ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 384
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
24 т.е. в данном случае
δQ
определяется только изменением внутренней энергии.
При адиабатном процессе (Q=0) δQ=0, тогда
δ
dU
A
=
(3.8)
Конкретизируем запись уравнения (3.5). Элемент работы можем представить в виде
δA Xdx
=
,
(3.9) где X называется обобщенной силой, а x – обобщенной координатой.
ОБОБЩЕННАЯ КООРДИНАТА – независимый параметр, который однозначно определяет состояние системы.
ОБОБЩЕННАЯ СИЛА – величина, произведение которой на элементарные приращения обобщенной координаты системы дает выражение элементарной работы сил, действующих на систему
Если в системе действует n обобщенных сил, то
1
δ
n
i
i
i
A
X dx
=
=
∑
(3.10)
Рассмотрим примеры и определим элемент работы для различных процессов.
1.
Обобщенной силой является давление p, обобщенной координатой – объем V. Для элемента работы по изменению объема имеем
δA pdV
=
(3.11)
2.
Обобщенная сила – поверхностное натяжение σ, обобщенная координата
– поверхность П. Элемент работы по изменению поверхности будет
δ
σ
A
d
П
=
(3.12)
3.
Обобщенная сила – напряженность магнитного поля H, намагниченность
M – обобщенная координата. Тогда элемент работы по намагничиванию есть
δA HdM
=
(3.13)
4.
Обобщенная сила – сила F, обобщенная координата – расстояние l, тогда для элемента работы по перемещению тела запишем
25
δA Fdl
=
(3.14)
5.
Обобщенная сила – потенциал ϕ, обобщенная координата – заряд e. Для элемента работы по перемещению заряда получим
δ
φ
A
de
=
(3.15)
Приращение энергии материального взаимодействия (энергии переноса массы)
δZ
для однокомпонентной системы может быть записано:
δ
μ
Z
dN
=
,
(3.16) где dN – изменение числа частиц при взаимодействии системы с окружением;
µ – изменение энергии системы при изменении в ней числа частиц на единицу.
Для многокомпонентной системы (сложной) в соответствие с (3.16) находим:
1
δ
μ
m
j
j
j
Z
dN
=
=
∑
(3.17)
Следовательно, для открытой многокомпонентной системы первый закон с учетом материального взаимодействия имеет вид
1 1
δ
μ
n
m
i
i
j
j
i
j
dU
Q
X dx
dN
=
=
=
−
+
∑
∑
(3.18)
3.4.
П
ОНЯТИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ
ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ называется отношение количества теплоты
δQ
, полученное или отданное веществом при бесконечно малом изменении его состояния в каком-либо процессе, к изменению температуры dT вещества.
Очевидно, что теплоемкость зависит от процесса, так как количество теплоты
δQ
является функцией процесса.
Обозначим индексом α какой-либо процесс, тогда теплоемкость вещества в этом процессе
α
α
δQ
c
T
=
∂
(3.19)
26
Теплоемкость единицы массы вещества называется УДЕЛЬНОЙ
ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ, а теплоемкость одного моля вещества – МОЛЬНОЙ
ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ.
Теплоемкость единицы объема вещества называют ОБЪЕМНОЙ
ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ.
3.5.
С
ВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБАРНОЙ И ИЗОХОРНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЯМИ
.
Ф
ОРМУЛА
М
АЙЕРА
.
С
КРЫТАЯ ТЕПЛОТА
Рассмотрим простую закрытую систему с обобщенной силой X и обобщенной координатой x. Воспользуемся записью первого закона термодинамики в виде
δ
dU
Q
Xdx
=
−
(3.20)
Из второго постулата следует, что внутренняя энергия U является функцией внешнего параметра x и температуры T, т.е. U=U(x, T). Тогда
x
T
U
U
dU
dT
dx
T
x
∂
∂
=
+
∂
∂
(3.21)
Подставим соотношение (3.21) в уравнение (3.20) и запишем выражение для количества теплоты:
δ
x
T
U
U
Q
dT
X dx
T
x
∂
∂
=
+
+
∂
∂
(3.22)
Выражение (3.22) представляет собой первый закон термодинамики в дифференциальной форме, записанный через обобщенные координаты и силы.
Воспользовавшись соотношением (3.19) с учетом (3.22), получим выражение для теплоемкости при процессе
α
:
α
α
α
x
T
Q
U
U
x
c
X
T
T
x
T
δ
∂
∂
∂
=
=
+
+
∂
∂
∂
∂
(3.23)
Рассмотрим процесс при постоянном значении обобщенной силы X.
Тогда в соответствии с (3.23)
X
x
T
X
U
U
x
c
X
T
x
T
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
(3.24)
27
Из соотношения (3.20) при const
x
=
следует, что
δ
dU
Q
=
, и с учетом
(3.23) находим
x
x
x
U
Q
c
T
T
∂
δ
=
=
∂
∂
(3.25)
Перепишем соотношение (3.24) с учетом (3.25):
X
x
T
X
U
x
c
c
X
x
T
∂
∂
= +
+
∂
∂
(3.26)
Из (3.22) имеем
δ
T
T
U
Q
X
x
x
∂
+
=
∂
∂
, тогда
δ
X
x
x
T
X
X
Q
x
x
c
c
L
x
T
T
∂
∂
− =
=
∂
∂
∂
(3.27)
Величина
x
L
называется скрытой теплотой изменения какого-либо внешнего параметра x системы.
СКРЫТАЯ ТЕПЛОТА изменения какого-либо параметра x
i
системы – количество теплоты, необходимое для изменения этого параметра на единицу при постоянных температуре и других внешних параметрах.
В общем случае
,
δ
i
j i
x
i
T x
Q
L
x
≠
=
∂
,
(3.28) или
,
i
j i
x
i
i
T x
U
L
X
x
≠
∂
=
+
∂
(3.29)
Подставляя в соотношение (3.20) в качестве обобщенной силы давление
p
, а в качестве обобщенной координаты объем V и рассматривая изохорный процесс, получим выражение для ИЗОХОРНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ – теплоемкости при изохорном процессе
V
V
U
c
T
∂
=
∂
(3.30)
28
Если за обобщенную координату взять объем V, а за обобщенную силу – давление p, то уравнение (3.26) можно переписать в виде
p
V
T
p
U
V
c
c
p
V
T
∂
∂
=
+
+
∂
∂
,
(3.31) где c
p
–
ИЗОБАРНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ – теплоемкость при изобарном процессе.
Рассмотрим идеальный газ. Уравнение состояния (уравнение Менделеева
‒ Клапейрона) для ν молей имеет вид
ν
pV
RT
=
Из опыта Томсона известно, что при изотермическом расширении идеального газа его внутренняя энергия не изменяется:
0
T
U
V
∂
=
∂
(3.32)
Поэтому формула (3.31) приобретает вид
p
V
p
V
c
c
p
T
∂
−
=
∂
(3.33)
Воспользуемся уравнением состояния, выразим из него объем V и продифференцируем по температуре T. Получим
1 ν
p
V
R
T
p
∂
=
∂
(3.34)
Сравнивая соотношения (3.33) и (3.34), находим связь между изохорной и изобарной теплоемкостями:
ν
p
V
c
c
R
−
=
(3.35)
Соотношение (3.35) называют формулой Майера, которую обычно записывают для мольной теплоемкости:
p
V
c
c
R
−
=
(3.36)
Проанализируем полученные выражения. Рассмотрим газ, твердое тело и жидкость. Для газов, как известно, величина
p
V
c
c
−
, приходящаяся на один моль, согласно (3.36) равна универсальной газовой постоянной. Покажем, что для твердых тел и жидкостей, которые очень слабо расширяются при нагревании, эта
29 разность очень мала. Воспользуемся соотношением (3.22), где X=p и x=V. Для изотермического процесса уравнение (3.22) будет выглядеть так:
δ
T
U
Q
p dV
V
∂
=
+
∂
(3.37)
Выразим из (3.37) производную
δ
δ
T
Q
V
, обозначим ее через L
V
и назовем скрытой теплотой расширения.
СКРЫТАЯ ТЕПЛОТА РАСШИРЕНИЯ – количество тепла, необходимое для изотермического увеличения объема тела на единицу.
Тогда
V
T
U
L
p
V
∂
=
+
∂
(3.38)
Возвратимся к записи (3.31). Это выражение с учетом скрытой теплоты расширения имеет вид
p
V
V
p
V
c
c
L
T
∂
−
=
∂
(3.39)
Для твердых тел и жидкостей скрытая теплота расширения L
V
мала, изменение объема при изменении температуры также незначительно.
Из соотношения (3.39) можно записать
p
V
c
c
≈
(3.40)
Изобарные и изохорные теплоемкости для твердых тел и жидкостей примерно равны.
Мы полагали, что теплоемкость не зависит от температуры. Из опытов следует, что имеется слабая зависимость
( )
c
c T
=
в области средних и высоких температур. При температурах, близких к абсолютному нулю, теплоемкость, согласно закону Дебая, пропорциональна третьей степени абсолютной температуры. Объяснение этой закономерности дает квантовая статистика.
Отметим, что молярная теплоемкость c
V
при обычных температурах для атомарных газов постоянна и равна 3R/2, а для газов из двухатомных молекул она равна 5R/2. Эти результаты связаны с числом молекулярных степеней свободы.
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 21
3.6.
О
СНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В простой и сложной системах возможны три основных процесса.
ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, происходящий при постоянной температуре системы (
const
T
=
).
АДИАБАТНЫЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, в котором система не обменивается теплотой с окружающей средой (
δ
0
Q
=
).
ПОЛИТРОПНЫЙ
ПРОЦЕСС
– термодинамический процесс, происходящий при постоянной теплоемкости (
const
c
=
).
В простой системе (если принять за обобщенную силу давление p, за обобщенную координату – объем V) возможны также:
−
ИЗОХОРНЫЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, происходящий при постоянном объеме системы;
−
ИЗОБАРНЫЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, происходящий при постоянном давлении системы.
УРАВНЕНИЕМ ПРОЦЕССАназывается функциональная связь, возникающая между параметрами (обычно p, V и T) при том или ином процессе.
Уравнения некоторых процессов можно получить непосредственно из термического уравнения состояния. Для получения уравнений адиабатного и политропного процессов необходимо воспользоваться еще и калорическим уравнением состояния. В случае, если термическое уравнение является функцией переменных p, V и T, из него можно получить уравнения изотермического, изобарного и изохорного процессов.
Рассмотрим уравнение состояния идеального газа
ν
pV
RT
=
(3.41)
В этом случае уравнения состояния данных процессов будут иметь вид: изотермический процесс (
const
T
=
) const
pV
=
,
(3.42) изохорный процесс (
const
V
=
)
31
p
aT
=
,
(3.43) где
νR
a
V
=
,
(3.44) изобарный процесс (
const
p
=
)
V
a T
′
=
,
(3.45) где
νR
a
p
′ =
(3.46)
3.7.
У
РАВНЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО И АДИАБАТНОГО ПРОЦЕССОВ
Известно, что политропный процесс происходит при постоянной теплоемкости const
c
=
Запишем уравнение (3.23) для политропного процесса:
x
T
U
dx
c
c
X
x
dT
∂
= +
+
∂
(3.47)
Воспользуемся соотношением
X
x
T
X
U
x
c
c
X
x
T
∂
∂
− =
+
∂
∂
,
(3.48) выразим из него множитель в квадратных скобках и подставим в уравнение
(3.47):
X
x
x
X
c
c dx
c c
x
dT
T
−
− =
∂
∂
(3.49)
Используя (3.49), запишем выражение для полного дифференциала температуры:
X
x
X
x
c
c
T
dT
dx
c c
x
−
∂
=
−
∂
,
(3.50) или
0
X
x
X
x
c
c
T
dT
dx
c
c
x
−
∂
+
=
−
∂
(3.51)