Сандық сипаттамаларын тап.

Шешуi :

М(X) = -10,2 + 00,4 + 10,2 + 20,2 = 0,4

Дисперсияны /2.1.8/ формуласын қолданып табамыз. Ол үшiн әуелi

X2	1	0	1	4
Р	0,2	0,4	0,2	0,2

жазамыз. Сонда

Мұнда М₀=0. Себебi кездейсоқ шаманың х=0 мәнi ең үлкен ықтималдықпен қабылданады. Ендi M_D табу үшiн n = 4 екенiн ескерiп

аламыз.

Сондай-ақ, жоғарыда келтiрiлген (2.1.9) - (2.1.11) формулаларын пайдаланып



табамыз. Мұнда А_s > 0 олай болса үлестірім көпбұрышы оң жаққа ”созыңқы” , ал < 0 сондықтан бұл график Гаусс қисығына қарағанда ”жатыңқы”.

Егер бiрдей үлестiрiммен анықталған n өзара тәуелсiз кездейсоқ шамалар X₁ , X₂ , ..., X _n берiлсе және



болса, онда бұл кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасы да кездейсоқ шама болады, яғни

.

Бұл арифметикалық орташаның математикалық үмiтiн табалық

яғни

Ендi дисперсиясын табалық



яғни (2.1.13)
Сонымен (2.1.13) формуладан бiрнеше өзара тәуелсiз кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасының дисперсиясы берiлген кездейсоқ шамалардың дисперсиясынан едәуiр кем екендiгi көрiнедi. Сондықтан өмiрде керектi параметрдi анықтау кезiнде жүргiзiлген қайталанбалы өлшеулерде дисперсияның осы қасиетiн пайдаланады. Сөйтiп iздеп отырған параметрдiң мәнi ретiнде қайталанған өлшеулер кезiнде алынған мәндердiң арифметикалық орташа мәнiн алады.

---

4-мысал. Теңге үш рет лақтырылсын. Кездейсоқ шама Х ретiнде елтаңбаның пайда болу санын қарастырамыз.

1. Үлестiрiм қатарын жазу керек.

2. Үлестiрiм көпбұрышын салу керек.

3. M(x) , D(x) , (х)-тарды табу керек.

Шешуi : Бұл кездейсоқ шама Х - тiң мүмкiн мәндерi 0, 1, 2, 3. Себебi теңгенi үш рет лақтырғанда елтаңба не пайда болмауы мүмкiн, не бiр рет пайда болуы мүмкiн т.с.с. Ал әрбiр лақтырғанда елтаңбаның пайда болу ықтималдығы 0,5 - ке тең. Олай дейтiнiмiз теңге лақтырғанда негiзiнен не елтаңба, не цифр пайда болады, ал теңгенiң симметриялығын ескерсек бұл екеуiнiң пайда болу ықтималдығы тең. Сондықтан бұл кездейсоқ шама Х- тi биномдық үлестiрiм заңымен сипаттауға болады.

Үлестiрiм қатарын жазайық:

Х	0	1	2	3
Р

Немесе

Х	0	1	2	3
Р	1/8	3/8	3/8	1/8

Бұл жерде орындалады.

2. 
   Үлестiрiм көпбұрышын салайық
   

3. Математикалық үмiттi (2.1.6) формуламен есептеймiз :



Ал дисперсияны әдетте жеңiлдетiлген (2.1.8) формуламен есептейдi. Ол үшiн х² кездейсоқ шаманың үлестiрiм қатарын жазып алу керек.

Х2	0	1	4	9
р	1/8	3/8	3/8	1/8

---

Сонда



Сондай-ақ бұл мысалдағы кездейсоқ шаманың биномдық үлестiрiммен берiлгенiн ескерсек, онда сандық сипаттамаларды (2.1.12) формулаларын пайдаланып та есептеуге болады :



5-мысал. Берiлген партияның 10 процентi сапасыз бұйымдар. Кез-келген 4 бұйым алынды. Осы төрт бұйымдардың iшiнде сапасыз бұйымдардың пайда болу санының үлестiрiм заңын жазу керек. Сандық сипаттамаларын есептеу керек.

Шешуi : Х- сапасыз бұйымдардың пайда болуының саны. Әрбiр сапасыз бұйымның пайда болу ықтималдығы 0,1-ге тең, себебi берiлген партияның 10 процентi сапасыз бұйымдар. Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестiрiм заңымен берiлген. Мұнда

n =4, p = 0,1 , q = 0,9.

Сонда

Х	0	1	2		3
Р

немесе

Х	0	1	2	3	4
Р	0,6581	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Ендi сандық сипаттамаларын табайық

М(X) = 40,1=0,4 , D(X) = 40,10,9= 0,36 , (X) = 0,6.

6-мысал. Дискреттiк кездейсоқ шама үлестiрiм қатарымен берiлген

X	2	4	5	6	8
р	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

---

M(X) , D(X) , (X) - тарды табу керек.

Шешуi : Мұнда М(х)=5,5.

Ендi D(X)-тi есептеу үшiн мына X² шаманың үлестiрiм кестесiн құрамыз

X2	4	16	25	36	64
Р	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Сонда M(X²) =33,9 D(X) =3,65 = 1,91 аламыз.

7-мысал. Урнада 5 ақ және 50 қара шарлар бар. Урнадан кез-келген шар алынып түсi анықталғаннан кейiн урнаға қайтарылады. Кездейсоқ шама Х- тәуелсiз 10 сынақта ақ шар пайда болуының саны. Осы кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңын жазыңыз.

Шешуi: Бұл мысалда сынақ кезiнде ақ шар пайда болу ықтималдығы

p=5/55=1/11 сынақ саны n=10. Олай болса қарастырып отырған кездейсоқ шаманы биномдық заңмен берсек, онда үлкен арифметикалық есептеулерге кезiгемiз. Сондықтан бұл кездейсоқ шаманы Пуассон үлестiрiм заңымен беруге болады. Сөйтiп, кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерi 0, 1, 2, ... 10.

Ал кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiнiң сәйкес ықтималдықтары

, к= 0, 1, 2, ... , 10.

Жеке жағдайда к=3 болса, биномдық үлестiрiм бойынша



Пуассондық үлестiрiм бойынша



8-мысал. Екi атқыш әрқайсысы өз нысанасына бiр-бiрден атыс жүргiздi. Бiрiншi атқыш үшiн нысанаға тигiзудiң ықтималдығы Р₁ , ал екiншi атқыш үшiн - Р₂. Кездейсоқ шамалар _- бiрiншi атқыштың нысанаға тигiзу саны , - екiншi атқыштың нысанаға тигiзу саны, ал

---

- - екi кездейсоқ шамалардың айырымы. Оның сандық сипаттамаларын : M(z), D(z) - тарды табамыз.

Шешуi : Әуелi кездейсоқ шамалардың үлестiрiм кестелерiн жазамыз :

x1	0	1		x2	0	1
р	Q1	p1		p	q2	p2

Осыдан



9-мысал. Екi тәуелсiз кездейсоқ шамалар Х және У үлестiрiм кестелермен берiлген

x	0	3	4		y	2	3
р	0,2	0,6	0,2		p	0,3	0,7

х+у , ху - кездейсоқ шамалардың математикалық үмiттерi мен дисперсияларын тап.

Шешуi: Кестелерден әуелi

M(x) = 2,6 , M(y) = 2,7 , D(x) = 1,84 , D(y) = 0,21 табамыз. Сосын х және y тәуелсiз кездейсоқ шамалар екендiгiн пайдаланып

M(x+y) = 2,6+2,7 = 5,3 D(x+y) = 1,84+0,21 = 2,05

M(xy) = 2,62,7 = 7,02 табамыз.

10-мысал. ”Спортлото” ойынын ойнағанда белгiлi бiр ұтысқа шығатын спорттың түрлерiн дәл табудың ықтималдығын тап.

Шешуi : Мұндағы х - ұтысқа шыққан спорттың түрлерiнiң саны. Бұл кездейсоқ шама гипергеометриялық үлестiрiм заңымен берiлген. Мұнда N = 49 , m = 6 , n = 6 , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ойынның шарты бойынша ұтыс үш спорттың түрiн дәл тапқаннан бастап төленедi. Сондықтан бiз к = 3, 4, 5, 6 жағдайларын қарастырып, сәйкес ықтималдықтарды табалық :


Сол сияқты к = 5 және к = 6 болғанда сәйкес ықтималдықтар

p 1,84 10^-5

және

р = 7,15  10^-8
11-мысал. Айталық 12 бұйымның 8-i бiрiншi сортқа жатады. Кез келген 5 бұйым алынды. Сонда осы 5 бұйымның iшiнде бiрiншi сортты бұйымдардың болуының үлестiрiм кестесiн құрыңыз.

---

Смотрите также файлы

• Программа среднего профессионального образования 40. 02. 01 Право и организация социального обеспечения Дисциплина Физическая культура (2 семестр) Практическое задание 7.doc

• Родной язык Вопросы к промежуточной аттестации.docx

• Все чаще в современном обществе на различных уровнях затрагивается проблема ухудшения состояния здоровья нации.docx

• Влияние вредных привычек на организм человека.odt

• Существуют философские, социологические и психологические представления о проблеме ценностеи и ценностных ориентации.docx