Файл: Вычислит.матем_пособие.pdf

Добавлен: 06.02.2019

Просмотров: 4555

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

46 

.

0

)

(

...

1

...

...

...

...

...

...

1

...

1

,

0

2

1

2

1

1

0

2

0

0

n

i

j

j

i

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 
Без  вывода  приведем  одну  из  форм  записи  интерполяционного 

многочлена Лагранжа                                                                                          
 

.

)

x

x

)...(

x

x

(

)

x

x

)...(

x

x

(

y

...

...

)

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

(

)

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

(

y

)

x

x

)...(

x

x

(

)

x

x

)...(

x

x

(

y

)

x

(

L

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1

0

1

0

1

2

1

0

1

2

0

1

0

1

0

1

0

     (5.6)        

Определение.  Этот  многочлен  называется  интерполяционным 

многочленом Лагранжа и сокращенно записывается в виде 
 

 L

n

(x) = 

y

i

i o

n

.

)

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

(

)

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

(

n

i

i

i

i

i

i

i

n

i

i

1

1

1

0

1

1

1

0

           (5.7) 

 

 

5.1.1 Оценка погрешности интерполяционного  многочлена  

 
 

Оценить  погрешность  интерполяционной  формулы  Лагранжа  можно 

только  тогда,  когда  известно  аналитическое  выражение    интерполируемой 
функции,  а  точнее,  если  известно  максимальное  значение  (n+1)-ой 
производной функции f(x) на отрезке [a,b]. Пусть  
          

|R

n

(x)| =| f(x) - L

n

(x)|, 

 

где R

n

(x) –погрешность; 

 f(x)- точное значение функции в точке х; 
L

n

(x)- приближенное значение, полученное по полиному Лагранжа. 

 

Если обозначить через M

1

]

b

,

a

[

max

f

x

n

(

)

( )

1

, где  x [a,b], причем х

0

=а, 

х

n

= b, то   

]

b

,

a

[

max

R x

M

n

x x x x

x x

n

n

n

( )

(

)!

(

)(

)....(

)

1

0

1

1

 


background image

 

47 

Рассмотрим  теперь  случай  с  равноотстоящими  узлами.  Тогда 

интерполяционная  формула  Лагранжа  заметно  упрощается.  В  этом  случае 
шаг h=x

i+1

-x

i

=const. Введем в рассмотрение многочлен вида 

 

Q

i

(x)=

.

)

x

x

)...(

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

(

)

x

x

)...(

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

(

n

i

i

i

i

i

n

i

1

1

0

1

1

0

 

 

Введем обозначение q= 

x x

h

0

, отсюда следует, что  

x x

0

q h

 

x x

1

=  q h

h

h q

(

)

1 , 

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 

x x

i

 = 

),

i

q

(

h

h

i

h

q

 

n

x

x

).

n

q

(

h

h

n

h

q

 

 

Тогда многочлен Q

i

 примет вид 

  

 Q

i

(x)

.

]

h

)

i

n

(

)...[

h

(

h

...

h

)

i

(

h

i

h

)

n

q

)]...(

i

(

q

[

)]

i

(

q

[

)

q

(

q

y

n

i

1

1

1

1

 

      

Произведя простейшие преобразования, получим выражение вида: 

 

i

(q)=

)!

i

n

(

!

i

)

i

q

(

)

(

)

n

q

)...(

q

(

q

i

n

1

1

!

n

)

n

q

)...(

q

(

q

i

q

C

)

(

i

n

i

n

1

1

 

 

где 

.

)!

i

n

(

!

i

!

n

C

i

n

 

Тогда  интерполяционный  многочлен  Лагранжа  для  равноотстоящих 

узлов имеет вид:                    

n

 (x)= 

n

i

i

i

n

i

n

y

i

q

C

)

(

!

n

)

n

q

)...(

q

(

q

0

1

1

 

На практике часто пользуются линейной и квадратичной интерполяцией. 

В этом случае формула Лагранжа имеет вид  

 

L

1

(x)= 

)

x

x

(

)

x

x

(

y

)

x

x

(

)

x

x

(

y

0

1

0

1

1

0

0

0

 - при линейной интерполяции; 

 


background image

 

48 

L

2

(x)= 

)

x

x

)(

x

x

(

)

x

x

)(

x

x

(

y

)

x

x

)(

x

x

(

)

x

x

)(

x

x

(

y

)

x

x

)(

x

x

(

)

x

x

)(

x

x

(

y

1

2

0

2

1

0

2

2

1

0

1

2

0

1

2

0

1

0

2

1

0

при квадратичной интерполяции. 

 
 
5.2 Интерполяционные полиномы Ньютона 

 

5.2.1 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих 

узлов 
 

 
Вычисление  значений  функции  для  значений  аргумента,  лежащих  в 

начале  таблицы  удобно  проводить,  пользуясь  первой  интерполяционной 
формулой Ньютона. Для этого введем понятие конечной разности. 

Определение.  Конечной  разностью  перового  порядка  называется 

разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Тогда 
конечные разности в точках х

0

1

,…,х

n-1

 

 

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

y

y

y

0

0

1

0

1

0

 

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

y

y

y

1

1

2

1

2

1

 

.     .    .    .    .    .    . 

 

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

y

y

y

n

n

n

n

n

n

1

1

1

1

 

 

Конечная  разность  второго  порядка имеет вид: 

 

).

y

(

y

.

.

.

.

.

.

,

y

y

y

i

n

i

n

i

i

i

1

1

2

 

 

Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей. Вторая конечная 

разность в точке х

i

 

 

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

y

y

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

x

(

f

)

x

x

(

f

y

1

2

1

2

1

1

2

2

2

 
Аналогично третья конечная разность 
 


background image

 

49 

i

i

i

i

i

y

y

y

y

y

1

2

3

3

3

3

 
Общее выражение для конечной разности n-го порядка имеет вид 
 

,

y

)

...(

y

C

)

(

...

y

C

y

C

y

y

i

n

m

i

n

m

n

m

i

n

n

i

n

n

i

n

i

n

1

1

2

2

1

1

 

 
а вообще, конечная разность порядка m от конечной разности порядка n 
  

m

n

m n

y

y

(

)

 

Конечные  разности  n-го  порядка  от  многочлена  степени  n  -  есть 

величина постоянная, а конечные разности n+1-го порядка равны нулю.  

Для  вычисления  значений  функции  в  начале  таблицы  требуется 

построить    интерполяционный  многочлен  степени  n  такой,  что  выполнены 
условия интерполяции 
 

n

n

n

n

y

)

x

(

P

,...,

y

)

x

(

P

0

0

 

В  силу  единственности  многочлена  степени  n,  построенного  по  n+1 

значениям  функции  f(x)  многочлен 

P x

n

( )

,  в  конечном  счете,  совпадает  с 

многочленом Лагранжа. Найдем этот многочлен  в виде:  
 

)

x

x

)...(

x

x

(

a

...

)

x

x

)(

x

x

(

a

)

x

x

(

a

a

)

x

(

P

n

n

n

1

0

1

0

2

0

1

0

 
где а

i

(i=0,1,…, n) – неизвестные коэффициенты. Для нахождения а

0

 положим 

x

x

0

. Тогда  P x

a

( )

0

0

, отсюда а

0

0

 
         Для    вычисления 

a

1

  рассмотрим  первую  конечную  разность  для 

многочлена P

n

(x) в точке х.  

 

.

)

x

x

)...(

x

x

(

a

...

)

x

x

(

a

a

)

h

x

x

...(

)

h

x

x

(

a

...

)

h

x

x

(

a

a

)

x

(

P

)

h

x

(

P

)

x

(

P

n

n

n

n

n

n

n

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

 

               В результате преобразований получим  
 

).

x

x

)...(

x

x

(

ha

n

...

)

x

x

(

ha

a

h

)

x

(

P

n

n

n

1

0

0

2

1

2

 

Вычислим первую конечную разность многочлена P

n

(x) в точке х

0

 

h

a

)

x

(

P

n

1

0

, но 

,

y

y

y

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

P

n

0

0

1

0

1

0

откуда 

h

y

a

0

1


background image

 

50 

Чтобы  определить  коэффициент  а

2

,  составим  конечную  разность 

второго 

порядка 

).

x

(

P

)

h

x

(

P

)

x

(

P

n

n

n

2

 

Отсюда 

после 

преобразования  получим     

2

0

2

2

h

!

y

a

.  Вычисляя  конечные  разности  более 

высоких порядков и полагая х=х

0

, придем к общей формуле для определения 

коэффициентов:

i

i

i

h

!

i

y

a

0

 (i=0,1,2,…,n). 

Подставим  значения 

a

i

  в  многочлен,  в  результате  получим  первую 

интерполяционную формулу Ньютона: 

 

).

x

x

)...(

x

x

(

h

!

n

y

...

)

x

x

(

h

!

y

y

)

x

(

p

n

n

n

n

1

0

0

0

0

0

1

 

 

Первую  интерполяционную  формулу  можно  записать  в  том  виде,  в 

котором  ее  удобнее  использовать  для  интерполирования  в  начале  таблицы. 
Для  этого  введем  переменную  q=(x-x

0

)/h,  где  h-шаг  интерполирования,  а  q-

число шагов. Тогда первая формула примет вид 

 

.

y

!

n

)

n

q

)...(

q

(

q

...

y

!

)

q

(

q

y

q

y

)

x

(

P

n

n

0

0

2

0

0

1

1

2

1

 

 
 

5.2.2 Вторая интерполяционная формула Ньютона 

 

Эта  формула  используется  для  интерполирования  в  конце  таблицы. 

Построим интерполяционный многочлен вида 
 

).

x

x

)...(

x

x

(

a

...

)

x

x

)(

x

x

(

a

)

x

x

(

a

a

)

x

(

P

n

n

n

n

n

n

1

1

2

1

0

 

 

Неизвестные  коэффициенты  а

0

1

,…,а

n

  подберем  так,  чтобы  были 

выполнены  равенства 

n

n

n

n

n

y

)

x

(

P

,...,

y

)

x

(

P

,

y

)

x

(

P

1

1

0

0

.  Для  этого 

необходимо и достаточно, чтобы 

i

n

n i

i

n i

P x

y

(

)

(i=0,1,…,n). 

      В  случае,  если  положить 

x

x

n

,  то  сразу  определяется  

коэффициент а

 

P x

y

a

n

n

( )

0

Из выражения для первой конечной разности найдем

a

1