Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4491
Скачиваний: 4
46
.
0
)
(
...
1
...
...
...
...
...
...
1
...
1
,
0
2
1
2
1
1
0
2
0
0
n
i
j
j
i
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Без вывода приведем одну из форм записи интерполяционного
многочлена Лагранжа
.
)
x
x
)...(
x
x
(
)
x
x
)...(
x
x
(
y
...
...
)
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
y
)
x
x
)...(
x
x
(
)
x
x
)...(
x
x
(
y
)
x
(
L
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
1
0
1
2
1
0
1
2
0
1
0
1
0
1
0
(5.6)
Определение. Этот многочлен называется интерполяционным
многочленом Лагранжа и сокращенно записывается в виде
L
n
(x) =
y
i
i o
n
.
)
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
1
1
1
0
1
1
1
0
(5.7)
5.1.1 Оценка погрешности интерполяционного многочлена
Оценить погрешность интерполяционной формулы Лагранжа можно
только тогда, когда известно аналитическое выражение интерполируемой
функции, а точнее, если известно максимальное значение (n+1)-ой
производной функции f(x) на отрезке [a,b]. Пусть
|R
n
(x)| =| f(x) - L
n
(x)|,
где R
n
(x) –погрешность;
f(x)- точное значение функции в точке х;
L
n
(x)- приближенное значение, полученное по полиному Лагранжа.
Если обозначить через M
n 1
=
]
b
,
a
[
max
f
x
n
(
)
( )
1
, где x [a,b], причем х
0
=а,
х
n
= b, то
]
b
,
a
[
max
R x
M
n
x x x x
x x
n
n
n
( )
(
)!
(
)(
)....(
)
1
0
1
1
.
47
Рассмотрим теперь случай с равноотстоящими узлами. Тогда
интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается. В этом случае
шаг h=x
i+1
-x
i
=const. Введем в рассмотрение многочлен вида
Q
i
(x)=
.
)
x
x
)...(
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
)...(
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
n
i
i
i
i
i
n
i
1
1
0
1
1
0
Введем обозначение q=
x x
h
0
, отсюда следует, что
x x
0
=
q h
,
x x
1
= q h
h
h q
(
)
1 ,
. . . . . . . . . . .
x x
i
=
),
i
q
(
h
h
i
h
q
n
x
x
=
).
n
q
(
h
h
n
h
q
Тогда многочлен Q
i
примет вид
Q
i
(x)=
.
]
h
)
i
n
(
)...[
h
(
h
...
h
)
i
(
h
i
h
)
n
q
)]...(
i
(
q
[
)]
i
(
q
[
)
q
(
q
y
n
i
1
1
1
1
Произведя простейшие преобразования, получим выражение вида:
Q
i
(q)=
)!
i
n
(
!
i
)
i
q
(
)
(
)
n
q
)...(
q
(
q
i
n
1
1
=
!
n
)
n
q
)...(
q
(
q
i
q
C
)
(
i
n
i
n
1
1
,
где
.
)!
i
n
(
!
i
!
n
C
i
n
Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих
узлов имеет вид:
L
n
(x)=
n
i
i
i
n
i
n
y
i
q
C
)
(
!
n
)
n
q
)...(
q
(
q
0
1
1
.
На практике часто пользуются линейной и квадратичной интерполяцией.
В этом случае формула Лагранжа имеет вид
L
1
(x)=
)
x
x
(
)
x
x
(
y
)
x
x
(
)
x
x
(
y
0
1
0
1
1
0
0
0
- при линейной интерполяции;
48
L
2
(x)=
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
y
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
y
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
y
1
2
0
2
1
0
2
2
1
0
1
2
0
1
2
0
1
0
2
1
0
-
при квадратичной интерполяции.
5.2 Интерполяционные полиномы Ньютона
5.2.1 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих
узлов
Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в
начале таблицы удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной
формулой Ньютона. Для этого введем понятие конечной разности.
Определение. Конечной разностью перового порядка называется
разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Тогда
конечные разности в точках х
0
,х
1
,…,х
n-1
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
y
y
y
0
0
1
0
1
0
,
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
y
y
y
1
1
2
1
2
1
,
. . . . . . .
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
y
y
y
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
.
Конечная разность второго порядка имеет вид:
).
y
(
y
.
.
.
.
.
.
,
y
y
y
i
n
i
n
i
i
i
1
1
2
Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей. Вторая конечная
разность в точке х
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
x
(
f
)
x
x
(
f
y
1
2
1
2
1
1
2
2
2
.
Аналогично третья конечная разность
49
i
i
i
i
i
y
y
y
y
y
1
2
3
3
3
3
.
Общее выражение для конечной разности n-го порядка имеет вид
,
y
)
...(
y
C
)
(
...
y
C
y
C
y
y
i
n
m
i
n
m
n
m
i
n
n
i
n
n
i
n
i
n
1
1
2
2
1
1
а вообще, конечная разность порядка m от конечной разности порядка n
m
n
m n
y
y
(
)
.
Конечные разности n-го порядка от многочлена степени n - есть
величина постоянная, а конечные разности n+1-го порядка равны нулю.
Для вычисления значений функции в начале таблицы требуется
построить интерполяционный многочлен степени n такой, что выполнены
условия интерполяции
n
n
n
n
y
)
x
(
P
,...,
y
)
x
(
P
0
0
.
В силу единственности многочлена степени n, построенного по n+1
значениям функции f(x) многочлен
P x
n
( )
, в конечном счете, совпадает с
многочленом Лагранжа. Найдем этот многочлен в виде:
)
x
x
)...(
x
x
(
a
...
)
x
x
)(
x
x
(
a
)
x
x
(
a
a
)
x
(
P
n
n
n
1
0
1
0
2
0
1
0
,
где а
i
(i=0,1,…, n) – неизвестные коэффициенты. Для нахождения а
0
положим
x
x
0
. Тогда P x
a
( )
0
0
, отсюда а
0
=у
0
.
Для вычисления
a
1
рассмотрим первую конечную разность для
многочлена P
n
(x) в точке х.
.
)
x
x
)...(
x
x
(
a
...
)
x
x
(
a
a
)
h
x
x
...(
)
h
x
x
(
a
...
)
h
x
x
(
a
a
)
x
(
P
)
h
x
(
P
)
x
(
P
n
n
n
n
n
n
n
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
В результате преобразований получим
).
x
x
)...(
x
x
(
ha
n
...
)
x
x
(
ha
a
h
)
x
(
P
n
n
n
1
0
0
2
1
2
Вычислим первую конечную разность многочлена P
n
(x) в точке х
0
h
a
)
x
(
P
n
1
0
, но
,
y
y
y
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
P
n
0
0
1
0
1
0
откуда
h
y
a
0
1
.
50
Чтобы определить коэффициент а
2
, составим конечную разность
второго
порядка
).
x
(
P
)
h
x
(
P
)
x
(
P
n
n
n
2
Отсюда
после
преобразования получим
2
0
2
2
2 h
!
y
a
. Вычисляя конечные разности более
высоких порядков и полагая х=х
0
, придем к общей формуле для определения
коэффициентов:
i
i
i
h
!
i
y
a
0
(i=0,1,2,…,n).
Подставим значения
a
i
в многочлен, в результате получим первую
интерполяционную формулу Ньютона:
).
x
x
)...(
x
x
(
h
!
n
y
...
)
x
x
(
h
!
y
y
)
x
(
p
n
n
n
n
1
0
0
0
0
0
1
Первую интерполяционную формулу можно записать в том виде, в
котором ее удобнее использовать для интерполирования в начале таблицы.
Для этого введем переменную q=(x-x
0
)/h, где h-шаг интерполирования, а q-
число шагов. Тогда первая формула примет вид
.
y
!
n
)
n
q
)...(
q
(
q
...
y
!
)
q
(
q
y
q
y
)
x
(
P
n
n
0
0
2
0
0
1
1
2
1
5.2.2 Вторая интерполяционная формула Ньютона
Эта формула используется для интерполирования в конце таблицы.
Построим интерполяционный многочлен вида
).
x
x
)...(
x
x
(
a
...
)
x
x
)(
x
x
(
a
)
x
x
(
a
a
)
x
(
P
n
n
n
n
n
n
1
1
2
1
0
Неизвестные коэффициенты а
0
,а
1
,…,а
n
подберем так, чтобы были
выполнены равенства
n
n
n
n
n
y
)
x
(
P
,...,
y
)
x
(
P
,
y
)
x
(
P
1
1
0
0
. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы
i
n
n i
i
n i
P x
y
(
)
(i=0,1,…,n).
В случае, если положить
x
x
n
, то сразу определяется
коэффициент а
0
P x
y
a
n
n
( )
0
.
Из выражения для первой конечной разности найдем
a
1
: