Файл: А. П. Господариков, И. А. Лебедев.doc

А.П.ГОСПОДАРИКОВ, И.А.ЛЕБЕДЕВ,

В.В.ИВАКИН, М.А.ЗАЦЕПИН

Высшая математика


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Учебное пособие

для бакалавров

санкт-петербург

2012

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный горный университет
Высшая математика
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ


Учебное пособие

для бакалавров
санкт-петербург

2012

УДК 517.52 (075.80)

ББК  22.161+22.171+22.172

         В723

Авторы:

А.П.Господариков, И.А.Лебедев, В.В.Ивакин, М.А.Зацепин
В учебном пособии изложены основные понятия теории вероятностей и математической статистики, а также методы решения задач рассматриваемых разделов.

Пособие предназначено для оказания помощи студенту при самостоятельном изучении материала и выполнении контрольных работ по темам, входящим в программу третьего курса высшей математики (Теория вероятностей и основы математической статистики) для бакалавров экономических специальностей.
Научный редактор проф. А.П.Господариков
Рецензенты: кафедра теории управления факультета прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета; д-р физ.-мат. наук проф. С.И.Перегудин (Санкт-Петербургский государственный университет).

В723	Высшая математика. Теория вероятностей и основы математической статистики.: Учеб. пособие / А.П.Господариков, И.А.Лебедев, В.В.Ивакин, М.А.Зацепин; Санкт-Петербургский государственный горный университет. СПб, 2012. 76 с.

ISBN 978-5-94211-390-2

УДК 517.52 (075.80)

---

ББК  22.161+22.171+22.172

ISBN 978-5-94211-390-2

Ó Санкт-Петербургский горный университет, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. В этой дисциплине рассматриваются теоретические модели, приложимые к любым массовым явлениям в природе, обществе и технике. Знание этих общих законов позволяет делать заключения о закономерностях, имеющих место в каждом конкретном случае.

В свою очередь, на основе теории вероятностей разрабатываются методы математической статистики, которые широко применяются при обработке результатов исследований. Ниже приведена учебная программа по высшей математике для студентов (бакалавров) третьего курса.

Теория вероятностей
1. Случайные события. Основные понятия теории вероятностей.

2. Вероятность суммы событий.

3. Вероятность произведения событий.

4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

5. Повторение независимых опытов и теоремы Лапласа.

6. Теорема Бернулли и закон Пуассона.

7. Случайные величины. Закон распределения и функция распределения.

8. Математическое ожидание случайной величины.

9. Дисперсия и среднее отклонение случайной величины.

10. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона.

11. Равномерный и нормальный законы распределения.

12. Система двух случайных величин. Закон и функция распределения.

13. Условный закон распределения и условное математическое ожидание.

14. Начальные и центральные моменты случайной величины и системы случайных величин. Коэффициент корреляции.

Основы математической статистики
15. Выборка и эмпирическое распределение. Графическое представление.

16. Точечные оценки параметров распределения по эмпирическим данным.

17. Интервальные оценки параметров распределения по эмпирическим данным.

18. Понятие о критерии согласия. Критерий Пирсона хи-квадрат.

19. Статистическая и корреляционная связь. Уравнения прямых регрессий.

---

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Основные понятия теории вероятностей

Вся практическая деятельность человека может рассматриваться как совокупность некоторых событий. Часть событий вполне закономерна и предсказуема. Но существуют события, которые невозможно заранее предсказать. Все события можно разделить на следующие основные виды:

случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Таким образом, реализацию случайного события нельзя предсказать заранее (при одних и тех же условиях). Эти условия часто задаются условиями проведения опыта или испытания, поэтому случайное событие часто есть результат испытания;

достоверное событие – это событие, которое всегда происходит при определенных условиях;

невозможное событие – это событие, которое никогда не происходит при данных условиях;

несовместные события – это случайные события, которые при данных условиях не могут произойти совместно;

независимые события – это случайные события, которые при данных условиях происходят независимо друг от друга. В противном случае, события называются зависимыми;

равновозможные события – это события, возможности появления которых при данных условиях одинаковы. Набор (или группа) событий называется полным, если при данных условиях всегда реализуется хотя бы одно из этих событий.

Полный набор несовместных и равновозможных событий называется набором элементарных событий или исходов; а их совокупность – вероятностным пространством элементарных событий. Такая схема описания ситуации называется классической и является основной.

Элементарные события (исходы), при реализации которых происходит событие A, называются благоприятными для A.

Относительная частота события. При большом числе испытаний, проведенных в одних и тех же условиях, можно установить закономерность появления некоторого события A. Пусть при проведении испытаний событие Aнаступило

---

раз. Тогда частное есть относительная частота события A.

Можно продолжить серии испытаний и найти, что в испытаниях событие A наступило раз, тогда относительная частота этого события составит и т.д. В результате получим последовательность относительных частот , , ,…, ,…, заметив при этом, что отношения ,  = 1,2,3,…, мало отличаются друг от друга при большом числе одинаковых и независимых испытаний. Таким образом, относительная частота случайного события устойчива при большом числе испытаний и колеблется относительно некоторого предельного значения – предельной частоты , которая может служить объективной количественной мерой возможности реализации случайного события или вероятностью события.

Вероятность события A обозначается .

Вероятность события в классической схеме определяется как отношение числа m элементарных исходов, благоприятных событию A, к общему числу n исходов вероятностного пространства:



По теореме Бернулли эти вероятности совпадают, т.е.



Свойства классической вероятности: вероятность события A не может быть меньше нуля и больше единицы

---

вероятность невозможного события равна нулю, вероятность достоверного события равна единице.

Геометрическое определение вероятности основано на взаимно-однозначном сопоставлении пространству точек некоторой области и используется, когда множество элементарных исходов несчетно. В этом случае вероятность принимается равной относительной мере той части области (длине, площади, объему и т.д.), которая соответствует благоприятным событию исходам. Так, если геометрическая мера всей области равна S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует событию A, равна S_A, то вероятность события A:



При непосредственном подсчете вероятностей событий часто необходимы сведения из комбинаторной математики. Эта область математики занимается, в основном, задачами о существовании и подсчете различных комбинаций (выборок), которые можно составить из элементов данного конечного множества.

Факториал n! произвольного целого числа определяется формулами:

Перестановками из n различных элементов называются выборки, содержащие все n элементов и различающиеся только порядком элементов. Число перестановок из n элементов . Например,

Размещениями по m элементов из n различных элементов называют выборки по m элементов, которые отличаются одна от другой составом элементов или порядком их расположения. Число размещений по m элементов из n:

.

Сочетаниями по m элементов из

---