Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

✁ ✂
✁ ✄
✁ ✂
✁
☎
✁ ✂
✁ ✆
✁
✁ ✂
✁ ✆
✁ ✂
✁
☎
✁ ✂
✁ ✄
✁ ✂
✁ ✝
✆
✞✟ ✠
✆
✞✞
✁
✆
✞ ✞✠
☎
✁ ✁✁
☎
✁✁
✠
☎
✁ ✆✁
☎
✁ ✆
✠
✡
☛
☞
☛
✌
✍
✎✏ ✑✒ ✓✔
✑✓✕✖✗ ✘✙✚
✛✜ ✢
✣☎
✤✖ ✏
✥ ✏
✦✚ ✖✧✏
✥ ✓✖✖ ✧✏
★ ✗
✩ ✪✫
✁
✂✄☎
✂
✂✄☎
✁
✂
☎
✁
✂
✁ ☎
✆
✂
✆
☎
✝
✂
✞✟✠
✡ ☛ ☞
✌ ✞✍
✎ ✏✑ ✏✒✆
✓
✁
✄
✔ ✕✖ ✗
✘
✂✄
☎
✁
✂✄☎
✂
✂✄☎
✁
✂
☎
✁
✂
✁ ☎
✆
✂
✆
☎
✝
✂
✞✟✠
✙
✡ ☛ ☞
✌ ✞✍
✎ ✏ ✑✏✒✆
✓
✁
✄
✔ ✕✖ ✗
✘
✂✄
☎
Рисунок 3.1. Пример ряда, где не удаётся подобрать подходящую
ARIMA модель.
74

Подобно одномерным и многомерным моделям условного среднего,
мы можем определить модели условной дисперсии процесса. В общем,
мы считаем, что любая случайная величина Y
t может быть разложена как
Y
t
= E[Y
t
|F
t−1
] + u t
(3.1)
где
F
t−1
- информационное множество, состоящее из всей необходи- мой информации, доступной в момент времени t
− 1. Вопрос, на кото- рый мы хотим ответить – как моделировать Var[u t
|F
t−1
]. До сих пор мы обычно предполагали, что ошибка гомоскедастична,
Var[u t
] = Var[u t
|F
t−1
] = σ
2
u
(3.2)
Модели типа ARCH ослабляют это предположение и предполагают,
что ошибки могут быть разложены следующим образом:
u t
= z t
q
σ
2
t
,
(3.3)
где z t
- независимые и одинаково распределенные ошибки с нулевым среднем и единичной дисперсией.
Функция σ
2
t предполагается функцией прошлой информации σ
2
t
≡
σ
2
t
(
F
t−1
), так что условная дисперсия (т. е. "волатильность") определя- ется как
Var[u t
|F
t−1
] = σ
2
t
Var[z t
|F
t−1
] = σ
2
t
Var[z t
] = σ
2
t
(
F
t−1
) = σ
2
t
Что говорит о зависимости от прошлых значений объясняющих пе- ременных, то есть u t
условно гетероскедастичны. Безусловная диспер- сия u t
может быть вычислена с использованием свойства разложения дисперсии:
σ
2
u
= Var[u t
] = E[Var[u t
|F
t−1
]] + Var[E[u t
|F
t−1
]] = E[σ
2
t
].
Так как E[u t
|F
t−1
] равна нулю, то безусловная дисперсия постоянна,
если σ
2
t
(
F
t−1
) стационарна. Далее мы обсудим несколько спецификаций для эволюции процесса условной дисперсии σ
2
t
75

3.2.1.
ARCH(1)-модель
Начнём спростейшей ARCH(1) модели
σ
2
t
= ω + α
1
u
2
t−1
Здесь предполагается, что ω > 0 и α
1
≥ 0 гарантирует положитель- ность условной дисперсии σ
2
t
В модели ARCH(1), условная дисперсия это функция, зависящая только от лагов квадратов ошибок/шоков, так что больший шок по аб- солютному значению в периоде t
− 1 приводит к большей дисперсии в периоде t. Эффект положительных и отрицательных шоков в этом случае одинаковый, то есть модель симметричная. Основные свойства процесса ARCH(1) приведены ниже:
(i) u
2
t
= ω + α
1
u
2
t−1
+ ν
t при ν
t
≡ u
2
t
− σ
2
t
= σ
2
t
(z
2
t
− 1).
(ii) u
2
t стационарны, если
|α
1
| < 1.
(iii) σ
2
u
= Var[u t
] =
ω
1−α
1
(iv) u
2
t
= σ
2
u
+ α
1
(u
2
t−1
− σ
2
u
) + ν
t
⇔ σ
2
t
= σ
2
u
+ α
1
(u
2
t−1
− σ
2
u
).
(v) E[u
4
t
] = E[z
4
t
]E[(σ
2
t
)
2
]
≥ E[z
4
t
]E[σ
2
t
]
2
= E[z
4
t
]E[u
2
t
]
2
(vi) K
u
=
E[u
4
t
]
E[u
2
t
]
2
=
3(1−α
2 1
)
1−3α
2 1
=
6α
2 1
1−3α
2 1
+ 3 > 3 для z t
∼ i.i.d. N(0,1) и
α
2 1
∈ [0,
1 3
).
Свойство (i) показывает, что ARCH(1)- процесс может быть запи- сан как AR(1) процесс с квадратом инноваций, где ν
t
- мартингальная разностная последовательность. Динамика второго момента Y
t следует процессу AR(1), что дает нам свойство (ii), которое гласит, что квадраты нововведений слабо стационарны всякий раз, когда
|α| < 1.
Свойство (iii) вычисляет безусловную дисперсию стационарного про- цесса u t
, которая положительна, если ω > 0 и 0 < α < 1. Свойство (iv)
показывает, как процесс ARCH (1) может моделировать кластеризацию
76

волатильности: за высокой волатильностью с большей вероятностью по- следует высокая волатильность, а за низкой - низкая.
Свойство (v) показывает, что эксцесс u t
всегда превышает эксцесс z
t
, а свойство (vi) показывает, что эксцесс инновационного процесса для
ARCH(1) модели больше, чем для нормального распределения. Это под- тверждает, что класс модели ARCH может объяснить большой коэффи- циент эксцесса (тяжёлые хвосты), обычно обнаруживаемый в финансо- вых временных рядах.
3.2.2.
ARCH(p)-модель
Простым расширением модели ARCH(1) является модель ARCH(p),
в которой текущая волатильность зависит от последних нововведений в квадрате p:
σ
2
t
= ω + α
1
u
2
t−1
+ α
2
u
2
t−2
+
· · · + α
p u
2
t−p
= ω + α
∗
p
(L)u
2
t
,
где
α
∗
p
(L) = α
1
L + α
2
L
2
+ . . . + α
p
L
p
Достаточными условиями для обеспечения положительности σ
2
t яв- ляются ω > 0 и α
i
≥ 0 ∀ i = 1, . . . , p.
Из нашего предыдущего обсуждения следует, что процесс ARCH(p)
обладает следующими свойствами:
(i) u
2
t
= ω + α
1
u
2
t−1
+ . . . + α
p u
2
t−p
+ ν
t с ν
t
≡ u
2
t
− σ
2
t
= σ
2
t
(z
2
t
− 1), что эквивалентно α
p
(L)u
2
t
= ω + ν
t
, где (α
p
(L) = 1
− α
1
L
− α
2
L
2
− . . . −
α
p
L
p
).
(ii) u
2
t стационарен, если все корни уравнения 1
− α
1
z
− α
2
z
2
− . . . −
α
p z
p
= 0 находятся вне единичной окружности.
(iii) σ
2
u
= Var[u t
] =
ω
1−α
1
−...−α
p
=
ω
α
P
(1)
(iv) σ
2
t
= σ
2
u
+ α
∗
p
(L)(u
2
t
− σ
2
u
).
77

(v) K
u
> 3 для z t
∼ iid N(0,1) и некоторых ограничений параметров для существования четвертого момента u t
3.2.3.
GARCH модели
Хотя процесс ARCH(p) более гибкий, чем процесс ARCH(1), он тре- бует большого количества лагов для определения структуры зависимо- сти, обычно встречающейся в финансовых временных рядах. Это при- водит к тому, что нужно оценивать множество параметров.
Чтобы смоделировать условную гетероскедастичность более эконом- но, в работе [17] была предложена обобщенная модель ARCH, которая допускает более гибкую, но экономную спецификацию.
Процесс σ
2
t называется процессом GARCH(1, 1), если
σ
2
t
= ω + α
1
u
2
t−1
+ β
1
σ
2
t−1
,
где достаточными условиями для обеспечения положительности σ
2
t яв- ляются ω > 0, α
1
≥ 0 и β
1
≥ 0. Условная дисперсия представляет со- бой средневзвешенное значение постоянной (долгосрочной) дисперсии,
лагов квадратов шока и дисперсии. Веса трех оценок дисперсии управ- ляют скоростью адаптации к новой информации и тем, как быстро дис- персия возвращается к своему долгосрочному среднему значению. По- ложительные и отрицательные шоки оказывают одинаковое влияние на дисперсию. Основные свойства процесса GARCH(1,1) представлены ни- же:
(i) u
2
t
= ω + (α
1
+ β
1
)u
2
t−1
− β
1
ν
t−1
+ ν
t с ν
t
≡ u
2
t
− σ
2
t
= σ
2
t
(z
2
t
− 1);
(ii) u
2
t стационарны, если
|α
1
+ β
1
| < 1;
(iii) σ
2
u
= Var[u t
] =
ω
1−α
1
−β
1
;
(iv) u
2
t
= σ
2
u
+ (α
1
+ β
1
)(u
2
t−1
− σ
2
u
)
− β
1
ν
t−1
+ ν
t
;
(v) σ
2
t
= σ
2
u
+ α
1
(u
2
t−1
− σ
2
u
) + β
1
(σ
2
t−1
− σ
2
u
);
78

(vi) K
u
=
E[u
4
t
]
E[u
2
t
]
2
=
3(1−(α
1
+β
1
))
1−2α
2 1
−(α
1
+β
1
)
2
=
6α
2 1
1−2α
2 1
−(α
1
+β
1
)
2
+ 3 > 3 для z t
∼ iid
N(0,1) и 2α
2 1
+ (α
1
+ β
1
)
2
< 1;
(vii) σ
2
t
=
P
∞
i=1
β
i−1 1
ω + α
1
P
∞
i=1
β
i−1 1
u
2
t−i
, если β
1
< 1.
(viii) В предположении стационарности и при 2α
2 1
+ (α
1
+ β
1
)
2
< 1 (су- ществование четвертого момента u t
), автокорреляция u
2
t опреде- ляется следующим образом:
ρ
1
= α
1
+
α
2 1
β
1 1−2α
1
β
1
−β
2 1
ρ
k
= (α
1
+ β
1
)
k−1
ρ
1
for k = 2, 3, . . .
В противном случае, если 2α
2 1
+ (α
1
+ β
1
)
2
≥ 1 можно получить следующие приближения:
ρ
1
≈ α
1
+
β
1 3
ρ
k
≈ (α
1
+ β
1
)
k−1
ρ
1
for k = 2, 3, . . .
Свойство (i) показывает, что модель GARCH(1,1) может быть за- писана как модель ARMA(1,1) для квадратов ошибок, которые можно использовать для получения условий стационарности. Свойство (ii) по- казывает, при каких условиях процесс u
2
t является слабо стационарным,
а свойство (iii) определяет безусловную дисперсию u t
. Свойство (iv) дает представление GARCH с использованием u
2
t
, а свойство (v) показывает,
что подход GARCH(1,1) может моделировать кластеризацию волатиль- ности. Свойство (vi) подтверждает, что процесс GARCH(1,1) может мо- делировать избыточный эксцесс, то есть он имеет более толстые хвосты.
Свойство (vii) - это ARCH(
∞) представление модели GARCH(1,1).
79

-4 0
4 0
100 200 3
400 500 6
GARCH(1,1) c alpha0=0.5, alpha1=0.1, beta=0.8
-0.05 0.00 0.05 0
5 10 15 20 25
Lag
ACF
-0.05 0.00 0.05 0
5 10 15 20 25
Lag
PACF
Рисунок 3.2. Пример ряда GARCH(1,1).
Подобно моделям ARCH, расширение общего процесса GARCH(p, q)
выглядит так:
σ
2
t
=
ω +
p
X
i=1
α
i u
2
t−i
+
q
X
i=1
β
i
σ
2
t−i
=
ω + α
∗
p
(L)u
2
t
+ β
∗
q
(L)σ
2
t
,
где α
∗
p
(L) = α
1
L + α
2
L
2
+ . . . + α
p
L
p и β
∗
q
(L) = β
1
L + β
2
L
2
+ . . . + β
q
L
q являются лаговыми полиномами порядков p и q соответственно.
Достаточные условия положительности σ
2
t
- это ω > 0, α
i
≥ 0 ∀ i =
1, . . . , p и β
i
≥ 0 ∀ i = 1, . . . , q.
Основные свойства процесса GARCH(p,q) представлены ниже:
80

(i) u
2
t
= ω +
m
X
i=1
(α
i
+ β
i
) u
2
t−i
+
q
X
i=1
β
i
ν
t−i
+ ν
t
, с α
i
≡ 0 для i > q и
β
i
≡ 0 для i > p, и m = max(p, q) и ν
t
≡ u
2
t
− σ
2
t
= σ
2
t
(z
2
t
− 1).
(ii) u
2
t стационарны, если все корни 1
− α
1
z
− α
2
z
2
− . . .− α
m z
m
− β
1
z
−
β
2
z
2
− . . . − β
m z
m
= 0 лежат вне единичной окружности.
(iii) σ
2
u
= Var[u t
] =
ω
1−
m
P
i=1
α
i
−
q
P
i=1
β
i
(iv) u
2
t
= σ
2
u
+
P
m i=1
(α
i
+ β
i
)(u
2
t−i
− σ
2
u
)
−
P
q i=1
β
i
ν
t−i
+ ν
t
(v) σ
2
t
= σ
2
u
+
P
p i=1
α
i
(u
2
t−i
− σ
2
u
) +
P
q i=1
β
i
(σ
2
t−i
− σ
2
u
).
(vi) K
u
> 3 для z t
∼ iid N(0,1) и некоторых параметрических ограни- чениях, что обеспечивает существование четвертого момента u t
(vii) σ
2
t
=
ω
1
− β
∗
q
(1)
+
α
∗
p
(L)
1
− β
∗
q
(L)
u
2
t
=
ω
1
− β
∗
q
(1)
+
∞
X
i=1
δ
i u
2
t−i
, если корни
1
− β
∗
q
(z) = 0 лежат вне единичной окружности и δ
i обозначает функцию от α
i и β
i
81

-5 0
5 0
100 200 300 4
500 600
GARCH(2,1) c alpha0=0.5, alpha1=0.2, beta1=0.3, beta2=0.2
-0.05 0.00 0.05 0
5 10 15 20 25
Lag
ACF
-0.05 0.00 0.05 0
5 10 15 20 25
Lag
PACF
Рисунок 3.3. Пример ряда GARCH(2,1).
Модель GARCH(1,1) имела огромный успех в эмпирических иссле- дованиях по финансам в последние десятилетия, и она по-прежнему представляет собой важную модель волатильности, которую часто ис- пользуют в качестве эталона. Тем не менее, можно выделить некоторые важные недостатки:
• В моделях GARCH положительные и отрицательные шоки оди- наково влияют на условные дисперсии . Однако на практике мы наблюдаем, что условная волатильность по-разному реагирует на положительные и отрицательные эффекты. Для учета этого были разработаны нелинейные GARCH модели (подробнее ниже).
• Чтобы изучить поведение хвоста u t
, мы должны убедиться в
82

существовании четвертого момента u t
. Условия, необходимые для обеспечения этого существования, могут быть очень ограни- чительными, например, в модели ARCH(1) α
2 1
∈ [0,
1 3
).
• В предыдущих моделях автокорреляционная функция экспоненци- ально убывает, но финансовые данные показывают, что гипербо- лическое затухание встречается чаще: такое высокое постоянство может быть достигнуто только с помощью сильно параметризован- ных GARCH моделей. Дробно интегрированные или интегриро- ванные модели GARCH - это низкопараметрическое решение этой проблемы (подробнее ниже).
• Высокая стойкость волатильности обычно исчезает, если в спе- цификацию дисперсии включены реальные причины: макроэконо- мические сообщения / объявления компаний, другие волатильно- сти рынка и т. д.
3.3.
Ассиметричные и нелинейные модели
GARCH
Несколько расширений моделей GARCH были предложены для мо- делирования так называемого "эффекта левериджа" (см. [15]) и высокой устойчивости условной дисперсии. Ниже мы рассмотрим некоторые из наиболее распространенных вариантов.
3.3.1.
Экспоненциальная модель GARCH
Предыдущие модели GARCH не могли объяснить отрицательную корреляцию между доходностью акций и изменением волатильности их доходности. Это можно сделать, если условная дисперсия выражается как асимметричная функция от u t−j
, но, учитывая, что модели GARCH
являются функциями квадрата данных, несколько крупных наблюдений могут сильно повлиять на параметры модели.
83

Нельсон [30] предложил экспоненциальную GARCH(p,q) модель
1
,
где условная дисперсия зависит как от размера, так и от знака лаги- рованных остатков:
ln σ
2
t

=
ω +
p
X
i=1
β
i ln σ
2
t−i

+
q
X
i=1
α
i
[φz t−i
+ ψ (
|z t−i
| − E |z t−i
|)] ,
где α
1
≡ 1, E |z t
| = (2/π)
1/2
, если z t
∼ NID(0, 1). Параметры ω, β
i
, α
i не ограничиваются как неотрицательные, что упрощает оценку модели.
Определим g (z t
) = φz t
+ ψ [
|z t
| − E |z t
|] .
Мы видим, что
{g (z t
)
}
∞
t=−∞
является i.i.d. случайной последователь- ностью по построению.
В диапазоне 0 < z t
<
∞, g (z t
) линейна по z t
с наклоном φ + ψ,
а в диапазоне
−∞ < z t
≤ 0, g (z t
) линейна с наклоном φ
− ψ. Член
ψ [
|z t
| − E |z t
|] – это так называемый размерный эффект.
Если ψ > 0 и φ = 0, нововведение в ln σ
2
t+1

является положитель- ным (отрицательным), когда размер z t
больше (меньше), чем его ожида- емое значение. Если ψ = 0 и φ < 0, нововведение в условной дисперсии будет положительным (отрицательным), когда инновации для доходно- стей отрицательны (положительны). Таким образом, эффект кредитно- го плеча можно учесть, если α
i
> 0 и φ < 0.
Сильная стационарность ln σ
2
t

требует, чтобы все корни многочле- на

1
−
P
p i=1
β
i x
i

лежали за пределами единичной окружности.
Замечание. Обратите внимание, что сильная стационарность не обяза- тельно подразумевает слабую стационарность.
1
EGARCH(p,q).
84

3.3.2.
Пороговая модель GARCH
Общая форма пороговой модели GARCH
2
модели имеет вид:
σ
2
t
= ω +
q
X
i=1
(α
i u
2
t−i
+ γ
i u
2
t−i
I
[u t−i
<0]
) +
p
X
i=1
β
i
σ
2
t−i
,
(3.4)
где I
[·]
– индикаторная функция. В этой модели хорошие новости u t−i
≥
0 и плохие новости u t−i
< 0 имеют разное влияние на условную диспер- сию. Хорошие новости влияют на α
i
, а плохие новости влияют на α
i
+γ
i
Если γ
i
> 0, плохие новости увеличивают волатильность, и мы говорим,
что существует эффект кредитного левериджа для i-того порядка. Если
γ
i
6= 0, то влияние новости ассиметрично.
Обратите внимание, что модель GARCH может интерпретировать- ся как частный случай модели TGARCH, когда пороговый член равен нулю.
3.3.3.
Интегрированная модель GARCH
Высокая степень устойчивости к волатильности привела к идее рас- сматривать волатильность как интегрированный процесс, и поэтому бы- ла разработана интегрированная модель GARCH
3
Рассмотрим следующий GARCH(p, q) процесс
σ
2
t
= ω +
q
X
i=1
α
i u
2
t−i
+
p
X
i=1
β
i
σ
2
t−i
,
где ω
≥ 0, α
i
≥ 0 и β
i
≥ 0 для всех i и уравнение 1−α (x)−β(x) = 0 имеет d > 0 единичных корней, а max
{p, q} − d корней лежат вне единичной окружности. Этот процесс называют i) интегрированным относительно дисперсии порядка d, если ω = 0;
ii) интегрированным относительно дисперсии порядка d с трендом,
если ω > 0.
2
TGARCH(p, q).
3
IGARCH.
85

Интегрированные модели GARCH(p,q) обладают свойством «устой- чивой дисперсии», что означает, что текущая информация остается важ- ной для прогнозирования условных дисперсий на всех горизонтах.
Интегрированная модель GARCH(p, q) получается, когда
α (1) + β(1) = 1.
Например, IGARCH(1,1) модель может быть записана в виде:
u t
=
z t
q
σ
2
t
,
σ
2
t
=
ω + (1
− β)u
2
t−1
+ βσ
2
t−1
Эти модели позволяют экономно моделировать высокую устойчи- вость волатильности и с тех пор стали одними из наиболее широко ис- пользуемых практиками моделей. Модель RiskMetrics, разработанная
Морганом (J.P. Morgan), представляет собой модель IGARCH(1,1) с ω =
0 и β = 0.94 (подробности можно посмотреть на веб-сайте RiskMetrics
Group).
3.4.
Кривая воздействия новостей
Мы уже обсуждали, что новости, как правило, оказывают асиммет- ричное влияние на волатильность, а преимущество асимметричных мо- делей GARCH заключается в том, что они позволяют выявить различ- ные влияния благоприятных и плохих новостей на будущую волатиль- ность. Кривая воздействия новостей
4
отражает влияние прошлых шо- ков доходности на ее текущую волатильность, посредством использова- ния определенной модели волатильности.
Для заданной информации на момент t
− 2 и раньше, можно ис- следовать подразумеваемую взаимосвязь между условной дисперсией в момент времени t и шоковым членом в момент времени t
− 1, а все лагированные условные дисперсии оцениваются на уровне безусловной дисперсии.
4
News Impact Curve.
86