1989, 1990).
3. Структурные сдвиги в неизвестное время:
• Zivot-Andrews-test (1992);
• Perron-test (1997).
4. Выбор даты сдвига:
• Perron & Zhu (2005);
• Harvey & Leybourne (2012).
11
Ng & Perron 2001 64

2.1.8.
Оценка ARIMA-модели
Представим общий подход к оцениванию ARIMA моделей в несколь- ких шагах:
1. Выбор порядка интегрирования k (тесты единичного корня для x t
,
∆
k x
t
);
2. подбор ARMA-модели для ∆
k x
t
(информационные критерии и те- сты на адекватность);
3. Получить оценённую модель ARIMA из ARMA-модели.
После выбора порядка и оценки модель ARIMA можно использовать,
например, для прогнозирования.
2.2.
Модели пространства состояний
В заключении приведём ещё один популярный класс моделей – мо- дели пространства состояний.
2.2.1.
Идея и примеры
Общая схема модели пространства состояний u
1
//

u
2
//

· · ·
// u t
//

u t+1
//

· · ·
x
1
x
2
x t
x t+1
Основные предположения:
• задана динамика u t
;
• ряд u t
ненаблюдаем;
• ряд x t
наблюдаем и есть функция от u t
65

Пример. Регрессия с меняющимися коэффициентами (структурой)
y t
= x
′
t
β
t
+ ǫ
t
,
ǫ
t
∼ WN(0, σ
2
ǫ
);
β
t
= β
t−1
+ v t
,
v t
∼ WN(0, Σ),
где ǫ
t и v t
независимы.
Пример. Линейная модель пространства состояний u
t
= µ
t
+ A
t u
t−1
+ η
t
,
x t
= γ
t
+ Π
t u
t
+ v t
Пример. Модель локального уровня x
t
= µ
t
+ ǫ
t
,
ǫ
t
∼ WN(0, σ
2
ǫ
),
µ
t
= µ
t−1
+ ν
t
,
ν
t
∼ WN(0, σ
2
ν
).
Из определения
∆x t
= ǫ
t
− ǫ
t−1
+ ν
t
∼ ARIMA(0, 1, 1).
В частном случае, при σ
ν
= 0, имеем
µ
t
≡ µ
0
=
⇒ x t
= µ
0
+ ǫ
t
,
т.е. x t
– стационарное отклонение от постоянного уровня.
Интерпретировать такую модель можно так: “средний” уровень “мед- ленно” изменяется. А прогнозом и будет этот средний уровень
ˆ
x
T +s
|Ω
T
= µ
T
Другой вариант модели локального уровня:
x t
= µ
t
+ ǫ
t
,
ǫ
t
∼ WN(0, σ
2
ǫ
),
µ
t
= µ
t−1
+ ν
t−1
+ η
t
,
η
t
∼ WN(0, σ
2
η
),
ν
t
= ν
t−1
+ ζ
t
,
ζ
∼ WN(0, σ
2
ζ
),
66

где ν
t
– параметр наклона.
Прогноз вычисляется по формуле
ˆ
x
T +τ
|Ω
T
= µ
T
+ ν
T
τ
В частном случае при σ
ǫ
= σ
ζ
= 0 имеем
ν
t
≡ ν
0
=
⇒ x t
= µ
t
= ν
0
+ µ
t−1
+ η
t
= ν
0
+ x t−1
+ η
t
,
т.е. x t
– случайное блуждание со сносом ν
0
Для учета сезонности можно рассмотреть следующую специфика- цию:
ω
t
=
−ω
t−1
− · · · − ω
t−S+1
+ v t
,
ǫ
t
∼ WN(0, σ
2
v
),
где S – число “сезонов”.
А локальный тренд и сезонность можно задать так:
x t
= µ
t
+ ω
t
+ ǫ
t
2.2.2.
Примеры оценивания
Приведём несколько подходов к оцениванию моделей пространства состояний.
Стандартным решением в этом случае являются методы фильтра- ции (сглаживания) рядов. Среди распространённых фильтров выделим фильтры Ходрика-Прескотта, Калмана, Бакстера-Кинга. Но существу- ют и другие.
67

✁✂
✄
✄
✁✂
☎
☎ ✁✂
✆✝
✆
☎✂
✝
✆
☎
✞✝
✆
☎
✝
✆
☎
✄ ✝
✆
☎☎
✝
✟✝✝ ✝
✟✝ ✆✝
✠ ✡ ☛☞ ✌✍✎
✆
✏✑ ✒ ✓✔ ✕✖✗✘
✙✚ ✕✛
✠ ✡ ☛☞ ✌✍
✎
✆
✏✒
✜✢✣ ✤✥
✖✖✗✘
✙✚ ✕✛
✦
✝
✁
✝
✦
✝
✁
✝ ✞
✦
✝
✁
✝
✂
✦
✝
✁
✝ ✧
✦
✝
✁
✝
★
✦
✝
✁
✝ ✟
✦
✝
✁
✝ ✆
✝
✝
✁
✝ ✆
✝
✁
✝ ✟
✝
✁
✝
★
✝
✁
✝ ✧
✆
☎ ✂
✝
✆
☎
✞
✝
✆
☎
✝
✆
☎
✄✝
✆
☎ ☎
✝
✟✝✝ ✝
✟
✝
✆
✝
✩
✑ ✪
✢
✑
✫
✥
✒ ✪
✣
✚
✪✔ ✬✭✔
✖
✥
✖✮
✣
✕
✢
✚
✠
✡ ☛☞
✌ ✍
✎
✆
Рисунок 2.2. Пример сглаживания ряда.
Для примера рассмотрим фильтр Ходрика-Прескотта
12
Цель фильтра состоит в выделении локального тренда µ
t
Оценка локального тренда производится из условия min
{µ
t
}
(
n
X
t=1
(x t
− µ
t
)
2
+ λ
n−1
X
t=2
(µ
t+1
− 2µ
t
+ µ
t−1
)
2
)
,
где λ – параметр гладкости, а x t
− ˆµ
t обычно трактуется как цикли- ческая компонента. Естественно, всё вышеперечисленное вычисляется автоматически, но проблема состоит в выборе λ.
Если λ = 0, то x t
= ˆ
µ
t
. Если λ
≫ 1, то ˆµ
t
≈ ˆ
β
0
+ ˆ
β
1
t.
12
Hodrick-Prescott(HP) filter (1982, 1997).
68

✁
✂ ✄
✂ ✁
☎ ✄
☎ ✁
✁✄
✁✁
✆ ✝✞
✁
✆
✝✟
✄
✆ ✝ ✟
✁
✆
✝✠
✄
✆ ✝ ✠
✁
✆
✝✝
✄
✆ ✝ ✝
✁
✄ ✄✄
✄✄ ✁
✄
✆
✄
✡ ☛✡☞ ✌ ✍✎
✡ ✏
✑✒
✓ ✔✕ ✖✗ ✘✙
✚✛ ✖✜
✡
☛
✡ ☞
✌
✍
✎ ✡✏
✑
✓
✢✣ ✤✥✦
✗ ✗ ✘✙
✚✛ ✖✜
Рисунок 2.3. Отношение задолженности нефинансового сектора к ВВП
(база FRED).
Замечание. Для фильтра Ходрика-Прескотта берут λ = 100 для годо- вых, λ = 1600 для квартальных, λ = 14400 для месячных рядов.
2.2.3.
Возможные применения
Одним из важных применений является решение и оценивание мо- делей с рациональными ожиданиями.
Пусть z t
– вектор эндогенных переменных, β – вектор структурных параметров, u t
– вектор экзогенных шоков.
Лог-линеаризованная DSGE-модель
13
может быть записана
Γ
0
(β)z t
= Γ
1
(β)E
t z
t+1
+ Γ
2
(β)z t−1
+ Γ
3
(β)u t
,
13
Динамические стохастические модели общего равновесия.
69

где E
t z
t+1
– рациональные ожидания, которые ненаблюдаемы.
Решение модели относительно рациональных ожиданий заключается в том, чтобы записать и оценивать её в виде
Y
t
= A
0
(β) + A
1
(β)t + A
2
(β)S
t
,
S
t
= B
1
(β)S
t−1
+ B
2
(β)u t
,
где S
t
– вектор состояний, Y
t
– вектор наблюдаемых переменных.
• 1-е уравнение – это уравнение измерения,
• 2-е уравнение – это уравнение перехода.
70

Глава 3
Моделирование волатильности
3.1.
Одномерная волатильность
До сих пор мы рассматривали только модели для условного сред- него, пришло время обсудить модели условной дисперсии. Эта глава частично соответствует главе из книги [23], также подробный обзор о моделировании волатильности можно прочесть в статье [14] или книге
[1].
Волатильность на сегодняшний день является наиболее важным по- казателем для измерения финансового риска. Использование волатиль- ности в экономике и финансах имеет давнюю традицию. Марковиц, То- бин, Шарп [29, 35, 32] разработали современную теорию управления портфелем, описывающую взаимосвязь между ожидаемой доходностью и риском, который измеряется волатильностью. Блэк, Шоулс, Мертон
[16, 28] использовали волатильность активов для оценки цены опционов,
которые представляют собой контракты, дающие право купить или про- дать базовый актив по фиксированной цене в определенную дату или ранее. В целом волатильность стала ключевой переменной во многих
71

теоретических курсах, таких как управление рисками, управление порт- фелем, ценообразование опционов и т.д.
В предыдущих главах мы предполагали, что ошибки имеют постоян- ное безусловное среднее значение и дисперсию, и мы не рассматривали условное поведение их второго момента. Однако для большинства вре- менных рядов волатильность - это изменяющееся во времени явление.
Кроме того, финансовым временным рядам присуще следующие стили- зованные факты:
• Цены на активы нестационарны, тогда как логарифмическая до- ходность обычно стационарна.
• Автокорреляции доходности активов довольно малы и чаще все- го статистически не отличаются от нуля. Напротив, автокорреля- ции квадратов доходности активов статистически значимы и часто уменьшаются с гиперболическим спадом.
• Волатильность финансовой доходности кластеризована.
• Распределение доходностей, как правило, имеет более тяжёлые хвосты, чем нормальное.
• Некоторые ряды показывают так называемый эффект рычага (ле- веридж), то есть изменения цен на активы отрицательно коррели- руют с изменениями волатильности: если стоимость фирмы пада- ет, она становится более заемной и, следовательно, рискованной,
что увеличивает волатильность доходности.
• Волатильности разных активов имееют тенденции двигаться вме- сте.
• Сильные сезонные закономерности присутствуют на более высо- ких частотах, например, внутридневные данные.
Следовательно, модели, которые мы рассматривали до сих пор, не подходят для обработки этих эмпирических данных. В этой главе мы
72

рассмотрим наиболее известные одномерные модели волатильности, та- кие как модели обобщенной авторегрессионной условной гетероскеда- стичности (GARCH) и её обобщения.
Ниже приведен пример временного ряда, в котором крайне затруд- нительно подобрать подходящую ARIMA модель.
Пример. Для недельных данных приращения денежной массы в США с
1985-01-07 по 2014-09-29 приведем результаты ACF, PACF для ∆ ln M 2
Лаг
ACF
PACF
Q-стат.
[p-значение]
1 0.0050 0.0050 0.0395
[0.842]
2
-0.4408
***
-0.4409
***
302.2031
[0.000]
3
-0.3280
***
-0.4004
***
469.5962
[0.000]
4 0.5378
***
0.4305
***
919.8586
[0.000]
5 0.2577
***
0.0502
**
1023.3146
[0.000]
6
-0.4158
***
-0.3632
***
1292.8825
[0.000]
7
-0.4141
***
-0.0611
**
1560.3986
[0.000]
8 0.2356
***
-0.0382 1647.0478
[0.000]
9 0.5604
***
0.2434
***
2137.5858
[0.000]
10
-0.2955
***
-0.3043
***
2274.0333
[0.000]
3.2.
Обобщенные модели авторегрессионной гетероскедастичности
Самый большой класс моделей для изменяющейся во времени во- латильности представлен классом моделей авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH), первоначально введенным в статье [21].
Эти модели описывают условную дисперсию члена ошибки u t
данного временного ряда.
Ранее мы предполагали, что в модели ARMA(p;q) u t
- это белый шум, и не учитывали наличие зависимости в более высоких моментах,
однако это важно, когда мы хотим моделировать риск.
73