Файл: 38. 03. 01 Экономика, 38. 03. 02 Менеджмент.pdf

72 3. Среднелинейное отклонение — показатель, обладающий в отличие от размаха вариации более строгими характеристиками, показывает среднеарифметическое значение абсолютных отклоне- ний признака от его среднего уровня.
в случае, если ряд ранжирован, среднелинейное отклонение рассчитывается по формуле:
x x
L
n
−
=
∑
при повторяемости отдельных значений x
i используют следу- ющую формулу:
i
i
x x f
L
f
− ⋅
=
∑
показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. с его помощью анализируются, напри- мер, состав работающих, ритмичность производства, равномер- ность поставок материалов, разрабатываются системы материаль- ного стимулирования.
4. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение — обоб- щающий показатель, характеризующий размер вариации. показы- вает, на сколько единиц в среднем каждое индивидуальное значе- ние признака отличается от средней величины. имеет такую же единицу измерения, что и признак. данный показатель рассчиты- вается по-разному:
– для несгруппированных данных:
2
(
)
;
i
x x
n
−
σ =
∑
– для сгруппированных данных:
2
(
)
i
i
i
x x
f
f
−
⋅
σ =
∑
∑

73
среднеквадратическое отклонение является мерой надежно- сти средней величины. чем меньше значение среднеквадратиче- ского отклонения по сравнению со значением средней, тем лучше среднее значение описывает представленную совокупность.
5. Дисперсия признака (D) — это сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от среднего арифметического значения. дисперсия не имеет единицы измерения и, как правило, содержательно не интерпретируется, являясь основой для расчета других показателей вариации и неким промежуточным этапом в статистическом анализе.
для несгруппированных данных рассчитывается простая дисперсия по формуле:
2 2
(
)
;
i
x x
D
n
−
= σ =
∑
для сгруппированных данных рассчитывается взвешенная дисперсия:
Важно! Значение средней для совокупности в целом опре- деляется по формуле средней арифметической простой в случае несгруппированных данных, для сгруппированных данных — по формуле средней арифметической взвешенной.
Свойства дисперсии признака в совокупности:
1) дисперсия постоянной величины равна нулю;
2) дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число;
3) если все варианты умножить на число k, дисперсия увели- чится в k
2 раз;
4) дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчислен- ных от любой другой величины А на величину данное свойство именуется свойством минимальности дисперсии от средней. если A = 0, то формула для расчета диспер- сии примет следующий вид: соответственно

74
дисперсия равна разности среднего из квадратов индивидуальных значений признака и среднего значения признака в квадрате.
используя разные свойства дисперсии, также можно рассчи- тывать дисперсию по способу моментов (обычно данный способ применяют в группировках с равными интервалами):
(
)
2 2
2
,
i
i
i
x A
f
h
D
h
x A
f
−

 ⋅




=
⋅ −
−
∑
∑
где А — условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой; h — величина интервала.
Относительные показатели степени вариации.данные показатели используютсядля характеристики меры колеблемости изучаемого признака. они позволяют сравнивать характер вари- ации в разных совокупностях (например, проводить сравнение различных единиц наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, сравнивать раз- ноименные совокупности), а также судить об интенсивности вари- ации признака, т. е. оценивать однородность совокупности. расчет относительных показателей вариации осуществляют как отноше- ние абсолютного показателя к средней арифметической, умножа- емое на 100 %.
к относительным показателям степени вариации относятся:
1. Коэффициент осцилляции, отражающий относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:
100 %,
R
R
K
x
= ⋅
где R — размах вариации.
2. Относительное линейное отклонение, характеризующее долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины:
100 %.
L
L
K
x
= ⋅

75 3. Относительный показатель квартильной вариации:
100 %,
2
Q
Q
d
d
K
Me
=
⋅
где d
Q
— абсолютный показатель квартильной вариации.
4. Коэффициент вариации (V ) — наиболее распространен- ный показатель, который оценивает однородность совокупно- сти и типичность значения средней величины. исчисляется по формуле:
100 %,
V
x
σ
= ⋅
где σ — среднеквадратическое отклонение.
принято считать совокупность однородной, а среднее значе- ние типичным для данной совокупности, если коэффициент вари- ации меньше 33 %. в противном случае совокупность считается неоднородной, а значение среднего нетипично.
Важно! Максимально возможные значения показателей вариа ции: если рассматриваемая совокупность разделена на группы по изучаемому признаку, то можно оценить степень варьирования признака-результата в аналитической группировке в зависимости от изменчивости самого признака внутри совокупности и в зави- симости от влияния случайных факторов, не учтенных в данной совокупности.
вариации признака в совокупности:
•
общая (вариация признака в совокупности, зависящая от вариации признака, положенного в основание группировки, и от вариации случайных факторов, не учтенных в данной совокупности);
•
случайная (вариация признака в совокупности, не завися- щая от вариации группировочного признака);
•
объясняемая (вариация признака в совокупности, завися- щая от вариации группировочного признака).

76
виды дисперсий:
•
общая дисперсия признака (оценивает общую вариацию признака в совокупности);
•
средняя из внутригрупповых дисперсий (оценивает случай- ную вариацию признака в совокупности, не зависящую от вариации группировочного признака);
•
межгрупповая дисперсия (оценивает объясняемую вариа- цию).
общая дисперсия D
0
равна сумме межгрупповой дисперсии δ
2
и средней из внутригрупповых дисперсий :
Это пра- вило в. лексис (1837−1914) назвал правилом сложения дисперсий.
в зависимости от вида ряда расчет трех видов дисперсий осу- ществляется по-разному.
для несгруппированных данных:
•
общая дисперсия:
(
)
2 0
0
,
i
x x
D
n
−
=
∑
где — общее среднее значение признака в совокупности;
•
межгрупповая дисперсия:
2 0
2
(
)
,
i
x x
n
−
δ =
∑
где — среднее значение признака в i-й группе;
•
средняя из внутригрупповых дисперсий:
2 2
,
i
n
σ
σ =
∑
где — внутригрупповая дисперсия признака, которая рас- считывается по формуле:
(
)
2 2
i
i
i
x x
n
−
σ =
∑

77
для сгруппированных данных:
•
общая дисперсия:
(
)
2 0
0
;
i
i
i
x x
f
D
f
−
=
∑
∑
•
межгрупповая дисперсия:
2 0
2
(
)
;
i
i
i
x x
f
f
−
δ =
∑
∑
•
средняя из внутригрупповых дисперсий:
2 2
,
i
i
i
f
f
σ ⋅
σ =
∑
∑
где — внутригрупповая дисперсия признака, которая рас- считывается по формуле:
(
)
2 2
,
i
i
i
i
i
x x
f
f
−
σ =
∑
∑
где x
i
— значение признака i-й группы.
в рамках аналитической группировки можно оценить не только степень вариации группировочного признака на вариацию признака-результата, но и силу взаимосвязи между ними. для этого находят эмпирический коэффициент детерминации и эмпи- рическое корреляционное отношение.
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, т. е. долю вариа- ции признака, обусловленную вариацией признака, положенного в основание группировки:
2 2
0
,
D
δ
η =
где η
2
— эмпирический коэффициент детерминации.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается на основе правила сложения дисперсий как корень квадрат- ный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии

78
и позволяет измерить силу связи признака, положенного в осно- вание группировки, и результативного признака в аналитической группировке:
2 0
D
δ
η =
Эмпирическое корреляционное отношение принимает значе- ние от 0 до 1; чем ближе значения показателя к 1, тем связь между признаками сильнее, и наоборот. оценить силу связи между при- знаком, положенным в основу группировки, и признаком-результа- том можно по шкале чеддока, представленной в табл. 16.
Таблица 16

79
Р е ш е н и е:
1. Для нахождения средней из внутригрупповых дисперсий необ- ходимо найти дисперсии для каждой группы занятых в экономике РФ по полу. Рассчитаем среднее значение возраста для занятых мужчин и женщин:
Групповая дисперсия для занятых мужчин:
2 2
2 2
м
(18 39,97) 0,5 (25 39,97) 8,8 ... (65 39,97) 1,4 5156,97 145,27.
35,5 35,5
−
⋅
+
−
⋅
+ +
−
⋅
σ =
=
=
Групповая дисперсия для занятых женщин:
2 2
2 2
ж
(18 40,86) 0,3 (25 40,86) 7,4 ... (65 40,86) 1,3 4 690,0 136,73.
34,3 34,3
−
⋅
+
−
⋅
+ +
−
⋅
σ =
=
=
Следовательно, средняя из внутригрупповых дисперсий составляет:
2 145,27 35,5 136,73 34,3 9 846,97 141,07.
35,5 34,6 69,8
⋅
+
⋅
σ =
=
=
+
2. Для нахождения межгрупповой дисперсии необходимо знать сред- ний возраст занятых в совокупности. Найдем его как средневзвешенную арифметическую из ранее найденных средних величин:
Тогда значение межгрупповой дисперсии составляет:
2 2
2
(39,5 40,41) 35,5 (40,4 40,41) 34,3 13,67 0,2.
35,5 34,6 69,8
−
⋅
+
−
⋅
δ =
=
=
+
3. Найдем значение общей дисперсии в совокупности:
а) по правилу сложения общая дисперсии признака равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:
0,2 141,07 141,27;
D =
+
=

80
б) по исходным данным распределения общая дисперсия равна:
2 2
2
(18 40,41) 0,8 (25 40,41) 16,2 ... (65 40,41) 2,7 141,27.
35,5 34,3
D
−
⋅
+
−
⋅
+ +
−
⋅
=
=
+
Значение общей дисперсии, рассчитанное разными способами, совпадает.
для измерения вариации альтернативного признака, принима- ющего два противоположных значения (например: пол мужской и женский; продукция годная и бракованная; экспорт и импорт и др.) используется дисперсия альтернативного признака (диспер- сия доли признака), которая рассчитывается по формуле:
D
p
= p · q,
где p −доля единиц, обладающих данным изучаемым признаком;
q — доля единиц, не обладающих данным изучаемым при знаком.
доля единиц, обладающих данным признаком, может быть найдена по формуле:
p = m/n,
где m — количество единиц, обладающих данным альтернатив- ным признаком; n — общее количество единиц в рассматриваемой совокупности.
по свойству совокупности p + q = 1. поэтому дисперсию доли можно рассчитать как D
p
= p · (1 − p).
если рассматриваемая совокупность разделена на группы по изучаемому альтернативному признаку, то можно оценить степень варьирования признака в зависимости от влияния изменчивости самого признака внутри совокупности и в зависимости от влияния случайных факторов. для этого необходимо рассчитать общую дисперсию доли, межгрупповую дисперсию доли и среднюю из внутригрупповых дисперсий доли.
Общая дисперсия доли равна сумме межгрупповой дисперсии доли и средней из внутригрупповых дисперсий доли.