Файл: Исследовательская работа Аналогии в математике Автор Андреев Егор моу Зашижемская сош Сидоркина Р. Л.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.12.2023

Просмотров: 42

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.



МОУ «Зашижемская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа

Аналогии в математике
Автор:

Андреев Егор

МОУ «Зашижемская СОШ»

Руководитель:

Сидоркина Р.Л.,

учитель математики высшей

категории

МОУ «Зашижемская СОШ»

Зашижемье,

2019


Содержание


  1. Введение………………………………………………………………………… 2

  2. Глава 1.Теоретико-методический аспект геометрических аналогий……… 6

    1. Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра………… 6

1.2 Эмпирические исследования треугольника и тетраэдра…………………… 9

3. Глава 2. Фольклор и математика……………………………………………… 11

4. Глава 3. Математика и поэзия………………………………………………… 14

5. Глава 4. Математика в песенном творчестве………………………………… 17

Заключение…………………………………………………………………………… 19

Литература…………………………………………………………………………… 21


Приложение ………………………………………………………………………… 22

Введение

Я больше всего дорожу аналогиями,

моими верными учителями .Они знают

все секреты природы, и ими меньше все

го следует пренебрегать.

Ян Кеплер

В 90 – е годы прошлого века начали говорить о необходимости сочетать серьезное естественно-научное и техническое образование с гуманитарным. Сейчас все большую популярность завоевывает такая, на первый взгляд, парадоксальная идея: лучшее усвоение знаковой информации, которую несет математика, происходит при помощи лучшего усвоения образной информации – музыки, поэзии, фольклора, живописи.

Избежать односторонности в изучении математики может помочь широкое применение метода аналогии.

Аналогия – есть некоторого рода сходство, но на более определенном и выраженном с помощью понятий уровне. Различие между аналогией и другими видами сходства заключается в намерениях думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении, и если свести это отношение, в котором они согласуются, к определенным понятиям, то можно рассмотреть эти сходные предметы как аналогичные. Если удается добраться до ясных понятий, то выясняется аналогия.

Аналогия (греч. analogia – соответствие, сходство), сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах.

Аналогии могут быть двух видов:

  1. Простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках.

  2. Распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

В свою очередь, простая и распространенная аналогии могут быть:

а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;

б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.

Строгая аналогия применяется в научных исследованиях, в математических доказательствах, а при решении задач (арифметических, геометрических и др.) используется либо алгоритм, либо нестрогая аналогия с уже решенными однотипными задачами.

Аналогия является, пожалуй, одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые затем могут подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

Например, некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналогии. Мы знаем, что геометрия делится на два основных раздела: планиметрия (фигуры на плоскости) и стереометрия (фигуры в пространстве) Например:

-Сторона треугольника – грань тетраэдра;

-длина стороны – площадь грани;

-вписанная окружность – вписанная сфера;

-описанная окружность – описанная сфера; площадь – объем

-Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой

стороне и перпендикулярна остальным -

каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна

одной другой грани и перпендикулярна остальным;

-В равнобедренном треугольнике углы при основании равны -

- углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

и т. д.
Эта аналогия не только внешняя. Многие теоремы о треугольниках, если применить в их формулировках планиметрические термины, соответствующие стереометрическим, и соответствующим образом «подправить» формулировки, превращаются в теоремы о тетраэдрах. Несколько таких теорем и задач рассмотрим в данной работе.

Кроме установления аналогий между математическими понятиями, мы в своей работе проследим математико-гуманитарные аналогии. Попытаемся перевести математику, ее правила, методы, проблемы, задачи, теоремы на язык гуманитарной культуры, на язык образов, символов и эмоций. Именно такими методами иногда педагоги стараются довести до нас некоторые термины и понятия из геометрии и алгебры. В качестве исследования рассмотрим литературные произведения (загадки, песни, стихотворения и пр.) сквозь призму математических знаний, попытаемся найти то, что объединяет их с математикой (установить ассоциацию по схожести), интерпретировать математику языком литературы.

Цель исследования – рассмотреть геометрические и математико-гуманитарные аналогии.

Задачи исследования:

  1. Изучить учебную, методическую, энциклопедическую литературу.

  2. Определить сущность аналогии и ее виды.

  3. Выделить признаки сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости, через доказательство теорем и решение задач.

  4. Установить аналогии между математическими и литературными объектами.

  5. Привести примеры парных задач на плоскости и в пространстве.

Объект исследования – геометрические аналогии в учебниках геометрии 9 и 10 – 11 классов на примере треугольника и тетраэдра; некоторые образцы литературного и песенного творчества.

Предмет исследования – треугольник и тетраэдр, фольклор и математика, математика и поэзия, математика и песня.

Методы исследования: анализ учебной, методической, энциклопедической, научно-популярной литературы; сравнительный анализ, выявление аналогий

Рассмотрев понятие «аналогия», мы выявили для себя гипотезы:

1)между тетраэдром и треугольником существуют аналогии;

2) между фольклором и математикой существуют аналогии;

3) между математикой и поэзией существуют аналогии;

4) между математикой и песней существуют аналогии;

В результате своего исследования мы постараемся подтвердить либо опровергнуть данные гипотезы.
Глава 1. Теоретико-методический аспект геометрических аналогий

1.1 Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра

Отметим какие-нибудь три точки А,В,С, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками АВ, ВС, АС (рис.1).



Рис. 1

Мы получили геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Точки А, В, С называются вершинами, отрезки АВ, ВС, АС – сторонами, три угла

ВАС, САВ, АСВ – углами треугольника. Название «треугольник» происходит от греческого слова тригонон.

Р ассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA называется тетраэдром и обозначается так: DABC (рис.2).

Рис. 2


Треугольники из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рис.2 противоположными являются ребра AD и ВС, DB и АС, DC и АВ. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями. Название «тетраэдр» происходит от греческого слова tetra (тетра) – «четыре» и греческого слова edra (эдра) – «основание».



Виды треугольников и тетраэдров

Правильный треугольник – правильный тетраэдр;

Равнобедренный треугольник – правильная треугольная пирамида;

Равносторонний треугольник – тетраэдр общего вида;

Прямоугольный треугольник – тетраэдр, в котором все три плоских угла при одной вершине прямые.

Важно отметить следующий факт: не все свойства треугольника имеют аналогии среди свойств тетраэдра. Например, все высоты любого треугольника пересекаются в одной точке, но не о каждом тетраэдре можно сказать тоже самое.

Те тетраэдры, для которых такое свойство верно, составляют класс ортоцентрических тетраэдров.

Признаки равенства треугольников и тетраэдров

Признаки равенства треугольников – одна из тем, которая остается актуальной на протяжении всего курса планиметрии. В стереометрии признаки равенства тетраэдров не рассматриваются.

Равенство треугольников и тетраэдров определяются на основе понятия наложения:

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Две пирамиды называются равными, если они при вложении одной в другую могут быть совмещены.


Для доказательства признаков равенства тетраэдров необходимо знать признаки равенства трехгранных углов, а именно:

● Два трехгранных угла равны, если все три плоские угла одного из них равны плоским углам другого и одинаково с ними расположены;

● Два трехгранных угла равны, если они имеют по равному трехгранному углу, заключенному между двумя двухгранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными;

● Два трехгранных угла равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя двухгранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными.





Признаки равенства треугольников

Признаки равенства тетраэдров

I

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если в двух тетраэдрах соответственно равны две грани и двугранный угол между ними, то такие тетраэдры равны или симметричны.

II

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по равному ребру, прилежащему к соответственно равным трехгранным углам.

III

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки равенства треугольников

(Приложение №1)

Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по шесть равных ребер, и в обоих тетраэдрах равные элементы располагаются в одном и том же порядке (так, что трем ребрам, лежащим в одной грани или выходящим из одной вершины, соответствуют три равных им ребра, также лежащие в одной грани или выходящие из одной вершины).



Поясним понятие «симметричные тетраэдры».

● Если ребра, плоские и двугранные углы двух тетраэдров равны, но расположены в «обратном» порядке, то они симметричны.

На рис. 3 изображен тетраэдр ОАВС. Его ребра АО, СО, ВО продолжены за вершину О так, что АО=ОА1, СО=ОС1, ВО=ОВ1.
Рис. 3

В тетраэдрах ОАВС и ОА1В1С1 равны ребра, плоские и двугранные углы, следовательно, они симметричны.

Заметим, что симметричные тетраэдры, вообще говоря, не равны, то есть при вложении одного тетраэдра в другой они не совмещаются.

1.2 Эмпирические исследования треугольника и тетраэдра




Теоремы о замечательных точках треугольника

Стереометрические аналогии теорем о замечательных точках треугольника

I

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая удалена от сторон углов треугольника на одинаковое расстояние.

Приложение №2

Биссекторные (Приложение №3)

плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой, и каждая точка этой прямой удалена от граней трехгранного угла на одно и то же расстояние.

II

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Приложение №4


Плоскости, проходящие через биссектрисы плоских углов каждой грани трехгранного угла и противолежащего им ребра, пересекаются по одной прямой.

III

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Приложение №5

Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла перпендикулярно к противолежащей грани, пересекаются по одной прямой.





● Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

● Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется медианой тетраэдра.






Отрезки ВМ, СК, АН – медианы треугольника



Точки М1, М2, М3, М4 -точки пересечения медиан граней. Отрезки АМ2, DM1, BM3, СМ4 – медианы тетраэдра


Свойство медиан треугольника [1, с. 67]

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.


Доказательство:

1. Рассмотрим произвольный ∆АВС.

МедианыАА1,ВВ1,СС1пересекаются в точке О.

2. В1А1 – средняя линяя треугольника.

В1А1║АВ, <1=<2,<3=<4.
∆АОВ∆A1OB1 (по двум углам)

3. . АО = 2А1О, ВО + 2В1О.

АО = 2А1О, ВО + 2В1О.

Свойство медиан тетраэдра

[3, с. 23]

Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин.
Доказательство:

  1. Отрезки DM1 и АМ2 принадлежат плоскости ADE1.

Отрезки DM1 и АМ2 пересекаются в точке О.

  1. М1М2 ║ АD

∆AE1D ∆M1E1M2, значит,



  1. ∆M!OM2 ∆DOA, значит,






4. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно совпадает с точкой О.

Все три медианы ∆АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины




4. Повторив рассуждения для ∆ВЕ5D и

∆СЕ3D, получим, что отрезок ВM3 и CM4 пересекают отрезок DM1 в точке, делящей его в отношении 3 : 1, считая от вершины, то есть в точке О.

ВM3 : CM4 = 3 : 1.



Мы рассмотрели теоремы о замечательных точках треугольника, и нашли аналогичные им для тетраэдра. Данные свойства медиан, биссектрис и высот необходимы при доказательстве более сложных теорем и решения сложных задач.

Мы решили провести целенаправленную работу по установлению аналогий, выбрав в качестве поля их поиска разнообразные литературные произведения всевозможных жанров, включая фольклорные.
Глава 2.Фольклорные метафоры математики

Установление различных видов зависимостей можно рассматривать на фольклорном материале. За фольклорным объектом может угадываться и математический объект.

В таблице установлены фольклорные аналогии и соответствующие им математические объекты.


Математический объект

Фольклорный

объект

Примечание


Аксиома

Ясно, как дважды два




Метод от противного


Не было бы счастья, да несчастье помогло




Параллельные плоскости

Загадка: два быка бодаются, вместе

не сойдутся

Отгадка: небо и земля


Параллельные прямые


Загадка: два братца в воду глядятся,

век не сойдутся

Отгадка: берега реки


Отрезок


Было бы начало, будет и конец.

Как бечевку ни вить, а концу быть.

Ласточка весну начинает, а соловей

кончает




Прямая


Загадка: шагаешь – впереди лежит,

оглянешься – назад бежит.

Будешь ты

у меня по ниточке ходить.

Отгадка: дорога


Круг и шар


Загадка: без окон, без дверей, полна

горница людей.

Здесь аналогия составлена не по отгадке, а по тому признаку, что круг и шар –фигуры ,полностью «заполненные» точками

Через две точки можно провести только одну прямую


На двух якорях корабль крепче держится


Две точки задают прямую, однозначно ,закрепляют

ее местоположение так же, как якоря – положение корабля

Прямая, перпендикулярная

плоскости


Загадка: сто один брат, все в один ряд, вместе связаны стоят

Отгадка: забор. Каждый

«брат» перпендикулярен

земле

Проекция наклонной


От своей тени не убежишь.

Загадка: сколько по ней ни иди, всё

будет бежать впереди.


Отгадка: тень

Всякая наклонная имеет

проекцию, как всякий

предмет – тень

Перпендикуляр из точки

на прямую


С одного вола двух шкур не дерут

(словацкая мудрость)

Из одной точки к прямой

двух перпендикуляров не

провести

Нулевой вектор


У нашего господина нет ни ржи, ни

овина

Все координаты равны нулю

Квадрат

Что вдоль, что поперек




Луч


Загадка: придет в дом, не выгонишь

колом, пора придет – сам уйдет

Отгадка: солнечный луч


Немонотонная функция


Не всё в гору, ино и под гору




Возрастающая функция

(прямая пропорциональность)


Чем дальше в лес, тем больше дров.

Дальше в спор – больше слов.

Больше почет – больше хлопот.

Много снега – много хлеба.

Меньше конь – меньше воз.

Много гостей – много и новостей.

Как аукнется – так и откликнется.




Убывающая функция (обратная пропорциональность)


Тише едешь – дальше будешь.

Высоко летаешь – низко упадешь.

Дальше от кузницы -меньше копоти.

Дальше положишь – ближе возьмешь.

Меньше лести – больше чести.

Меньше знаешь – крепче спишь




График постоянной функции

Ни под гору, ни в гору





Синусоида (косинусоида)

Загадка: По морю идет, а как на берег выползет, тут и пропадает

Отгадка: волна (форма графика)

Парабола

Загадка: Разноцветное коромысло над рекою повисло

Отгадка: радуга (имеет форму параболы с ветвями, направленными вниз)

Симметрия

Загадка: Перед нами вверх ногами, перед тобой –вверх головой

Отгадка: отражение в воде

Куб

Загадка: От воды родится, а воды боится

Отгадка: соль.

кристаллы соли имеют форму куба

Посторонний корень

Пятое колесо в телеге.

Сбоку припеку




Противоположно направленные векторы

Люди с базара, а Назар- на базар






Глава 3. Математика и поэзия

Аналогичную работу проделаем и с поэтическими произведениями: составим таблицу аналогий, приведем примеры стихотворных строк, где упоминаются математические объекты. Поэты не пытались написать нечто математическое, они описывали совсем другое. А мы попытались связать написанные ими произведения с математическим материалом.
Поэтические строки в математике


Поэтический объект


Математический объект

В песчаных степях аравийской земли

Три гордые пальмы высоко росли.

Родник между ними из почвы бесплодной,

Журча, пробивался волною холодной.

М. Ю. Лермонтов. Три пальмы

Центр вписанной или описанной

окружности в треугольнике

Начинают строительство с колышка,

Что вбиваем мы в это полюшко.

После в линии, как в тетрадке,

Ровно вписываем палатки.

И. Донич

Алгоритм построения треуголь­ника, вписанного в окружность

Три мудреца

Три мудреца в одном тазу

Пустились по морю в грозу.

Будь попрочнее старый таз,

Длиннее был бы мои рассказ.

С. Маршак

Обратная пропорциональность


Дни растущие, а ночи –

Что ни сутки, то короче.

С. Маршак, Радуга-дуга

Убывающая функция, обратная пропорциональность

...А вы, друзья, Как ни садитесь, Все в музыканты не годитесь.

И. А. Крылов

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется


Снег на крыше, на крылечке.

Солнце в небе голубом.

В нашем доме топят печки,

В небо дым идет столбом.

С. Маршак. Круглый год

Перпендикуляр к плоскости (дым перпендикулярен плоско­сти неба и земли)

Вот в одинаковых платьях, как сестры, Бабочки сели в траву отдыхать.

То закрываются книжечкой пестрой,

То, раскрываясь, несутся опять.

С. Маршак. Разноцветная книга

Подобные фигуры

Видели люди, смотревшие снизу,

Как осторожно он шел по карнизу.

Вот он прошел половину пути.

Надо еще половину пройти.

С. Маршак. Рассказ о настоящем герое

Середина отрезка

Однажды Лебедь, Рак да Щука

Везти с поклажей воз взялись,

И вместе трое все в него впряглись,

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

И. А. Крылов

Некомпланарные векторы, сум­ма векторов (равнодействующая сил, действующих на воз, равна нулю)


Там, за синими курганами,

На распутье трех дорог,

Убаюканный туманами,

Спит зеленый хуторок.

И. Приблудный

Начало координат (распутье трех дорог точка пересечения трех координатных осей)

Упрощаюсь, словно очищаюсь

От всего, что нажито тщетой.

Вновь с душою легкой просыпаюсь, Точно в праздник или выходной!

А. Кравченко

Упрощение выражений

У лукоморья дуб зеленый,

Златая цепь на дубе том,

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом.

А.С.Пушкин

Эвольвента круга (линия, которую описывает при движении кот)

Не дорога, серпантин:

Снизу-вверх, ну а сверху –вниз.

А.Кравченко

Синусоида (косинусоида)

Судьба, как ракета, летит по параболе Обычно - во мраке и реже –

по радуге...

Идут, к своим правдам по-разному храбро,

Червяк - через щель, человек –

по параболе...

Сменяя каноны, прогнозы, параграфы, Несется искусство, любовь и историяПо параболической траектории.

А. Вознесенский

Парабола