производную и ее свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так:

Попробуйте объяснить, что такое скорость равномерного дви­жения и как ее можно измерить. Разберемся в том, что же такое скорость произвольного движения. Пусть точка движется по прямой. Мы считаем, что нам задан закон, по которому можно вычислить путь s как функцию времени t.

Например, если точка движется под действием силы тяжести

с нулевой начальной скоростью, то s= .

(Мы считаем, что g — ускорение силы тяжести — постоянно.)

Возможны и другие законы движения. Так, ракета, стартовавшая с поверхности Зем­ли вертикально вверх с начальной скоростью, позволяющей пол­ностью преодолеть земное притяжение (так называемой второй космической скоростью), удаляется от центра Земли по закону s=A , где А и С—некоторые константы.

Рассмотрим отрезок времени [t_1;t₂]. Определим среднюю ско­рость точки на отрезке [t_1;t₂], как отношение пройденного пути к продолжительности движения:

U_ср. =

Для определения скорости точки в момент времени t

---

(ее в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмем отрезок времени [t;t₁], вычислим среднюю ско­рость на этом отрезке и начнем уменьшать отрезок [t;t₁], при­ближая t₁ к t.

Мы заметим, что значение средней скорости при приближении t₁ к t будет приближаться к некоторому числу, ко­торое и считается значением скорости в момент времени t.

---

В качестве примера рассмотрим свободное падение тела. Счи­таем известным, что зависимость пути от времени задается функцией s= . Зафиксируем произвольный момент времени [t;t₁] и вычислим среднюю скорость на отрезке:

Ucр.
Если теперь будем стягивать отрезок [t;t₁] к точке t, т.е. будем брать значение t₁ все ближе и ближе к t, то сумма t₁+ t будет приближаться к t + t = 2t, а выражение будет прибли­жаться к , последнее число и является значением мгновенной скорости в точке t. Мы получим хорошо известную фор­мулу скорости

U = gt. Процедура, подобная переходу от средней скорости на отрезке [t;t₁] к мгновенной скорости в точке t при стягивании отрезка в точку t, носит название предельного перехода. Обычно говорят, что при стремлении t₁ к t выражение

---

стремится к gt, и записывают это следующим образом:

(t₁ + t) gt, или (t₁ + t) = gt
Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t — это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она измеряется, в точку t или в символи­ческой записи



Дифференцирование, или нахождение производной,— это но­вая математическая операция, имеющая тот же смысл, что в механике нахождение скорости, а в геометрии вычисление углово­го коэффициента касательной.

Для нахождения значения производной в данной точке надо рассмотреть маленький участок изменения аргумента вблизи этой точки. Производная будет приближенно равна средней скорости на этом участке (на языке механики) или угловому коэффи­циенту секущей (на языке геометрии). Для точного вычисления производной надо совершить предельный переход — стянуть отре­зок изменения аргумента в точку. Тогда средняя скорость пре­вратится в мгновенную, а секущая — в касательную, и мы вычис­лим производную.
4. Алгоритм вычисления производной

Вычисление производной функции y=f(x) производится по следующей схеме:

---

1) Находим приращение функции на отрезке [x;x+∆x]:

∆y = f (х + х) - f (х).

2) Делим приращение функции на приращение аргумента:



3) Находим предел , устремляя ∆х к нулю.

Примеры.

1. 
   Производная линейной функции.
   

а) у = С — постоянная функция.

∆y=C-C=0; = 0

Следовательно: С΄ = 0

б) у =aх+b линейная функция.

∆y=a(x+∆x)+b-(ax+b)=a∆x;



Тогда: (ax+b) '=a

2. 
   Производная функции у =ах².
   

∆y=a(x+∆x)²- ax²=ax²+2ax∆x+a(∆x)²- ax²=2ax∆x+a(∆x)²;

;

;

Имеем: (ax²) '=2ax.

5. Связь свойств функции и ее производной

Важной является задача построения графика функции по ее известным свойствам.

Два важнейших свойства функции, необходимые для построения ее графика, - промежутки монотонности и точки экстремума – определяются с помощью производной. Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с

---

Смотрите также файлы

• Этапы разработки программного обеспечения. Стадия Техническое задание.docx

• Брак и семья общее и различное.pptx

• Закон рф от 29 ноября 2010 года 326 фз регулирует отношения в сфере обязательного медицинского страхования добровольного медицинского страхования обязательного и добровольного медицинского страхования.docx

• Салимсолтанова Лейла Бийсолтановна Место работы мбоу сош 60 им. И. Д. Шугаибова общая информация по уроку класс укажите класс, к которому относится урок.docx

• Программа профессиональной переподготовки финансовый директор курс управление инвестициями в реальные активы.pdf