Файл: 38. 03. 01 Экономика, 38. 03. 02 Менеджмент.pdf

81
общая дисперсия доли находится по формуле:
0
(1
),
p
D
p
p
=
−
где — средняя доля единиц, обладающих данным признаком в совокупности.
Межгрупповая дисперсия доли и средняя из внутригрупповых
дисперсий доли могут определяться по-разному, в зависимости от имеющихся данных.
если группы одинаковые по объему, используются следующие формулы для расчета:
•
межгрупповая дисперсия доли:
2 2
(
)
;
i
p
p p
n
−
δ =
∑
•
средняя из внутригрупповых дисперсий доли:
2
;
i
i
p
p
D
n
σ =
∑
где — внутригрупповая дисперсия доли, рассчитываемая по формуле:
(1
).
i
p
i
i
D
p
p
= ⋅ −
если в совокупности, разделенной на группы по значению альтернативного признака, количество единиц в каждой из них не совпадает, то формулы для расчета следующие:
•
межгрупповая дисперсия доли:
2 2
(
)
;
i
i
p
i
p p f
f
−
δ =
∑
∑
•
средняя из внутригрупповых дисперсий доли:
2
,
i
i
p
i
p
i
D f
f
⋅
σ =
∑
∑
где f
i
— это количество единиц в i-й группе.

82
Показатели формы распределения
показатели формы распределенияпозволяют определить вид кривой эмпирического распределения и оценить схожесть данного распределения с теоретическим распределением. для определения вида кривой эмпирического распределения рассчитывают: поряд- ковые статистики (см. гл. 4); показатели дифференциации; показа- тели асимметрии и оценки эксцесса распределения.
Показатели дифференциации позволяют оценить уровень раз- личий в совокупности. к ним относят децильный коэффициент дифференциации и коэффициент фондовой дифференциации.
Децильный коэффициент дифференциации показывает, во сколько раз минимальное значение признака у последних 10 % еди- ниц совокупности больше, чем максимальное значение признака у первых 10 % единиц совокупности. рассчитывается по формуле:
9 1
d
d
K
d
=
Коэффициент фондовой дифференциации показывает, во сколько раз среднее значение признака у последних 10 % единиц совокупности больше, чем среднее значение признака у первых
10 % единиц совокупности. рассчитывается по формуле:
коэффициент фондовой дифференциации всегда больше децильного коэффициента дифференциации.
Важно! Прежде чем рассчитывать средние значения при- знака у первых и последних 10 % единиц совокупности, необхо- димо для начала найти первый и девятый децили.
Показатели асимметрии характеризуют скошенность эмпи- рического ряда распределения относительно нормального распре- деления.

83
асимметрию в рядах распределения можно оценить с помо- щью показателя асимметрии. его рассчитывают, используя одну из трех формул:
•
английский статистик к. пирсон предложил рассчитывать показатель асимметрии на основе разности между средней арифметической величиной и модой:
s
x Mo
a
−
=
σ
•
коэффициент асимметрии по линдбергу (шведский мате матик):
a
s
= п − 50,
где п — процент тех значений вариант, которые превы- шают величину средней арифметической; 50 — процент тех значений вариант, которые превышают величину средней арифметической в нормальном ряду распределения.
•
показатель асимметрии, определяемый через центральный момент третьего порядка:
3 3
,
s
a
μ
=
σ
где μ
3
— центральный момент третьего порядка, рассчиты- вается по формуле:
3 3
(
)
i
i
i
x x
f
f
−
⋅
μ =
∑
∑
в симметричном распределении сумма положительных кубов строго равна сумме отрицательных кубов и значение μ
3 равно
0, соответственно отклонения от этого значения характеризуют сте- пень асимметричности распределения. также в симметричных распределениях верны следующие соотношения:
2) R = 6σ;
3) σ = 1,25L.

84
если коэффициент асимметрии a
s
> 0, то распределение счи- тается правосторонним (рис. 6), в таком случае если
a
s
< 0, то распределение левостороннее, и
(рис. 7). асимметрия в ряду распределения считается значительной, если коэффициент асимметрии по модулю больше 0,5, если меньше
0,25 — то незначительной асимметрией. в умеренно симметрич- ных распределениях
x
a
s
> 0
Mo Me
x
i
f
i
рис. 6. ряд распределения с правосторонней асимметрией для более детального изучения характера вариации исполь- зуются показатели моментов распределения. Момент распределе-
ния — это средняя величина из k степеней отклонений постоянной величины А. система моментов распределения разработана рус- ским математиком п. л. чебышевым.
общая формула для расчета моментов распределения:
(
)
(
) .
k
i
i
k
k
i
i
x A
f
m
x A
f
−
⋅
=
=
−
∑
∑

85
x
a
s
< 0
x
i
f
i
Me Mo рис. 7. ряд распределения с левосторонней асимметрией в зависимости от значения постоянной величины А выделяют начальные, условные и центральные моменты распределения. так, если А = 0, то моменты распределения называются начальными
моментами распределения и рассчитываются по формуле:
(
)
0
k
k
i
i
i i
k
i
i
x
f
x f
m
f
f
−
⋅
=
=
∑
∑
∑
∑
соответственно мы получили формулу расчета средней k-й степени.
если A = X
0
, то моменты распределения называются услов-
ными моментами распределения и рассчитывается по формуле:
(
)
0
k
i
i
k
i
x x
f
m
f
−
⋅
=
∑
∑
если значение А заменить средним значением признака в совокупности, то моменты распределения будут называться

86
центральными моментами распределения. обозначаются они бук- вой μ и определяются по формуле:
(
)
k
i
i
k
i
x x
f
f
−
⋅
μ =
∑
∑
соответственно центральный момент второго порядка — это дисперсия.
Эксцесс оценивает величину отклонения фактической формы вершины эмпирического распределения от формы распределения в нормальном ряду распределения.
оценить эксцессможно с помощью отношения центрального момента четвертого порядка к среднеквадратическому отклоне- нию в четвертой степени и по формуле линдберга:
•
коэффициент эксцесса через центральный момент четвер- того порядка:
4 4
3,
k
e
μ
=
−
σ
где μ
4 — центральный момент четвертого порядка, определя- емый по формуле:
4 4
(
)
;
i
i
i
x x
f
f
−
⋅
μ =
∑
∑
•
коэффицент эксцесса по формуле линдберга:
e
k
= п — 38,29,
где п — процент тех вариант, которые лежат в интервале, равном половине среднеквадратического отклонения (в ту или другую сторону от значения средней); 38,29 — процент тех вариант, которые лежат в интервале, равном половине среднеквадратического отклонения (в ту или другую сторону от значения средней) в нормальном ряду распределения.
для нормального распределения значение отношения цен- трального момента четвертого порядка к среднеквадратическому

87
отклонению в четвертой степени равно 3, поэтому для сравнения формы отклонения вычитается 3, тогда значение эксцесса равно
0. если коэффициент эксцесса e
k
> 0, то большинство индивиду- альных значений признака сосредоточено вблизи от средней вели- чины, и распределение называется островершинным; если e
k
< 0, то значения признака далеко рассредоточены относительно сред- ней величины, и распределение называется плосковершинным
(рис. 8).
e
k
> 0
e
k
< 0
рис. 8. Эксцессы распределения
Важно! Показатель эксцесса рассчитывается только в сим- метричных рядах с одинаковой силой вариации (значения сред- неквадратического отклонения в сравниваемых рядах должны совпадать).
оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса проводится на основании расчета среднеквадратической ошибки.
среднеквадратическая ошибка показателя асимметрии:
6 (
1) ,
(
1) (
3)
s
a
n
n
n
⋅ −
σ =
+ ⋅ +
где n — количество единиц совокупности.

88
среднеквадратическая ошибка показателя эксцесса:
2 24
(
2) (
3) .
(
1) (
3) (
5)
k
e
n n
n
n
n
n
⋅ ⋅ − ⋅ −
σ =
−
⋅ + ⋅ +
в случае, если то асимметрия считается сущест- венной и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично.
распределение считается близким к нормальному, если пока- затели асимметрии и эксцесса по модулю не превышают двукрат- ного значения своих среднеквадратических ошибок:
Пример. По данным табл. 18 надо определить характеристики рас- пределения: 1) среднее значение; 2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации; 4) коэффициент асимметрии и эксцесса — и сделать выводы о характере распределения строительных фирм.
Таблица 18
распределение строительных фирм по объему инвестиций
объем инвестиций, млн руб.
до 33 33–36 36–39 39 и выше количество предприятий
10 20 30 15
Р е ш е н и е:
1. Поскольку известен интервальный вариационный ряд с равными интервалами, для определения среднего объема инвестиций необходимо определить средние значения в каждом интервале соответствующей группы. Для этого суммируем нижнюю и верхнюю границы интервала и делим пополам. В соответствующих открытых интервалах нижнюю и верхнюю границы определяем по величине соседнего интервала. Ито- говые значения представим в виде таблицы (табл. 19).

89
Таблица 19
вспомогательная таблица с расчетами
объем инвестиций, млн руб. до 33 33–36 36–39 39 и выше итого количество предприятий
10 20 30 15 75
середина интервала, x
i
31,5 34,5 37,5 40,5
Находим средний объем инвестиций в совокупности по формуле средней арифметической взвешенной:
2. Находим дисперсию и среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных:
3. Рассчитаем коэффициент вариации:
2,83 100 %
100 % 7,75 %.
36,5
V
x
σ
= ⋅
=
⋅
=
Получившееся значение коэффициента вариации меньше 30 %, сле- довательно, совокупность строительных фирм однородна, а рассчитанное среднее значение типично для данного распределения.
4. Чтобы определить коэффициент асимметрии, необходимо найти значение центрального момента 3­го порядка:
3 3
3 3
(
)
(31,5 36,5) 10 ... (40,5 36,5) 15 420 5,6.
75 75
i
i
i
x x
f
f
−
⋅
−
⋅ + +
−
⋅
−
μ =
=
=
= −
∑
∑
Тогда значение коэффициента асимметрии составляет:
3 3
3 5,6 0,247.
2,83
s
a
μ
−
=
=
= −
σ

90
Поскольку a
s
< 0,25, асимметрия распределения незначительна.
Отрицательный знак коэффициента асимметрии говорит о том, что рас- пределение строительных фирм левостороннее.
Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента асимметрии:
6 (75 1)
0,27.
(75 1) (75 3)
s
a
⋅
−
σ =
=
+ ⋅
+
Отношение коэффициента асимметрии к его стандартной ошибке составляет:
0,247 0,91.
у
0,27
s
s
a
a
=
=
Величина коэффициента асимметрии
, следовательно, рас- пределение строительных фирм близко к нормальному распределению.
Для расчета коэффициента эксцесса найдем значение центрального момента 4­го порядка:
4 4
4 4
(
)
(31,5 36,5) 10 ... (40,5 36,5) 15 10 440 139,2;
75 75
i
i
i
x x
f
f
−
⋅
−
⋅ + +
−
⋅
μ =
=
=
=
∑
∑
Тогда значение коэффициента эксцесса распределения составляет:
4 4
4 139,2 3
3 0,83.
(2,83)
k
e
μ
=
− =
− = −
σ
Отрицательный знак коэффициента эксцесса указывает на плоско- вершинное распределение.
Найдем стандартную ошибку коэффициента эксцесса:
2 2
24
(
2) (
3)
24 75 (75 2) (75 3)
0,53.
(
1) (
3) (
5)
(75 1) (75 3) (75 5)
k
e
n n
n
n
n
n
⋅ ⋅ − ⋅ −
⋅ ⋅
− ⋅
−
σ =
=
=
−
⋅ + ⋅ +
−
⋅
+ ⋅
+
Величина коэффициента эксцесса без учета знака также меньше двукратной величины своей среднеквадратической ошибки т. е. можно считать, что распределение строительных фирм близко к нормальному.

91
Оценка схожести эмпирического
и теоретического распределения
завершает анализ вариационного ряда распределения сопо- ставление эмпирической кривой распределения с неким этало- ном — теоретической кривой распределения.
Эмпирическая кривая распределения — фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.
Теоретическая кривая распределения — кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего при- знака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения.
для сравнения эмпирического распределения с теоретическим распределением необходимо решить следующие задачи:
1. определить вид кривой распределения, определяющей изменчивость наблюдаемого признака в совокупности (нормаль- ное распределение, распределение пуассона, логарифмическое распределение и др.).
2. с помощью критериев согласия оценить правильность выдвинутой гипотезы о типе распределения изучаемого ряда распределения.
в большинстве случаев при решении первой задачи в качестве эталона для сравнения принято выбирать нормальное распределе- ние, функция которого равняется:
2 2
1
( )
,
2
t
t
e
−
j =
π
где
— нормированное отклонение; x — значение изучае- мого признака; — среднее значение ряда; π и e — математиче- ские постоянные.

92
свойства кривой нормального распределения:
•
кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответст- вующей значению = Ме = Мо;
•
кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, про- должаясь в обе стороны до бесконечности (чем больше отдельные значения X отклоняются от , тем реже они встречаются);
•
кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ± σ от ;
•
в пределах ± σ располагается 0,683 (68,3 %) единиц наблю- даемой совокупности, в пределах ± 2σ — 0,954 (95,4 %) единиц; в пределах ± 3σ — 0,997 (99,7 %) единиц наблю- даемой совокупности;
•
коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.
для решения второй задачи необходимо выдвинуть гипотезу
(предположение) о том, что распределение в изучаемой совокуп- ности подчиняется закону нормального распределения, и с помо- щью критериев согласия подтвердить или опровергнуть правиль- ность гипотезы.
проверка гипотезы состоит в сравнении эмпирических частот с теоретическими частотами, которые находят в следующем порядке:
1) вычисляют среднее значение признака и значение среднего квадратического отклонения;
2) определяют t
i
—нормированное отклонение;
3) находят значение функции φ(t) по таблице распределения
(см. прил. 1);
4) рассчитывают теоретические частоты f
т по следующей формуле:
где f
i
— объем совокупности; h
i
— величина интервала в группировке.
рассчитанные теоретические частоты сравнивают с извест- ными эмпирическими частотами, используя разные критерии

93
согласия: критерий согласия пирсона, критерий согласия романов- ского, критерий колмогорова и др.
критерии согласия дают возможность установить, являются ли расхождения между теоретическими и эмпирическими часто- тами случайными (несущественными) или неслучайными (суще- ственными). если расхождения случайны, то следует принять выбранную теоретическую модель для данного распределения, в противном случае гипотезу отвергают, значит, и соответствую- щая теоретическая модель не может быть принята для описания данного распределения.
рассмотрим названные выше критерии согласия.
Критерий согласия Пирсона (или «хи»-квадрат — χ
2
) опреде- ляется по формуле:
где f
i
— эмпирическая частота i-го интервала в ряду распределе- ния; f
т
— теоретическая частота ряда распределения.
для распределения «хи»-квадрата составлены таблицы
(см. прил. 2), где указано критическое значение χ
2 для выбранного уровня значимости α и данного числа степеней свободы df.