ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 390
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
3.11.
С
ВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕРМИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Пусть температура T является функцией объема V и давления p:
(
)
,
T
T p V
=
(3.96)
Тогда для полного дифференциала температуры dT можно записать
p
V
T
T
dT
dp
dV
p
V
∂
∂
=
+
∂
∂
(3.97)
Рассмотрим изотермический процесс (dT=0). Соотношение (3.97) можно записать в форме
p
V
T
T
T
V
p
V
p
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
,
(3.98) или
1
T
p
V
T
p
V
p
V
T
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
(3.99)
Соотношение (3.99) преобразуем, вспомнив выражения для термических коэффициентов:
1
β
V
T
p
p
∂
=
∂
;
α
p
V
V
T
∂
=
∂
;
1
T
p
V
V
∂
= −
∂
χ
(3.100)
Подставим (3.100) в соотношение (3.99), получим связь между термическими коэффициентами
α
β
p
=
χ
(3.101)
41
3.12.
К
ОЭФФИЦИЕНТ АДИАБАТНОЙ СЖИМАЕМОСТИ
.
С
ВЯЗЬ МЕЖДУ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ И АДИАБАТНОЙ СЖИМАЕМОСТИ
По аналогии с изотермической сжимаемостью можно ввести адиабатную сжимаемость, т.е. сжимаемость вещества, при которой не происходит обмен теплом с окружением: ад ад
1
V
V
p
∂
χ = −
∂
(3.102)
Вспомним коэффициент изотермической сжимаемости
1
T
V
V
p
∂
χ = −
∂
(3.103)
Для того чтобы найти связь между этими коэффициентами, воспользуемся уравнением адиабаты (3.63) для простой системы, где давление
p является обобщенной силой X, а объем V – обобщенной координатой x:
γ
0
p
V
T
T
dp
dV
p
V
∂
∂
+
=
∂
∂
(3.104)
Выразим из соотношения (3.104) производную по давлению: ад
γ
p
V
T
T
V
p
V
p
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
(3.105)
С другой стороны, вспомним соотношение (3.98):
p
V
T
T
T
V
p
V
p
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
(3.106)
Теперь, сравнивая выражение (3.105) и (3.106), получаем ад
γ
T
V
V
p
p
∂
∂
=
∂
∂
(3.107)
Или, записав через коэффициенты сжимаемости, имеем ад
γ
χ = χ
(3.108)
Получили, что коэффициент изотермической сжимаемости в γ раз больше коэффициента адиабатной сжимаемости.
Из соотношения (3.107) легко показать, что адиабата идет круче изотермы в координатах p и V (что было отмечено выше).
42
4.
ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
4.1.
О
БРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ
,
ЦИКЛЫ
Прежде, чем переходить к изучению второго закона, необходимо остановиться на подразделении процессов на обратимые и необратимые.
ОБРАТИМЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – процесс, после которого система и взаимодействующие с ней системы (окружающая среда) могут возвратиться в начальное состояние без возникновения в системе или среде остаточных изменений.
НЕОБРАТИМЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – процесс, после которого система и взаимодействующие с ней системы (окружающая среда) не могут возвратиться в начальное состояние без возникновения остаточных изменений в системе или окружающей среде. Схематично изобразим изменение состояния системы и окружающей среды на рис. 4.1.
1′
2′
1
2
Рис. 4.1. Изменение состояния системы и окружения
Пусть имеется некоторая изучаемая система и ее окружение.
Предположим, что при переходе рассматриваемой системы из состояния 1 в состояние 1′ окружение переходит из состояния 2 в состояние 2′. Если можно возвратить одновременно систему в состояние 1, а окружение в состояние 2, то процесс называют обратимым.
Целесообразно ввести понятие обратимого и необратимого цикла.
ЦИКЛ (круговой процесс) – термодинамический процесс, в результате которого тело возвращается в исходное состояние. Цикл называется
ОБРАТИМЫМ, если все части его обратимы. И цикл называется
НЕОБРАТИМЫМ, если хотя бы одна его часть необратима.
43
Определение обратимости процессов, которое мы дали, является наиболее общим. Часто в литературе встречается более узкое определение.
ПРОЦЕСС СЧИТАЕТСЯ ОБРАТИМЫМ, если на каждой стадии его можно обратить с помощью бесконечно малого изменения окружения. В этом смысле квазистатический процесс обратим.
Приведем примеры обратимых и необратимых процессов. К обратимым процессам относятся механические процессы без трения, незатухающие электромагнитные колебания, квазистатические термодинамические процессы; к необратимым – передача тепла от более нагретого тела к менее нагретому, диффузия, механические процессы с трением.
4.2.
Ц
ИКЛ
К
АРНО
Одним из наиболее интересных и эффективных методов исследования ряда положений, связанных со вторым законом термодинамики, является цикл
Карно, использующий некий мысленный эксперимент.
ЦИКЛ КАРНО–обратимый термодинамический цикл, состоящий из двух адиабатных и двух изотермических процессов.
Цикл Карно сыграл большую роль в развитии теплотехники. Хотя в настоящее время ни одна из применяемых в технике тепловых машин не работает по циклу Карно, он и сейчас имеет большое значение: объясняет целый ряд положений, связанных со вторым законом термодинамики; имеет наибольший КПД, с которым можно сравнить КПДдругих циклов; позволяет ввести термодинамическую температурную шкалу (чуть позже мы введем ее иным путем).
Адиабатный и изотермический процессы, используемые в цикле Карно, с точки зрения совершения работы являются наиболее выгодными. Покажем это.
Первый закон термодинамики для простой закрытой системы можно записать в виде
δ
V
T
U
U
Q
dT
p dV
T
V
∂
∂
=
+
+
∂
∂
(4.1)
44
Для идеального газа, как указывалось ранее,
0
T
U
V
∂
=
∂
. При изотермическом процессе (dT=0), тогда
δQ pdV
=
,
(4.2) т.е. все тепло переходит в работу. При адиабатном процессе (δQ= 0) соответственно получаем
δA
dU
= −
(4.3) или
δ
V
A
c dT
= −
,
(4.4) т.е. вся работа производится за счет убыли внутренней энергии.
Изобразим цикл Карно в координатах p и V (рис. 4.2).
1
Q
2
Q
p
V
1
2
3
4
V
1
V
4
V
2
V
3
T
1
=const
T
2
=const
Q
0
δ
=
Q
0
δ
=
теплоотдатчик
теплоприемник
Рис. 4.2. Цикл Карно
Рассмотрим замкнутый цикл 1–2–3–4–1. В качестве рабочего вещества возьмем один моль идеального газа (ниже будет показано, что КПДцикла
Карно не зависит от рабочего вещества).
Приведем несколько определений.
ТЕПЛООТДАТЧИК – система, которая сообщает рабочему телу теплоту.
ТЕПЛОПРИЕМНИК – система, которая принимает от рабочего тела теплоту.
Найдем работу газа за весь цикл Карно, будем считать, как и ранее, работу самого газа положительной, а работу, совершенную над газом, отрицательной.
45
Процесс 1–2 – изотермическое расширение. В соответствии с (4.2) имеем
2 2
1 1
1 2
1 1
1 1
ln
V
V
V
V
RT
V
Q
A
pdV
dV
RT
V
V
=
=
=
=
∫
∫
(4.5)
Объем V
2
>V
1
, соответственно
2 1
ln
0
V
V
>
и, следовательно, работа А
1
положительна, что и было отмечено.
Процесс 2–3 – адиабатное расширение. Для данного процесса справедливо:
δ
0
Q
=
;
δ
V
A
c dT
= −
, отсюда находим
(
)
2 1
2 1
2
T
V
V
T
A
c
dT
c
T
T
= −
=
−
∫
(4.6)
Так как T
1
>T
2
, то работа А
2 положительна.
Процесс 3–4 – изотермическое сжатие. Аналогично (4.5) запишем
4 4
3 3
2 4
2 3
2 3
ln
V
V
V
V
RT
V
Q
A
pdV
dV
RT
V
V
=
=
=
=
∫
∫
(4.7)
Объем V
4
3
, соответственно
4 3
ln
0
V
V
<
и, следовательно, работа А
3
отрицательна.
Процесс 4–1 – адиабатное сжатие. В соответствии с (4.6) находим
(
)
1 2
4 1
2 0
T
V
V
T
A
c
dT
c
T
T
= −
= −
−
<
∫
(4.8)
Алгебраическая сумма (4.5) и (4.7) есть работа газа за пройденный цикл.
Окончательно запишем
2 4
1 2
1 3
ln ln
V
V
A
RT
RT
V
V
=
+
(4.9)
Вспомним уравнение адиабатного процесса для идеального газа в координатах Т, V:
γ-1
const
TV
=
(4.10)
Запишем (4.10) применительно к процессу 2–3:
γ-1
γ-1 1 2 2 3
TV
T V
=
,
(4.11) и к процессу 4–1:
γ-1
γ-1 1 1 2
4
TV
T V
=
(4.12)
46
Разделив (4.11) на (4.12), получим
3 2
1 4
V
V
V
V
=
(4.13)
Подставим соотношение (4.13) в выражение для полезной работы (4.9):
(
)
2 1
2 1
ln
V
A
R
T
T
V
=
−
(4.14)
Работа газа (полезная работа) А равна площади криволинейной фигуры, ограниченной отрезками двух изотерм и двух адиабат.
Введем понятие термического коэффициента полезного действия.
ТЕРМИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ – отношение работы, полученной в результате осуществления прямого обратимого цикла, к теплоте, подведенной к рабочему телу от теплоотдатчика:
2 1
1
η
1
T
A
Q
T
=
= −
(4.15)
Из соотношения (4.15) видно, что КПД определяется только температурами теплоотдатчика и теплоприемника и не зависит от рабочего вещества. Отметим, что КПДцикла Карно меньше 100 %, так как температура теплоприемника Т
2
>0
. Для практических случаев КПД будет меньше еще и по следующим причинам:
− за счет наличия необратимых процессов, при которых часть полезной работы тратится напрасно,
− из-за несовершенства цикла: всегда есть процессы, отличающиеся от выгодных (изотермического и адиабатного).
КПД цикла Карно можно записать иначе:
2 1
η 1
Q
Q
= −
(4.16)
Сравнивая соотношения (4.15) и (4.16) между собой, получаем
2 2
1 1
Q
T
Q
T
=
(4.17)
Соотношение (4.17) служит одним из возможных положений для обоснования существования абсолютной температурной шкалы.
47
4.3.
Ф
ОРМУЛИРОВКИ ВТОРОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ КЛАУЗИУСА
И ТОМСОНА
,
ИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Формулировка Клаузиуса
Невозможен переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому, самопроизвольно, т.е. без затраты некоторого количества работы внешними телами (без компенсации), или – процесс передачи тепла от более нагретого тела менее нагретому необратим.
Формулировка Томсона
Невозможно построить периодически действующую машину, которая непрерывно и полностью превращала бы тепло в работу только за счет охлаждения одного тела, чтобы в окружающих телах не произошли одновременно какие-либо изменения, или – невозможен вечный двигатель второго рода.
Вечный двигатель второго рода
При превращении работы в теплоту данное явление может ограничиться изменением термодинамического состояния только одного тела, получающего тепло. При преобразовании теплоты в работу наряду с охлаждением теплоотдающего тела происходит изменение термодинамического состояния других участвующих в процессе тел: рабочего тела при некруговом процессе или других тел (теплоприемников, холодильников) при циклическом процессе.
Отдача части теплоты рабочим телом другим телам и изменение термодинамического состояния этих тел при круговом процессе превращения теплоты в работу называется КОМПЕНСАЦИЕЙ. Опыт показывает, что без компенсации теплоту в работу превратить нельзя.
Устройство, которое без компенсации полностью превращало бы теплоту в работу, получило название ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ВТОРОГО РОДА.
Это означает, что в то время как теплоту нельзя превратить в работу полностью без компенсации
Q
A
>
, работу в теплоту можно превратить полностью:
A
Q
=
(4.18)
48
При нарушении формулировки Клаузиуса нарушается формулировка
Томсона и наоборот. Покажем их эквивалентность.
Пусть формулировка Клаузиуса не выполняется. Рассмотрим теплоотдатчик с температурой Т
1
и теплоприемник с температурой Т
2
(
Т
1
>Т
2
).
Допустим, что имеется некоторый процесс (1), который позволяет без затраты работы передать тепло Q
2
от менее нагретого тела к более нагретому.
Рассмотрим далее цикл Карно (2), в результате которого от теплоотдатчика отнимается количество тепла Q=Q
1
+Q
2
и передается теплоприемнику количество тепла Q
2
, при этом совершается работа А=Q
1
В результате обоих циклов термодинамическое состояние теплоприемника не изменилось, т.е. получили сопряженную машину, которая всю теплоту превратила в работу. Таким образом, нарушение принципа Клаузиуса привело к нарушению принципа Томсона (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Эквивалентность формулировок Клаузиуса и Томсона
Пусть нарушается принцип Томсона (рис. 4.4), т.е. в результате цикла (1) вся теплота Q
1
от теплоотдатчика с температурой Т
1
превращается в работу А без изменений в окружающих телах. Рассмотрим обратный цикл Карно (2), при котором от теплоприемника с температурой Т
2
отводится теплота Q
2 и передается теплоприемнику теплота Q
1
+Q
2
. Цикл происходит за счет работы
А=Q
1
. При этих процессах не происходит никаких других изменений, кроме передачи теплаQ
2
от теплоприемника к теплоотдатчику, что противоречит принципу Клаузиуса.
теплоотдатчик
теплоприемник
T
1
T
2
Q
2 1
Q
2 2
Q=Q
1
+Q
2
A=Q
1
49
Рис. 4.4. Эквивалентность формулировок Томсона и Клаузиуса
4.4.
П
РИНЦИП АДИАБАТНОЙ НЕДОСТИЖИМОСТИ
К
АРАТЕОДОРИ
Принцип Каратеодори является одной из формулировок второго закона термодинамики.
Из невозможности создания вечного двигателя второго рода вытекает утверждение: вблизи каждого состояния термически однородной равновесной системы существуют такие состояния, которые недостижимы адиабатным путем.
ТЕРМИЧЕСКИ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА– система, все части которой имеют одинаковую температуру.
Рассмотрим квазистатический переход системы из состояния 1 в состояние 2 (рис. 4.5).
При этом пусть система получает количество тепла Q и совершает работу
А
1
. Вспомним первый закон термодинамики для закрытых систем:
2 1
1
Q
U
U
A
=
−
+
(4.19)
Предположим, что система переходит из состояния 2 в состояние 1 адиабатно, совершив работу А
2
. Тогда
1 2
2 0
U
U
A
=
−
+
(4.20)
Складывая (4.19) и (4.20), получим
1 2
Q
A
A
=
+
(4.21)
теплоотдатчик
теплоприемник
T
2
T
1
Q
1
A=Q
1
Q
1
+Q
2
Q
2 1
2
С
ВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕРМИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Пусть температура T является функцией объема V и давления p:
(
)
,
T
T p V
=
(3.96)
Тогда для полного дифференциала температуры dT можно записать
p
V
T
T
dT
dp
dV
p
V
∂
∂
=
+
∂
∂
(3.97)
Рассмотрим изотермический процесс (dT=0). Соотношение (3.97) можно записать в форме
p
V
T
T
T
V
p
V
p
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
,
(3.98) или
1
T
p
V
T
p
V
p
V
T
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
(3.99)
Соотношение (3.99) преобразуем, вспомнив выражения для термических коэффициентов:
1
β
V
T
p
p
∂
=
∂
;
α
p
V
V
T
∂
=
∂
;
1
T
p
V
V
∂
= −
∂
χ
(3.100)
Подставим (3.100) в соотношение (3.99), получим связь между термическими коэффициентами
α
β
p
=
χ
(3.101)
41
3.12.
К
ОЭФФИЦИЕНТ АДИАБАТНОЙ СЖИМАЕМОСТИ
.
С
ВЯЗЬ МЕЖДУ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ И АДИАБАТНОЙ СЖИМАЕМОСТИ
По аналогии с изотермической сжимаемостью можно ввести адиабатную сжимаемость, т.е. сжимаемость вещества, при которой не происходит обмен теплом с окружением: ад ад
1
V
V
p
∂
χ = −
∂
(3.102)
Вспомним коэффициент изотермической сжимаемости
1
T
V
V
p
∂
χ = −
∂
(3.103)
Для того чтобы найти связь между этими коэффициентами, воспользуемся уравнением адиабаты (3.63) для простой системы, где давление
p является обобщенной силой X, а объем V – обобщенной координатой x:
γ
0
p
V
T
T
dp
dV
p
V
∂
∂
+
=
∂
∂
(3.104)
Выразим из соотношения (3.104) производную по давлению: ад
γ
p
V
T
T
V
p
V
p
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
(3.105)
С другой стороны, вспомним соотношение (3.98):
p
V
T
T
T
V
p
V
p
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
(3.106)
Теперь, сравнивая выражение (3.105) и (3.106), получаем ад
γ
T
V
V
p
p
∂
∂
=
∂
∂
(3.107)
Или, записав через коэффициенты сжимаемости, имеем ад
γ
χ = χ
(3.108)
Получили, что коэффициент изотермической сжимаемости в γ раз больше коэффициента адиабатной сжимаемости.
Из соотношения (3.107) легко показать, что адиабата идет круче изотермы в координатах p и V (что было отмечено выше).
42
4.
ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
4.1.
О
БРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ
,
ЦИКЛЫ
Прежде, чем переходить к изучению второго закона, необходимо остановиться на подразделении процессов на обратимые и необратимые.
ОБРАТИМЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – процесс, после которого система и взаимодействующие с ней системы (окружающая среда) могут возвратиться в начальное состояние без возникновения в системе или среде остаточных изменений.
НЕОБРАТИМЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – процесс, после которого система и взаимодействующие с ней системы (окружающая среда) не могут возвратиться в начальное состояние без возникновения остаточных изменений в системе или окружающей среде. Схематично изобразим изменение состояния системы и окружающей среды на рис. 4.1.
1′
2′
1
2
Рис. 4.1. Изменение состояния системы и окружения
Пусть имеется некоторая изучаемая система и ее окружение.
Предположим, что при переходе рассматриваемой системы из состояния 1 в состояние 1′ окружение переходит из состояния 2 в состояние 2′. Если можно возвратить одновременно систему в состояние 1, а окружение в состояние 2, то процесс называют обратимым.
Целесообразно ввести понятие обратимого и необратимого цикла.
ЦИКЛ (круговой процесс) – термодинамический процесс, в результате которого тело возвращается в исходное состояние. Цикл называется
ОБРАТИМЫМ, если все части его обратимы. И цикл называется
НЕОБРАТИМЫМ, если хотя бы одна его часть необратима.
43
Определение обратимости процессов, которое мы дали, является наиболее общим. Часто в литературе встречается более узкое определение.
ПРОЦЕСС СЧИТАЕТСЯ ОБРАТИМЫМ, если на каждой стадии его можно обратить с помощью бесконечно малого изменения окружения. В этом смысле квазистатический процесс обратим.
Приведем примеры обратимых и необратимых процессов. К обратимым процессам относятся механические процессы без трения, незатухающие электромагнитные колебания, квазистатические термодинамические процессы; к необратимым – передача тепла от более нагретого тела к менее нагретому, диффузия, механические процессы с трением.
4.2.
Ц
ИКЛ
К
АРНО
Одним из наиболее интересных и эффективных методов исследования ряда положений, связанных со вторым законом термодинамики, является цикл
Карно, использующий некий мысленный эксперимент.
ЦИКЛ КАРНО–обратимый термодинамический цикл, состоящий из двух адиабатных и двух изотермических процессов.
Цикл Карно сыграл большую роль в развитии теплотехники. Хотя в настоящее время ни одна из применяемых в технике тепловых машин не работает по циклу Карно, он и сейчас имеет большое значение: объясняет целый ряд положений, связанных со вторым законом термодинамики; имеет наибольший КПД, с которым можно сравнить КПДдругих циклов; позволяет ввести термодинамическую температурную шкалу (чуть позже мы введем ее иным путем).
Адиабатный и изотермический процессы, используемые в цикле Карно, с точки зрения совершения работы являются наиболее выгодными. Покажем это.
Первый закон термодинамики для простой закрытой системы можно записать в виде
δ
V
T
U
U
Q
dT
p dV
T
V
∂
∂
=
+
+
∂
∂
(4.1)
44
Для идеального газа, как указывалось ранее,
0
T
U
V
∂
=
∂
. При изотермическом процессе (dT=0), тогда
δQ pdV
=
,
(4.2) т.е. все тепло переходит в работу. При адиабатном процессе (δQ= 0) соответственно получаем
δA
dU
= −
(4.3) или
δ
V
A
c dT
= −
,
(4.4) т.е. вся работа производится за счет убыли внутренней энергии.
Изобразим цикл Карно в координатах p и V (рис. 4.2).
1
Q
2
Q
p
V
1
2
3
4
V
1
V
4
V
2
V
3
T
1
=const
T
2
=const
Q
0
δ
=
Q
0
δ
=
теплоотдатчик
теплоприемник
Рис. 4.2. Цикл Карно
Рассмотрим замкнутый цикл 1–2–3–4–1. В качестве рабочего вещества возьмем один моль идеального газа (ниже будет показано, что КПДцикла
Карно не зависит от рабочего вещества).
Приведем несколько определений.
ТЕПЛООТДАТЧИК – система, которая сообщает рабочему телу теплоту.
ТЕПЛОПРИЕМНИК – система, которая принимает от рабочего тела теплоту.
Найдем работу газа за весь цикл Карно, будем считать, как и ранее, работу самого газа положительной, а работу, совершенную над газом, отрицательной.
45
Процесс 1–2 – изотермическое расширение. В соответствии с (4.2) имеем
2 2
1 1
1 2
1 1
1 1
ln
V
V
V
V
RT
V
Q
A
pdV
dV
RT
V
V
=
=
=
=
∫
∫
(4.5)
Объем V
2
>V
1
, соответственно
2 1
ln
0
V
V
>
и, следовательно, работа А
1
положительна, что и было отмечено.
Процесс 2–3 – адиабатное расширение. Для данного процесса справедливо:
δ
0
Q
=
;
δ
V
A
c dT
= −
, отсюда находим
(
)
2 1
2 1
2
T
V
V
T
A
c
dT
c
T
T
= −
=
−
∫
(4.6)
Так как T
1
>T
2
, то работа А
2 положительна.
Процесс 3–4 – изотермическое сжатие. Аналогично (4.5) запишем
4 4
3 3
2 4
2 3
2 3
ln
V
V
V
V
RT
V
Q
A
pdV
dV
RT
V
V
=
=
=
=
∫
∫
(4.7)
Объем V
4
3
, соответственно
4 3
ln
0
V
V
<
и, следовательно, работа А
3
отрицательна.
Процесс 4–1 – адиабатное сжатие. В соответствии с (4.6) находим
(
)
1 2
4 1
2 0
T
V
V
T
A
c
dT
c
T
T
= −
= −
−
<
∫
(4.8)
Алгебраическая сумма (4.5) и (4.7) есть работа газа за пройденный цикл.
Окончательно запишем
2 4
1 2
1 3
ln ln
V
V
A
RT
RT
V
V
=
+
(4.9)
Вспомним уравнение адиабатного процесса для идеального газа в координатах Т, V:
γ-1
const
TV
=
(4.10)
Запишем (4.10) применительно к процессу 2–3:
γ-1
γ-1 1 2 2 3
TV
T V
=
,
(4.11) и к процессу 4–1:
γ-1
γ-1 1 1 2
4
TV
T V
=
(4.12)
46
Разделив (4.11) на (4.12), получим
3 2
1 4
V
V
V
V
=
(4.13)
Подставим соотношение (4.13) в выражение для полезной работы (4.9):
(
)
2 1
2 1
ln
V
A
R
T
T
V
=
−
(4.14)
Работа газа (полезная работа) А равна площади криволинейной фигуры, ограниченной отрезками двух изотерм и двух адиабат.
Введем понятие термического коэффициента полезного действия.
ТЕРМИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ – отношение работы, полученной в результате осуществления прямого обратимого цикла, к теплоте, подведенной к рабочему телу от теплоотдатчика:
2 1
1
η
1
T
A
Q
T
=
= −
(4.15)
Из соотношения (4.15) видно, что КПД определяется только температурами теплоотдатчика и теплоприемника и не зависит от рабочего вещества. Отметим, что КПДцикла Карно меньше 100 %, так как температура теплоприемника Т
2
>0
. Для практических случаев КПД будет меньше еще и по следующим причинам:
− за счет наличия необратимых процессов, при которых часть полезной работы тратится напрасно,
− из-за несовершенства цикла: всегда есть процессы, отличающиеся от выгодных (изотермического и адиабатного).
КПД цикла Карно можно записать иначе:
2 1
η 1
Q
Q
= −
(4.16)
Сравнивая соотношения (4.15) и (4.16) между собой, получаем
2 2
1 1
Q
T
Q
T
=
(4.17)
Соотношение (4.17) служит одним из возможных положений для обоснования существования абсолютной температурной шкалы.
47
4.3.
Ф
ОРМУЛИРОВКИ ВТОРОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ КЛАУЗИУСА
И ТОМСОНА
,
ИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Формулировка Клаузиуса
Невозможен переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому, самопроизвольно, т.е. без затраты некоторого количества работы внешними телами (без компенсации), или – процесс передачи тепла от более нагретого тела менее нагретому необратим.
Формулировка Томсона
Невозможно построить периодически действующую машину, которая непрерывно и полностью превращала бы тепло в работу только за счет охлаждения одного тела, чтобы в окружающих телах не произошли одновременно какие-либо изменения, или – невозможен вечный двигатель второго рода.
Вечный двигатель второго рода
При превращении работы в теплоту данное явление может ограничиться изменением термодинамического состояния только одного тела, получающего тепло. При преобразовании теплоты в работу наряду с охлаждением теплоотдающего тела происходит изменение термодинамического состояния других участвующих в процессе тел: рабочего тела при некруговом процессе или других тел (теплоприемников, холодильников) при циклическом процессе.
Отдача части теплоты рабочим телом другим телам и изменение термодинамического состояния этих тел при круговом процессе превращения теплоты в работу называется КОМПЕНСАЦИЕЙ. Опыт показывает, что без компенсации теплоту в работу превратить нельзя.
Устройство, которое без компенсации полностью превращало бы теплоту в работу, получило название ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ВТОРОГО РОДА.
Это означает, что в то время как теплоту нельзя превратить в работу полностью без компенсации
Q
A
>
, работу в теплоту можно превратить полностью:
A
Q
=
(4.18)
48
При нарушении формулировки Клаузиуса нарушается формулировка
Томсона и наоборот. Покажем их эквивалентность.
Пусть формулировка Клаузиуса не выполняется. Рассмотрим теплоотдатчик с температурой Т
1
и теплоприемник с температурой Т
2
(
Т
1
>Т
2
).
Допустим, что имеется некоторый процесс (1), который позволяет без затраты работы передать тепло Q
2
от менее нагретого тела к более нагретому.
Рассмотрим далее цикл Карно (2), в результате которого от теплоотдатчика отнимается количество тепла Q=Q
1
+Q
2
и передается теплоприемнику количество тепла Q
2
, при этом совершается работа А=Q
1
В результате обоих циклов термодинамическое состояние теплоприемника не изменилось, т.е. получили сопряженную машину, которая всю теплоту превратила в работу. Таким образом, нарушение принципа Клаузиуса привело к нарушению принципа Томсона (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Эквивалентность формулировок Клаузиуса и Томсона
Пусть нарушается принцип Томсона (рис. 4.4), т.е. в результате цикла (1) вся теплота Q
1
от теплоотдатчика с температурой Т
1
превращается в работу А без изменений в окружающих телах. Рассмотрим обратный цикл Карно (2), при котором от теплоприемника с температурой Т
2
отводится теплота Q
2 и передается теплоприемнику теплота Q
1
+Q
2
. Цикл происходит за счет работы
А=Q
1
. При этих процессах не происходит никаких других изменений, кроме передачи теплаQ
2
от теплоприемника к теплоотдатчику, что противоречит принципу Клаузиуса.
теплоотдатчик
теплоприемник
T
1
T
2
Q
2 1
Q
2 2
Q=Q
1
+Q
2
A=Q
1
49
Рис. 4.4. Эквивалентность формулировок Томсона и Клаузиуса
4.4.
П
РИНЦИП АДИАБАТНОЙ НЕДОСТИЖИМОСТИ
К
АРАТЕОДОРИ
Принцип Каратеодори является одной из формулировок второго закона термодинамики.
Из невозможности создания вечного двигателя второго рода вытекает утверждение: вблизи каждого состояния термически однородной равновесной системы существуют такие состояния, которые недостижимы адиабатным путем.
ТЕРМИЧЕСКИ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА– система, все части которой имеют одинаковую температуру.
Рассмотрим квазистатический переход системы из состояния 1 в состояние 2 (рис. 4.5).
При этом пусть система получает количество тепла Q и совершает работу
А
1
. Вспомним первый закон термодинамики для закрытых систем:
2 1
1
Q
U
U
A
=
−
+
(4.19)
Предположим, что система переходит из состояния 2 в состояние 1 адиабатно, совершив работу А
2
. Тогда
1 2
2 0
U
U
A
=
−
+
(4.20)
Складывая (4.19) и (4.20), получим
1 2
Q
A
A
=
+
(4.21)
теплоотдатчик
теплоприемник
T
2
T
1
Q
1
A=Q
1
Q
1
+Q
2
Q
2 1
2