Файл: Ытималдытар теориясы жне математикалы статистика i тарау. Кездейсо оиалар негізгі тсініктер. Оиаларды трлері.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.12.2023
Просмотров: 780
Скачиваний: 9
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
болады. 2 - үлестiрiмнiң кестесi барлық оқулықтарда келтiрiлген.
2. Стьюдент үлестiрiмi (t - үлестiрiм).
Айталық параметрлерi 0 және болатын тәуелсiз қалыпты үлестiрiммен берiлген xi (i=
) кездейсоқ шамалар болсын. Сонда Стьюдент үлестiрiмi мына түрде анықталады. 
Мұнда - еркiндiк дәрежелер саны.
Егер қалыпты үлестiрiмнiң параметрлерi а және болса, онда xi-a кездейсоқ шамалары да тәуелсiз болады да, олардың параметрлерi сәйкес 0 және болады. Сонда Стьюдент үлестiрiмi төмендегiдей берiледi:
Ал a=0, =1 болса, онда Стьюдент үлестiрiмi
болады, мұндағы
жоғарыда қарастырылған 
үлестiрiмi.3. Фишер үлестiрiмi /F - үлестiрiмi/
Айталық параметрлерi (0,) болатын тәуелсiз қалыпты үлестiрiммен берiлген кездейсоқ шамалар қарастырылсын:
Сонда мына функция арқылы берiлген кездейсоқ шаманы Фишер үлестiрiмi арқылы берiлген деп атайды:
Егер xi - кездейсоқ шамалардың параметрлерi (a,) болса, онда
Фишер үлестiрiмi төмендегiдей анықталады:
Ал егер а=0, =1 болса, онда Фишер үлестiрiмi былай жазылады:
Мұндағы
және 
кездейсоқ шамалары 
- үлестiрiммен берiлген.
ЕСЕПТЕР
175. Жоғарыда қарастырылған үшiншi мысалдың мазмұнына сәйкес Z=2(Х+У)+1 және Z=2У2-1 кездейсоқ шамалардың үлестiрiм кестелерiн жаз.
176. Тиын үш рет лақтырылған. Х - елтаңба пайда болу саны. У - цифрдiң пайда болу саны. Х+У кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңдарын жаз.
177. Х кездейсоқ шама үлестiрiм кестесiмен берiлген
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| q | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
y=sin
функциясының үлестiрiм заңын жазыңыз.178. (Х,У) жүйесі үлестiрiм кестесiмен берiлген
| У Х | -2 | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 0,01 | 0,02 | 0,05 | 0,03 |
| 0 | 0,03 | 0,24 | 0,15 | 0,06 |
| 1 | 0,06 | 0,09 | 0,16 | 0,10 |
Z=X+У, Z=XУ
кездейсоқ шамалардың үлестiрiм кестелерiн жазыңыз.
§5. ҮЛКЕН САНДАР ЗАҢЫ
Ықтималдықтар теориясы жаппай құбылыстарға тән заңдылықтарды зерттейтіні белгілі. Сынақтар саны өскен сайын кездейсоқ оқиғалар мен кездейсоқ шамалардың бақыланып отырған кейбір сипаттамалары кездейсоқтық қасиетін жоғалтып белгілі бір заңдылыққа бағына бастайды. Мысалы, мейлінше көп сынақ жүргізілсе салыстырмалы жиілік тұрақты бір мәнге ұмтылады, сондай-ақ, кездейсоқ шаманың орташа мәні де осы сипатқа ие болады. Қосылғыштардың саны мейлінше көп болса, онда қосынды кездейсоқ шаманы белгілі бір үлестірім заңымен анықтауға болатындығы дәләлденген. Жаппай құбылыстарға тән заңдылықтарды зерттеу ,болашақ сынақтардың нәтижелерін ғылыми тұрғыдан болжауға мүмкіндік береді.
Сонымен , статистикалық заңдылықтар сынақтар көп қайталанып жүргізілгенде ғана байқалады немесе математикалық тұрғыда сынақтар саны ақырсыз өскенде шектік қасиеттер түрінде анықталады.
Төменде үлкен сандар заңы деп аталатын теоремалар қарастырылады.Үлкен сандар заңында белгілі бір шарттар орындалғанда орташа сипаттамалар тұрақты санға ұмтылатындығы дәлелденеді.
Үлкен сандар заңының теоремаларының бірін алғаш рет швейцария математигі (1654-1705) Яков Бернулли дәлелдеген. Француз математигі Симеон Дени Пуассон (1781-1840) осы теореманы жалпылап , тәуелсіз сынақтарда оқиғаның ықтималдығы өзгеріп отыратын жағдайын қарастырған. Үлкен сандар деген терминді осы Пуассон енгізген. Орыс математигі П.Л. Чебышев (1821-1894) үлкен сандар заңы орташа шамалар үшін орындалатынын көрсетті.
Үлкен сандар заңын Чебышев теңсіздігін қарастырып бастаймыз.
Чебышев теңсіздігі
Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары белгілі болса, олар кездейсоқ шамалар туралы белгілі дәрежеде мәліметтер беретінін білеміз. Енді осы сандық сипаттамалардың көмегімен кездейсоқ шаманың үлестірім заңын қалай бағалауға болатынын көрсетелік
Чебышев теңсіздігі. Егер Х кездейсоқ шамасының ақырлы математикалық үміті және дисперсиясы бар болса, онда кез келген
саны үшін мына теңсіздік орындалады:
(2.5.1)
(2.5.2) Бұл теңсiздiктер кездейсоқ шаманың өзiнiң математикалық үмiтiнен ауытқуын бағалайды.
1-мысал. Дискреттi кездейсоқ шама үлестiрiм заңымен берiлген
| Х | -1 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| Р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,05 | 0,05 |
1. Мына теңсiздiктiң |Х-M(x)|<5 орындалуының ықтималдығын табыңыз.
2. Чебышев теңсiздiгiн пайдаланып |Х-M(x)|<5 теңсiздiгiнiң орындалуының ықтималдығын бағалаңыз.
Шешуi: Әуелi математикалық үмiт, дисперсиясын табалық.
Ендi дисперсия табу үшiн Х2 - тың үлестiрiм заңын жазамыз:
| Х2 | 1 | 0 | 4 | 16 | 36 |
| Р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,05 | 0,05 |
Сонда
1. Ендi |Х-0,9|<5 теңсiздiгiнiң орындалу ықтималдығын табу үшiн осы теңсiздiктi қанағатандыратын Х-тiң мәндерiн анықтау қажет. Берiлген үлестiрiм кестесiмен бұл теңсiздiктi кездейсоқ шаманың x=-1, x=0, x=2, x=4 мәндерi қанағаттандыратынына көз жеткiзуге болады. Олай болса
0,2+0,4+0,3+0,05=0,95
Сонымен
2. Чебышев теңсiздiгiн пайдаланып |Х-0,9|<5 теңсiздiгiнiң орындалуын бағалайық:
яғни
.Сөйтiп Чебышев теңсiздiгiн пайдаланып |Х-M(x)|
5 теңсiздiгiнiң орындалуының ықтималдығын төменнен бағаладық, яғни |Х-0,9| 5 теңсiздiгi кем дегенде 0,8725 ықтималдықпен орындалады. Бұл тұжырымның құндылығы есептер шығарған кезде |Х-M(x)| < (>0) теңсiздiгiнiң орындалуының дәл ықтималдығын табу мүмкiн болмаған жағдайларда оның ықтималдығын төменнен бағалауға мүмкiндiк бередi.2-мысал. Жарық берушi торға 20 электрошам параллель жалғанған. Т уақыт iшiнде әрбiр шамның қосылып жарық беру ықтималдығы 0,8. Чебышев теңсiздiгiн пайдаланып Т уақытында жарық берушi барлық электрошамдармен, жарық берiп тұрған шамдардың арифметикалық орташа мәндерiнiң (математикалық үмiтi) айырмасының абсолюттiк шамасының ықтималдығын бағалаңыз. Егер айтылған айырма: 1) төрт шамнан кем болса; 2) төрттен кем болмаса.
Шешуi: Белгiлi бiр Т уақытында қосылып жарық берiп тұрған электрошамдардың саны кездейсоқ шама. Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестiрiм заңымен берiлген. Есептiң шарты бойынша n=20, p=0,8, q=0,2.
Сондықтан
M(x) = 200,8 = 16, D(x) = 160,2 = 3,2
Ендi Чебышев теңсiздiгiн пайдаланамыз
Сонымен
3-мысал. Зауыт өнiмдерiнiң 75 процентiн жоғарғы сортпен шығарады. Шығарылған 100000 бұйымдардың iшiнде жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдардың саны осы жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдардың математикалық үмiтiнен айырмасының абсолют шамасы 1000 данадан артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.