Файл: Методические указания по организации и проведению учебной практики (практика по получению первичных навыков работы с программным обеспечением).docx

Получение навыков по построению графиков, исследованию функций, решению уравнений и их систем с применением программного комплекса MathCAD для построения математических моделей при обработке и анализе информации
Цель работы: получить навыки работы построения графиков, исследования функций, решений уравнений и их систем с применением программного комплекса MathCAD.

Формируемые компетенции: ОПК-1– Способен осуществлять поиск, обработку и анализ информации из различных источников и представлять ее в требуемом формате с использованием информационных, компьютерных и сетевых технологий.

Программа работы

Для построения графика в программной среде MathCAD необходимо выбрать на панели инструментов Math выбрать панель Graph Toolbar (Рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Внешний вид панели Graph Toolbar
Для построения графика в декартовой системе координат необходимо выбрать X-Y Plot (горячая клавиша @).

График в декартовой системе координат в Mathcad представляет собой незаполненный шаблон в виде большого прямоугольника с черными прямоугольными точками, расположенными около осей абсцисс и ординат будущего графика (рисунок 2.2).


Рисунок 2.2– Незаполненная область построения графика а MahCAD
Для построения графика в прямоугольники, расположенные в центре осей, необходимо поместить имя аргумента оси абсцисс и имя функции оси ординат. В случае если необходимо на одной области построить несколько графиков, то обозначения имен функций и имен аргумента необходимо разделять запятыми.

Черные прямоугольные точки, расположенные по краям осей, задают предельные значения абсцисс и ординат, другими словами, задают масштабы графика. Если их оставить незаполненными, то в Mathcad масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически.

Ниже представлен пример построения двух функций на одной декартовой плоскости:

Также возможно форматирование графика (задать цвет линий, тип линий, их толщину, построить оси построения и др.) для этого необходимо двойным щелчком мыши по обласит построения вызвать окно Formatting Currently Selected

---

X-Y Plot (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – окно форматирования графиков
Построение графиков в полярной системе координат происходит аналогично, как и в декартовой системе координат. Ври этом важно учитывать специфику самих функций.

В полярной системе координат при активизации шаблона графика, рабочее поле представлено окружностью. В нижней части шаблона задается имя угловой переменной, в левой части - имя функции, определяющей радиус как функцию угла.

Ниже представлен пример построения двух функций в одной полярной системе координат:

При построении поверхности (Surface Plot (горячая клавиша Ctcl+2)) F(x,y) в среде Mathcad, необходимо функцию необходимо предварительно представить матрицей М ординат F(x,y).

Шаблон содержит единственное поле – темный прямоугольник у левого нижнего угла основного шаблона. В него надо занести имя матрицы М или имя функции F при автоматическом построении матрицы.

Ниже представлены примеры построения поверхности в среде MathCAD:

Контурная поверхность (Counter Plot (горячая клавиша Ctcl+5)) строится аналогично графику поверхности:


Аналогично строится и другие графики поверхности в виде гистограммы (3 D Bar Plot):

Кроме рассмотренных методов построения графиков функций и поверхности в MAthCAD встроены различные методы поиска корней уравнения и систем уравнений.

Для решения уравнений применяются такие встроенные функции как root и polyroots.

Для решения уравнения с одной неизвестной применяется встроенная функция root. Аргументами этой встроенной функции являются математическое выражение и переменная, входящая в выражение. Функция root возвращает значение переменной, которое обращает выражение в ноль.

root(f(z),z) возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярными. Функция возвращает скаляр.

Второй аргумент функции root (переменная z) варьируя. С помощью него Mathcad будет «пытаться» обратить выражение в ноль. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

Ниже представлен алгоритм вычисления корней функции с примерами по каждому пункту :

---

1. 
   присвоить значение функции и построить ее график:
   

2. 
   найти приближенные значения корней уравнения (x=-2);
   
3. 
   для приближенного значения найти с помощью функции root найти корни уравнения:
   

Для нахождения корней полинома, имеющего вид:
применятся функция polyroots. Она не требует начального приближения. Кроме того, функция polyroots возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Ниже представлен алгоритм вычисления корней функции с примерами по каждому пункту :

1. 
   задается вектор коэффициентов начинающегося со свободного члена:
   

2. 
   применить для вектора констант функцию polyroots:
   

Так же Mathcad может решать системы уравнений. Максимальное число уравнений системы их переменных равно пятидесяти. Для вычисления корней системы уравнений применяется блок Given, Find.

Ниже рассмотрен алгоритм решения системы уравнений с примерами:

1. 
   для выбора приближенных значений построить графики функций;
   
2. 
   задать начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;
   
3. 
   напечать ключевое слово Given;
   
4. 
   ввести уравнения из системы (ВАЖНО!!! при вводе уравнения необходимо использовать символ равенства (горячая клавиша Ctrl + =) панели Boolean);
   
5. 
   ввести ключевое слово Find (ВАЖНО!!! Если функция Find имеет более одного аргумента, то она возвращает ответ в виде вектора. Например, Find(z1,z2)).
   

Начальное приближение

Начальное приближение

Для исследования функций в MathCAD есть встроенные инструменты для интегрирования и дифференцирования функции. Эти инструменты находятся на панели Calculus (Рисунок 2.4)

Рисунок 2.4 – Панель Calculs
Ниже показан пример для нахождения производной и численного значения первой и второй производной функции в заданной точке:

Следующий пример показывает нахождение первообразной и нахождение площади криволинейной трапеции на промежутке [a;b]:

---

Указания по технике безопасности

В начале каждого семестра, со студентами должен проводится инструктаж по технике безопасности в лаборатории. Во время нахождения студента в лаборатории и выполнения лабораторных работ студент не должен нарушать инструкции по охране труда с персональном компьютером ИОТ-37-ИВЛ-19, и инструкцию о мерах пожарной безопасности ИБП-01-2016.

Методические указания к выполнению работы

Каждому студенту необходимо в соответствии с вариантом последовательно выполнить предложенные задания.

Вариант 1

Для функции выполнить следующие действия:

1. 
   На интервале заданном двумя переменными протабулировать функцию заданным шагом ;
   
2. 
   Задавая переменные и такие что построить в декартовой системе координат график функции на промежутке ;
   
3. 
   Используя функции root и polyroots найти все при которых принаймет значение 0;
   
4. 
   Найти точки экстремума функции на всей области определения и вычислить значения функции в этих точках;
   
5. 
   Получить уравнение касательной к функции в точке . Построить график функции и полученной касательной в одной координатной плоскости;
   
6. 
   На одной координатной плоскости построить графики функции и . Найти точки их пересечения;
   
7. 
   Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и
   (для решения этой задачи необходимо построить графики функции, найти точки их пересечения для определения области интегрирования).
   

Вариант 2

Для функции выполнить следующие действия:

1. 
   На интервале заданном двумя переменными протабулировать функцию заданным шагом ;
   

8. 
   Задавая переменные и такие что построить в декартовой системе координат график функции на промежутке ;Используя функции root и polyroots найти все при которых принаймет значение 0;
   
9. 
   Найти точки экстремума функции на всей области определения и вычислить значения функции в этих точках;
   
10. 
    Получить уравнение касательной к функции в точке . Построить график функции и полученной касательной в одной координатной плоскости;
    
11. 
    на одной координатной плоскости построить графики функции и . Найти точки их пересечения;
    
12. 
    Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и
    (для решения этой задачи необходимо построить графики функции, найти точки их пересечения для определения области интегрирования).
    

---

Вариант 3

Для функции выполнить следующие действия:

1. 
   На интервале заданном двумя переменными протабулировать функцию заданным шагом ;
   

13. 
    Задавая переменные и такие что построить в декартовой системе координат график функции на промежутке ;
    
14. 
    Используя функции root и polyroots найти все при которых принаймет значение 0;
    
15. 
    Найти точки экстремума функции на всей области определения и вычислить значения функции в этих точках;
    
16. 
    Получить уравнение касательной к функции в точке . Построить график функции и полученной касательной в одной координатной плоскости;
    
17. 
    на одной координатной плоскости построить графики функции и . Найти точки их пересечения;
    
18. 
    Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и
    (для решения этой задачи необходимо построить графики функции, найти точки их пересечения для определения области интегрирования).
    

Вариант 4

Для функции выполнить следующие действия:

1. 
   На интервале заданном двумя переменными протабулировать функцию заданным шагом ;
   

19. 
    Задавая переменные и такие что построить в декартовой системе координат график функции на промежутке ;
    
20. 
    Используя функции root и polyroots найти все при которых принаймет значение 0;
    
21. 
    Найти точки экстремума функции на всей области определения и вычислить значения функции в этих точках;
    
22. 
    Получить уравнение касательной к функции в точке . Построить график функции и полученной касательной в одной координатной плоскости;
    
23. 
    на одной координатной плоскости построить графики функции и . Найти точки их пересечения;
    
24. 
    Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и
    (для решения этой задачи необходимо построить графики функции, найти точки их пересечения для определения области интегрирования).
    

Вариант 5

Для функции выполнить следующие действия:

1. 
   На интервале заданном двумя переменными протабулировать функцию заданным шагом ;
   

25. 
    Задавая переменные и такие что построить в декартовой системе координат график функции на промежутке ;
    
26. 
    Используя функции root и polyroots найти все при которых принаймет значение 0;
    
27. 
    Найти точки экстремума функции на всей области определения и вычислить значения функции в этих точках;
    
28. 
    Получить уравнение касательной к функции в точке . Построить график функции и полученной касательной в одной координатной плоскости;
    
29. 
    на одной координатной плоскости построить графики функции и . Найти точки их пересечения;
    
30. 
    Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и
    (для решения этой задачи необходимо построить графики функции, найти точки их пересечения для определения области интегрирования).
    

---