Файл: 38. 03. 01 Экономика, 38. 03. 02 Менеджмент.pdf

61
Формула расчета простой степенной средней:
m
m
x
x
n
=
∑
Формула расчета взвешенной степенной средней:
m
i
m
i
x f
x
f
⋅
=
∑
∑
названные виды степенных средних различаются в зависимо- сти от того, какое значение принимает показатель степени:
•
средняя гармоническая, если m = −1;
•
средняя геометрическая, если m = 0;
•
средняя арифметическая, если m = 1;
•
средняя квадратическая, если m = 2;
•
средняя кубическая, если m = 3.
если рассчитать все виды средних для одних и тех же исход- ных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. здесь дей- ствует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:
остановимся более подробно на некоторых видах средних.
Средняя арифметическая величина.Это такое среднее значение признака, при расчете которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменными и распределяется поровну между всеми единицами совокупности. исходя из опре- деления, формула средней арифметической величины имеет сле- дующий вид:
1 2
1
n
i
n
i
x
x x
x
x
n
n
=
+ + +
=
=
∑

62
Эта формула применяется в ранжированном ряду исходных данных и называется простой средней арифметической.
в сгруппированном ряду распределения средняя арифметиче- ская рассчитывается как взвешенная по следующей формуле:
в качестве весов здесь выступает количество единиц совокуп- ности в разных группах. название «вес» подразумевает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины.
в случае если ряд распределения интервальный, то в формуле средней величины в качестве значения признака в группах приме- няется среднее значение признака в интервале, при этом исходят из предположения о равномерном распределении единиц внутри интервала значений признака. если в группировке имеются откры- тые интервалы, то, как было сказано в гл. 3, значения признака необходимо определить экспертным путем, исходя из сущности и свойств признака в совокупности. при отсутствии такой возмож- ности используется принцип «соседа», когда, чтобы найти недо- стающую границу, рассчитывают величину соседнего интервала.
Важно! Формула средней арифметической используется в тех случаях, когда известно общее количество единиц совокупности, для которых находят среднее значение признака, т. е. знаменатель отношения средней величины, а числитель необходимо найти.
Пример. По данным табл. 14 необходимо рассчитать средний воз- раст студентов дневного отделения в совокупности в целом.
Таблица 14
распределение студентов дневного отделения по возрасту
возраст студентов, лет (x
i
)
17 18 19 20 21 22
число студентов ( f
i
)
30 80 90 40 35 25

63
Р е ш е н и е. Средний возраст одного студента представляет собой результат равномерного распределения общего возраста всех студен- тов. По данным примера общий, или суммарный, возраст всех студентов можно получить как сумму произведений значений вариант в каждой возрастной группе x
i
на число студентов с таким возрастом f
i
(частоты).
Тогда
Мы использовали формулу средней взвешенной арифметической, поскольку число студентов по возрастным группам разное и их вес неоди- наков. Так, оказывается весомее возраст студентов 18, 19 и 20 лет, а значе- ния возраста 17, 21 или 22 при расчете средней не играют большой роли — их доля мала.
средняя арифметическая величина может быть дробным числом, даже если индивидуальные значения признака могут при- нимать только целые значения. Это вытекает из сущности средней: она не обязана быть реальным значением признака, которое могло бы встретиться у какой-либо единицы совокупности.
средняя арифметическая величина обладает следующими
свойствами, знание которых полезно как при ее использовании, так и при ее расчете:
1. сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю. доказательство:
1 2
1 2
1 1
1
(
) (
) (
) ... (
)
0
N
i
n
n
i
N
i
N
i
i
i
x x
x x
x x
x x
X
X
X
nx
x
x n
n
=
=
=
−
=
−
+
−
+ +
−
=
+
+
−
=
=
−
=
∑
∑
∑
2. если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз. доказательство:

64 1
2 1
2 1
1 2
( : )
:
: .
n
n
n
i
i
n
x
x
x
x x
x
x c
c
c
c
c
n
n
n
x x
x c x c
n
=
+ + +
+
+ +
=
=
=
+ + +
=
=
∑
используя данное свойство, индивидуальные значения при- знака можно сократить в c раз, рассчитать значение средней вели- чины и полученный результат умножить на c.
3. если к каждому индивидуальному значению признака при- бавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число. доказательство:
1 1
2 1
(
)
(
) (
) ... (
)
N
N
i
i
i
N
i
x c
n nc
x c
n c
n
c
x c
n
n
n
=
=
+
+
+ +
+ + +
+
=
=
= +
∑
∑
Это свойство полезно использовать при расчете средней вели- чины из многозначных и слабоварьирующих значений признака аналогично предыдущему свойству.
4. если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится. доказательство:
1 1
1 1
:
:
N
N
i
i i
i
i
i
N
N
i
i
i
i
f
x f
c
x
c
x
f
f
c
c
=
=
=
=






=
=






∑
∑
∑
∑
используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

65
степенные средние, средняя гармоническая бывает простой и взвешенной.
Формула средней гармонической простой:
1 1
n
i
i
n
x
x
=
=
∑
вид формулы средней гармонической взвешенной:
1
,
i
n
i
i
i
w
x
w
x
=
=
∑
∑
где w
i
= x
i
· f
i
,откуда f = w/x.
в качестве весов в данной формуле используются произве- дения единиц совокупности на значения признака (т. е. w = х · f ). к средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материа- лов на единицу продукции, на одну деталь по нескольким пред- приятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
Важно! Формула средней гармонической используется в тех случаях, когда известен общий объем изучаемого признака в сово- купности, т. е. числитель отношения средней величины, а знаме- натель необходимо найти.
в тех случаях, когда индивидуальные значения признака встречаются по одному разу, применяется формула средней гармо- нической простой, указанная выше.
Пример. По данным табл. 15 необходимо определить средний про- цент выполнения плана выпуска продукции в целом по холдингу за год.

66
Таблица 15
выпуск продукции и процент выполнения плана за год
по предприятиям, входящим в холдинг
№ предприятия, входящего в холдинг
Фактический выпуск продукции, млн руб.
процент выполнения плана
1 270,4 118,0 2
430,6 102,0 3
290,0 92,0
Р е ш е н и е. Для определения формулы нахождения среднего про- цента выполнения плана необходимо отталкиваться от имеющихся в задании данных и содержания самого осредняемого показателя. Отно- сительная величина выполнения плана находится по формуле:
Следовательно, средний процент выполнения плана составит:
По условию задачи неизвестен плановый выпуск, т. е. знаменатель отношения средней величины, поэтому будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:
Таким образом, средний процент выполнения плана по холдингу за год составляет 102,5 %.
Средняя геометрическая. используется данная формула чаще всего при расчете среднего коэффициента роста по значе- ниям показателей, представленным во времени.
в зависимости от промежутков времени, к которым относятся коэффициенты роста, выделяют простую геометрическую сред- нюю и взвешенную геометрическую среднюю.

67
общий вид формулы средней геометрической простой:
1 2
n
n
x
x x
x
=
⋅ ⋅ ⋅
данную формулу применяют в рядах динамики, если проме- жутки времени, к которым относятся коэффициенты роста, одина- ковы. тогда формула расчета среднего коэффициента роста прини- мает следующий вид:
p
1 2
,
n
n
k
k k
k
′ ′
′
=
⋅ ⋅ ⋅
где
— цепные коэффициенты роста; n — количество цепных коэффициентов роста.
так, например, по данным табл. 10 о величине материнского капитала (с. 54) можно рассчитать средний темп роста за указан- ный период времени. тогда, используя рассчитанные ранее цепные коэффициенты роста, получаем средний темп роста:
p
1 2
T
100 1,06 1,055 1,057 100 % 105,7 %.
n
n
k k
k
′ ′
′
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
=
⋅
=
в случае, если промежутки времени, к которым относятся цеп- ные коэффициенты роста, разной продолжительности, то нужно использовать формулу средней геометрической взвешенной:
1 2
1 2
,
i
n
f
f
f
f
n
x
x x
x
∑
=
⋅
⋅ ⋅
где f
i
— продолжительность периода, к которому относится сред- ний коэффициент роста.
Средняя хронологическая. используется так же, как и сред- няя геометрическая, в рядах динамики только для расчета средних значений моментных показателей. выделяют среднюю хронологи- ческую простую и взвешенную.
простая хронологическая средняя используется в моментных рядах с равными промежутками времени между датами.

68
Формула простой хронологической:
где n — количество моментов времени.
если между датами неравные промежутки времени, то рассчи- тывается взвешенная хронологическая по формуле:
где t — количество дней между датами.
Пример. Имеем данные о наличии оборотных средств на фирме по кварталам: на 01.01.2010 г. — 710 млн руб.; на 01.04.2010 г. — 750 млн руб.; на 01.07.2010 г. — 760 млн руб.; на 01.10.2010 г. — 780 млн руб.; на 01.01.2011 г. — 840 млн руб. Надо определить среднее наличие оборот- ных средств по полугодиям и за год.
Р е ш е н и е. Поскольку в задании известны значения наличия обо- ротных средств на 1­е число каждого квартала (соответственно проме- жутки между датами равны и составляют 3 месяца), то для нахождения среднего их значения воспользуемся формулой простой хронологической средней. Тогда среднее наличие оборотных средств на фирме составит:
а) за 1­е полугодие:
;
б) за 2­е полугодие:
;
в) за год:

69
Важно! Главное требование к формуле расчета среднего зна- чения — рассчитанные средние величины различных социально­
экономических явлений должны иметь реальное содержательное обоснование и исходить из логики самого осредняемого показа- теля, чтобы не нарушалась связь между индивидуальными и свод- ными показателями, поскольку характер последних во взаимодей- ствии с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины.
контрольные вопросы
1. что такое абсолютная величина?
2. назовите способы получения абсолютной величины.
3. что такое относительная величина?
4. на какие группы подразделяются относительные величины?
5. с какой целью используются относительные величины, какова их роль?
6. что такое средняя величина?
7. каково значение средних величин?
8. назовите виды средних величин.
9. назовите правило использования определенной формулы средней.
10. назовите свойства средней арифметической величины.
глава 5
анализ вариационного ряда распределения
статистическая совокупность состоит из множества единиц, обладающих определенными признаками. признаки изменяются, варьируют под воздействием множества факторов. возникаю- щие вследствие этого различия в значениях исследуемого при- знака у отельных единиц совокупности называются вариацией
признака.
причиной вариации являются различные условия существова- ния и развития каждой единицы совокупности. например, на успе- ваемость студентов влияет огромное число существенных и слу- чайных причин: регулярность посещения занятий, выполнение

70
в установленный срок домашних заданий, усидчивость, опоздания, возможно, изменчивость погодных условий, недомогание и др.
для изучения вариации признака статистикой разработаны специальные методы исследования, с помощью которых вариация измеряется, характеризуются ее свойства.
Задачи изучения вариации признака в совокупности:
1) оценить однородность совокупности;
2) оценить типичность средней величины;
3) определить форму распределения объектов по значениям признака;
4) оценить схожесть эмпирического распределения с нор- мальным распределением;
5) определить роль случайных и существенных причин в фор- мировании индивидуальных и средних значений признака.
для изучения вариации признака в совокупности необходимо сравнивать индивидуальные значения с типичным значением, т. е. со средней величиной. поэтому важно правильно представить исходные данные для последующего анализа. если совокупность состоит из 50 элементов и менее, тогда строят ранжированный ряд распределения. Ранжированный ряд, или ряд несгруппированных данных, это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака. если совокупность составляет больше 50 единиц, целесообразно строить вариационный ряд (ряд сгруппированных данных) и представлять данные в виде дискрет- ного ряда или интервального ряда.
Дискретный ряд — это таблица, состоящая из конкретных значений варьирующего признака x
i
и числа единиц совокупности с данным значением признака f
i
-частот; число групп в дискрет- ном ряду определяется числом реально существующих значений варьирующего признака.
Интервальный ряд — это таблица, состоящая из интервалов варьирующего признака x
i
и числа единиц совокупности, попада- ющих в данный интервал ( f
i
), или из долей этого числа в общей численности совокупностей (ω
i
).

71
анализ вариационного ряда распределения включает:
– расчет показателей центра распределения;
– расчет показателей степени вариации;
– расчет показателей формы распределения;
– оценку схожести эмпирического распределения с теорети- ческим распределением.
показатели центра распределения (среднее значение признака в совокупности, модальное значение признака и медианное зна- чение признака и их расчет подробно освещены в гл. 4). здесь рассмотрим остальные составные анализа вариационного ряда распределения.
Показатели степени вариации
показатели степени вариации характеризуют степень варьиро- вания индивидуальных значений признака вокруг средней; выде- ляют абсолютные и относительные показатели.
абсолютные показатели степени вариации:
1. Размах вариации — наиболее простой показатель вариации.
Это разница между максимальным (X
max
) и минимальным (X
min
) наблюдаемыми значениями признака в совокупности:
R = X
max
− X
min
,
где R — размах вариации.
однако размах вариации показывает лишь вариацию крайних значений признака, изменения внутри ряда не учитываются.
2. Абсолютный показатель квартильной вариации (формула предложена английским биологом и антропологом Ф. гальтоном) учитывает вариацию признака в центральной части ряда:
3 2
2 1
3 1
(
) (
)
,
2 2
Q Q
Q Q
Q Q
q
−
+
−
−
=
=
где Q
1
, Q
2
, Q
3
— первый, второй и третий квартили соответственно.
данный показатель следует использовать в случае, если расчет среднеквадратического отклонения затруднен.