яғни
Сонда кестеден



немесе , осыдан n=588.

4. Ең ықтималды m_o санын (1.4.2) теңсiздiгiнен анықтаймыз, яғни

1000,75-0,25 m_o 1000,75+0,75

немесе 74,75 m_o 75,75.

Осыдан m_o=75.

4-мысал. Тұқымға арналған бидайдың дәндерiнiң iшiнде 0,004% арамшөп дәндерi кездеседi. Кез келген 50000 дәндердiң iшiнде арамшөптiң 5 дәндерi кездесетiндiгiнiң ықтималдығы қандай?

Шешуi: Бұл есептi шығару үшiн Муавр-Лапластың локальдiқ формуласын пайдалануға болар едi. Алайда есептiң шарты бойынша p=0,00004, яғни ықтималдықтың мәнi өте аз. Бұл жағдайда Муавр-Лапластың формуласын теореманың шарты бойынша пайдалануға болмайды. Сондықтан Пуассон (1.4.11) формуласын пайдаланамыз.
Есептiң шарты бойынша

=np=500000,00004=2

Сонда (1.4.11) формуласын қолданып



Ескерту: (1.4.11) формуланы пайдаланғанда 10 болу керектiгiн ескеру қажет.

5-мысал. Ойнау шеберлiгi тең екi шахматшы ойын көрсетуде. Үш ойында ең болмағанда бiр ұтыс болуының ықтималдығын табу керек?

Шешуi: Бұл жерде (1.4.7) формуланы қолданамыз. Сонда p=0,5 ескерсек .
6-мысал. Урнада 5 ақ және 50 қара шарлар бар. Урнадан кез-келген шар алынып оның түсiн анықтағаннан кейiн ол қайтадан урнаға салынды. Сөйтiп осы сынақ 10 рет қайталанды. Осы сынақтарда 3 рет ақ шар пайда болуының ықтималдығын анықтау керек.

Шешуi: Бернулли формуласын пайдалануға болады, себебi n=10 онша үлкен сан емес. Бұл жерде алынған шар урнаға қайтарылып тұрғандықтан әрбiр сынақта ақ шардың пайда болу ықтималдығы тұрақты және p=5/55=1/11:
Сондықтан

Сондай-ақ жуықтап есептеу Пуассон формуласын пайдалансақ.

=np=10/11 =0,9



Бернулли схемасы жалпы жағдайда Полиномдық схеманың жеке түрi болып табылады. Полиномдық схема бойынша тiзбектес тәуелсiз сынақтардың әр сынағында өзара үйлесiмсiз A

---

₁, A₂,... A_к оқиғалардың бiрi A_i сәйкес р_i= P(A_i) ықтималдықпен пайда болады.

Mұнда 0 p_i 1 және .

Айталық n тәуелсiз сынақ жүргiзiлсiн. Сонда осы n сынақтарда A₁ оқиғасының m₁ рет, A₂ оқиғасының m₂ рет, A₃ оқиғасының m₃ рет, ..., A_к оқиғасының m_к рет пайда болуының ықтималдығы мына полиномдық формуламен анықталады:
(1.4.12)

мұнда
7-мысал. Жұмысшы 0,9 ықтималдығымен сапалы бұйым, 0,09 ықтималдығымен жөндеуге келетiн ақауы бар, ал 0,01 ықтималдығымен жөндеуге келмейтiн ақауы бар бұйымдар шығарады. Жұмысшы үш бұйым шығарады. Осы үш бұйымның iшiнде ең болмағанда бiр сапалы бұйым және ең болмағанда ақауы жөндеуге келетiн бiр бұйым бар болатындығын тап.

Шешуi: Барлығы үш бұйым шығарылғын. Белгiлеу енгiзелiк. А - сапалы бұйым, В - ақауы жөндеуге келетiн бұйым, С - ақауы жөндеуге келмейтiн бұйым. Сонда бiзге мына оқиғалардың пайда болғаны керек:

А₁=АВС,

А₂=ААВ,

А₃=АВВ
Бұл А₁, А₂, А₃ оқиғалары үйлесiмсiз. Есептiң шартынан байқағанымыздай, бұл оқиғалар әртүрлi ықтималдықтармен пайда болады. Сондықтан есептiң шарттары полиномдық формуланы пайдалануға болатынын көрсетедi. Сонда:






ЕСЕПТЕР
62. Тәуелсiз n сынақта оқиға тұрақты ықтималдықпен пайда болады.

1. 
   n=1500 болғанда салыстырмалы жиiлiктiң p=0,4 ықтималдықтан ауытқуының абсолют шамасы 0,02-ден кем болатындығының ықтималдығын табу керек.
   

2. 
   n=1500 және p=0,4 болғанда оқиғаның пайда болуының саны мына аралықтарда жататындығының ықтималдығын табу керек.
   

а) 570 - тен 630- ға дейiн

б) 600 - ден 660-қа дейiн

с) 620 - дан 680-ге дейiн

г) 580 - нен 640 -қа дейiн

3. 
   n=1200, p=2/3 болғанда салыстырмалы жиiлiктiң ықтималдықтан (p=2/3) ауыткуының абсолют шамасының ықтималдығы 0,985-ке тең болуы үшiн салыстырмалы жиiлiк қандай аралықта жатуы керек?
   

---

4. 
   Салыстырмалы жиiлiктiң ықтималдықтан (p=3/8) ауыткуының абсолют шамасының 0,01 -ден кем болуының ықтималдығы 0,995 -ке тең болуы үшiн қанша тәуелсiз сынақтар жасау керек?
   

63. Автоматты станокта стандартты деталь дайындау ықтималдығы 0,9-ға тең. Алынған 5 детальдiң үшеуi стандартты болуының ықтималдығын табу керек.

64. Әрбiр 16 тәуелсiз сынақта оқиға тұрақты 0,7 ықтималдықпен пайда болады. Ең ықтимал санды табу керек.

65. Әрбiр атыста нысанаға тигiзу ықтималдығы 0,7- ге тең. 300 атыста нысанаға 240 рет тигiзудiң ықтималдығы қандай?

66. Сапасыз деталь жасаудың ықтималдығы 0,02-ге тең. 400 деталь жасап шығарғанда оның iшiнде 7-ден 10-ға дейiн сапасыз деталь болуының ықтималдығын табу керек.

67. Телефон станциясында әрбiр тапсырыс қабылдағанда қате жiберу ықтималдығы 0,009-ға тең. Станция 1000 тапсырыс қабылдады. Сонда 9 тапсырыс қате қабылдауының ықтималдығы қандай?

68. Зауыт дайындайтын бұйымдардың 60% -тi бiрiншi сортпен шығарылады. Қабылдаушы кез-келген 200 бұйымды қабылдап алды. Осы 200 бұйымның iшiнде 120 - дан 150 - ге дейiн бiрiншi сортты бұйымдар болатындығының ықтималдығы қандай?

69. Урнаға бiрдей бiр қара, бiр қызыл және бiр ақ шарлар салынған. Урнадан бiр шар алынып, сосын қайта урнаға салынып, тәжiрибе бес рет қайталанды. Сонда қара шарлар мен ақ шарлар кем дегенде екi рет алынғандығының ықтималдығын тап.

Нұсқау: (1.4.12) формуланы қолдану керек.

70. Нысана iшкi бiр дөңгелек және екi концентрлiк сақинадан тұрады. Осы нысанаға 10 оқ атылды. Әрбiр атыста аталған облыстарға тию ықтималдықтары сәйкес 1/15, 1/2 және 1/7 тең. 10 атыста iшкi дөңгелекке үш оқ, бiрiншi сақинаға 6 оқ және екiншi сақинаға 1 оқ тиетiндiгiнiң ықтималдығын тап. Нұсқау: (1.4.12) формуланы қолдану керек.
71. Лотереяда бiр билетке ұтыс шығуының ықтималдығы 0,3-ке тең болғанда, алынған 10 билеттiң iшiнде ұтыс шығуының ең ықтимал саны қандай?

72. Тәуелсiз сынақтарда оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,5-ке тең. 196 сынақта оқиғаның 100 рет пайда болуының ықтималдығы қандай?

73. Теңгенi 5 рет лақтырғанда елтаңбаның кем дегенде 2 рет пайда болуының ықтималдығы қандай?

74. Белгiлi бiр оқиғаның 300 тәуелсiз сынақтарда пайда болу ықтималдығы 0,6-ға тең. Оқиғаның пайда болуы 250 реттен аспайтындығының ықтималдығын табу керек.

75. Егер әрбiр ағаштың өсiп шығуының ықтималдығы 0,8 - ге тең екендiгi белгiлi болса, онда отырғызылған 400 ағаштан 104 ағаштың өсiп шықпайтындығының ықтималдығы қандай болады?

76. Урнада 100 ақ 80 қара шарлар бар. Урнадан кез-келген шар алынып түсiн анықтағасын қайтарылады. Ақ шар шығуының ең ықтимал саны 11-ге тең болу үшiн қанша сынақ жүргiзу керек?

---

77.Фабрика жасап шығарған бұйымдардың 25%-i сапасыз болатындығы белгiлi едi. Тексеруге кез-келген 8 бұйым алынды.

Осы сегiз бұйымның алтауының сапасыз болуының ықтималдығы қандай?

78. Белгiлi бiр оқиға 25 тәуелсiз сынақта 0,7 ықтималдықпен пайда болады. Оқиғаның пайда болуының ықтимал санын табу керек.

79. Гаражда 5 машина бар. Кез-келген бiр сәтте машиналардың жұмыс iстеу ықтималдығы 0,8-ге тең. Қалаған бiр сәтте үш машинаның жұмыс iстеуiнiң ықтималдығы қандай?

80.Егер алынған кез-келген детальдiң жарамсыз болуының ықтималдығы 0,1-ге тең екендiгi белгiлi болса, онда жарамды

детальдардың пайда болуының ең ықтимал саны 50-ге тең болуы үшiн қанша деталь алу керек?

81. Оқиғаның 144 тәуелсiз сынақтарда пайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең. Осы сынақтарда оқиғаның 120 рет пайда болуының ықтималдығы қандай?

82. Семьядағы 7 баланың төртеуi ұл және үшеуi қыз екендiгiнiң ықтималдығы қандай?

83.Цехтағы 6 мотордың әрқайсысының белгiлi бiр сәтте iстеп тұрғандығының ықтималдығы 0,8-ге тең. Белгiлi бiр сәтте 4 мотордың iстеп тұруының ықтималдығын табу керек.

II ТАРАУ
КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАР
Сынақтар жүргiзгенде нәтижесiнде оқиға пайда болатыны белгiлi. Оқиға сынақтың сапалық сипаттамасы болып табылады. Мысалы, күмiс теңге лақтыру сынағының нәтижесiнде не елтаңба, не сан шығады.

Сонымен бiрге сынақтың кездейсоқ нәтижесiн сан арқылы да сипаттауға болады. Сынақтың сандық сипаттамасы ретінде осы сынақта оқиғаның пайда болу санын қарастыруға болады. Алдыңғы қарастырылған сынақтың сандық сипаттамасы ретiнде күміс теңге лақтырғанда не елтаңбаның, не санның пайда болу санын алуға болады.

1-мысал. Айталық екi күмiс теңге бiрмезгiлде лақтырылсын. Бұл сынақта 4 элементарлық оқиғалар бар:

Ендi осы сынақта елтаңбаның пайда болу санын анықталық. Елтаңба пайда болуы үшiн элементарлық оқиғалардың бiреуi пайда болуы керек. Егер Х арқылы елтаңбаның пайда болу санын белгiлесек, онда Х-тiң мәндерi 0, 1 және 2, яғни не елтаңба пайда болмайды ( оқиғасы пайда болғаны), не 1 рет пайда болады ( ), не 2 рет пайда болады ( ). Сонымен Х айнымалы шама, ол өзiнiң мәндерiн сынақ нәтижесiне байланысты қабылдайды.

---

Математикалық анализ курсында сандық функциялар қарастырылатыны белгiлi. Сандық функциялардың анықталу облысы да, мәндерiнiң облысы да нақты сандар жиынында жатады. Ал жоғарыда қарастырылған мысалдардағы Х айнымалы шамасы да сандық функция болып табылады. Себебi оның мәндерi нақты сандар жиынында жатады. Бiрақ та бұл айнымалы шаманың анықталу облысы қарастырып отырған сынақтағы элементарлық оқиғалар жиыны болып табылады. Сонымен бiз сандық функциялардың жаңа түрiмен таныстық, бұл функциялардың мәндерi элементарлық оқиғалардан тәуелдi.

Қарастырып отырған сынақтағы элементарлық оқиғалар жиынын элементарлық оқиғалар кеңiстiгi деп атайды және арқылы белгiленедi.
Айталық элементарлық оқиғалар кеңiстiгi берiлсiн. Егер осы кеңiстiкте анықталған Х() функциясы сандық мәндер қабылдап, кез-келген x үшiн мына ықтималдық
P(Xанықталған болса, онда X{} функциясын кездейсоқ шама деп атайды.

Кездейсоқ шамалар мен кездейсоқ оқиғаларды бiр-бiрiнен ажырата бiлген жөн. Анықтамадан байқап отырғанымыздай кездейсоқ шама мiндеттi түрде пайда болады, тек оның қандай мәндi қабылдайтыны алдын-ала белгiсiз. Ал кездейсоқ оқиғаның пайда болуының өзi кездейсоқ жай.

Мысалы, теңге лақтыру тәжiрибесiн қарастырайық. Осы тәжiрибеде кездейсоқ оқиға деп елтаңбаның немесе цифрдiң пайда болуын айтамыз, ал кездейсоқ шама ретiнде тәжiрибе нәтижесiнде елтаңбаның немесе цифрдің пайда болу санын қарастыруға болады. Бұл кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерi 0, 1, 2 ...,n, яғни тәжiрибе нәтижесiнде елтаңба немесе цифр мүлде пайда болмауы мүмкiн, немесе 1 рет, 2 рет, ..., n рет пайда болуы мүмкiн. Кездейсоқ шамалар дискреттiк және үзiлiссiз болып бөлiнедi.

Кездейсоқ шамалардың кейбiр мысалдарын келтiрелiк:

1.Тәуелсiз n сынақтарда тұрақты ықтималдықпен А оқиғасының пайда болу саны;

2.Бiр цех өнiмдерiнiң iшiндегi сапасыз бұйымдар саны;

4.Снарядтың ұшу алыстығы;

5.Телефон станциясына белгiлi бiр уақыт мерзiмiнде келiп түскен тапсырыстар саны, т.б.

Осы мысалдардан көрiп отырғанымыздай кездейсоқ шама тәжiрибенiң кездейсоқ нәтижесiн сандық тұрғыдан сипаттайтынын байқаймыз.

---

Смотрите также файлы

• Программа среднего профессионального образования 40. 02. 01 Право и организация социального обеспечения Дисциплина Физическая культура (2 семестр) Практическое задание 7.doc

• Родной язык Вопросы к промежуточной аттестации.docx

• Все чаще в современном обществе на различных уровнях затрагивается проблема ухудшения состояния здоровья нации.docx

• Влияние вредных привычек на организм человека.odt

• Существуют философские, социологические и психологические представления о проблеме ценностеи и ценностных ориентации.docx