Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

1
Учебные материалы
по дисциплине
«Теоретическая механика»
(МТИ)
Содержание
Раздел 1. Элементы векторной алгебры и математический аппарат теоретической механики ..................................................................................................................................... 2
Введение ..................................................................................................................................... 2
Раздел 2. Кинематика .............................................................................................................. 15
Введение ................................................................................................................................... 15
Раздел 3. Кинематика твердого тела ...................................................................................... 35
Введение ................................................................................................................................... 35
Раздел 4. Динамика .................................................................................................................. 61
Введение ................................................................................................................................... 61
Раздел 5. Динамика системы материальных точек .............................................................. 86
Введение ................................................................................................................................... 86
Раздел 6. Динамика и статика абсолютно твердого тела ................................................... 102
Раздел 7. Энергия в механике. Работа силы. Силовые поля ............................................. 132
Раздел 8. Механика Лагранжа .............................................................................................. 147
Раздел 9. Механика Гамильтона .......................................................................................... 162
Раздел 10. Классические задачи теоретической механики ................................................ 174
Введение ................................................................................................................................. 174
Рабочая тетрадь ...................................................................................................................... 195
Введение ................................................................................................................................. 195
Задачи для самостоятельного решения. .......................................................................... 218
Ответы к задачам для самостоятельного решения: ........................................................ 222

2
Раздел 1. Элементы векторной алгебры и математический аппарат
теоретической механики
Введение
В теоретической механике используются разнообразные формулы векторной алгебры и рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие. Для того чтобы понимать смысл многих законов и соотношений, используемых в механике, следует напомнить читателю основные правила работы с векторными величинами, вывод которых приводятся во многих учебниках по математике.
Понятие вектора и операции над векторами.
Понятие вектора.
Для начала рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, заданную тремя единичными взаимно ортогональными базисными векторами (ортами) соответствующими трем пространственным координатным осям X,Y,Z.
Вектором называется направленный отрезок, который характеризуется некоторой длиной и заданным направлением. Таким образом, в отличие от скалярных величин, которые задаются всего лишь одним числом, любой вектор представляет собой упорядоченный набор из трех чисел
, которые называются координатами этого вектора в выбранной декартовой системе. Например, точка в трехмерном пространстве с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус- вектором
.
(1)
Координаты (x, y, z) это проекции вектора на оси координат. С векторами, как и с обычными числами можно делать различные математические операции.
Операции над векторами.
Вектора можно складывать и умножать на число.

3
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация суммы векторов
В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе. Если известны декартовы координаты точек начала и конца некоторого пространственного вектора то координаты самого вектора находятся как разность между координатами точки конца - B и точки начала -A.
Для вычисления суммы двух векторов (рис. 1) можно использовать правило параллелограмма или правило треугольника. Согласно правилу треугольника начало второго вектора нужно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис. 2) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор, замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.
Рис. 2. Сумма нескольких векторов

4
Операции над векторами подчиняются следующим законам:
При сложении векторов координаты вектора суммы равны сумме координат векторов слагаемых
При умножении вектора на число λ получается коллинеарный (со- направленный или противо–направленный вектор, см. рис. 3), координаты которого равны
Рис. 3. Умножение вектора на число
Правые и левые системы координат.
Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.
Декартова система координат на плоскости называется правой (см. рис. 4), если при повороте оси OX на 90о против часовой стрелки она переходит в ось OY . У левой системы координат поворот происходит по ходу часовой стрелки.
Декартова система координат в пространстве называется правой, если при повороте плоскости OXY вокруг оси Z в соответствии с правилом правого винта на 90о против хода часовой стрелки (т.е. винт должен пойти вверх вдоль оси Z, см. рис. 5) числовая ось X переходит на старое местоположение оси Y. Для левой системы координат вращение происходит в противоположную сторону, т.е. по ходу часовой стрелки.

5
Рис. 4.Левая и правая системы координат на плоскости
На практике используются только правые системы декартовых координат, для которых и будут справедливы все полученные в дальнейшем законы.
Рис. 5. Левая и правая системы координат в пространстве
Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.
Рассмотрим правую декартову систему координат. Единичные вектора
(орты осей
) образуют базис, поэтому любой вектор, можно представить как сумму где
числа (ax, ay, az) - это проекции вектора на оси координат (см. рис.
6).

6
Рис. 6. Вектор в пространстве
Длина или модуль вектора обозначается символом или просто равняется расстоянию от начала вектора до его конца и определяется формулой
.
(2)
Проекцией вектора на ось называется числовая величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис. 7).
Рис. 7. Проектирование вектора на оси координат

7
Направляющими косинусами cosα, cosβ, cosγ вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей OX, OY и OZ соответственно.
(3)
Скалярное произведение двух векторов.
Имеются два вектора
Результатом скалярного произведения двух векторов и является скалярная величина (число) равное произведению длин векторов на косинус угла между их направлениями
Записывается скалярное произведение как или
Вычисляется скалярное произведение по формуле:
(4)
Рис. 8. Скалярное произведение векторов

8
Свойства скалярного произведения:
Векторное произведение двух векторов.
Имеются два вектора
Результатом векторного произведения двух векторов и называется такой вектор , который перпендикулярно к обоим этим векторам (т.е. перпендикулярен плоскости векторов и ), и направленный так, чтобы из точки конца вектора поворот вектора к вектору был виден против часовой стрелки (см. рис. 9). Можно еще сказать так, что вектор равный векторному произведению векторов и направлен согласно правилу правого винта при вращении первого вектора ко второму по кратчайшей дуге угла между их направлениями. Обозначается векторное произведение векторов символом или
Векторное произведение двух векторов это вектор
Рис. 9. Векторное произведение векторов
Длина (или модуль) векторного произведения равна произведению длин векторов на синус угла между ними

9
Свойства векторного произведения:
Векторное произведение двух векторов выражается через их координаты посредством определителя третьего порядка следующим образом:
.
(5)
или в развернутом виде:
В координатной форме записи эти соотношения имеют вид:
.
(6)
Полярные координаты на плоскости и цилиндрические
координаты в пространстве.
Многие задачи механики допускают более простой способ описания, если использовать их геометрическую симметрию. В таких случаях используются криволинейные системы координат на плоскости и в пространстве, обобщающие обычные декартовы координаты. Часто применяемой является полярная система координат на плоскости XY (см. рис. 10). Она состоит из фиксированной точки плоскости О (полярного
полюса), концентрических окружностей с центром в точке O и лучей с началом в точке O, один из которых (совпадающий с положительным направлением оси OX) называется полярной осью. Полярными координатами точки на плоскости называются два числа: полярный радиус
- расстояние от полярного полюса до наблюдаемой точки A и
полярный угол
- угол между полярной осью и лучом OA, направленным из полярного полюса в точку наблюдения.

10
Рис. 10. Полярная система координат на плоскости OXY
Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратном направлении. Обычно углы в полярной системе координат выражают не градусах, а в радианах. Традиционная область допустимых значений полярных координат такова:
Так, например, полярные координаты точки A на рис. 10 следующие:
. Это означает, что
Связь между привычными декартовыми xy-координатами точки A и ее полярными координатами дается соотношениями:
(7)

11
Обратное преобразование от декартовых к полярным имеет вид:
.
(8)
Для выбора значений полярного угла можно использовать формулу:
.
(9)
Орты полярной системы координат
(см. рис. 10) являются подвижными и меняют свое направление при изменении полярных координат. Поэтому при расчете многих кинематических величин в полярных координатах следует учитывать этот факт. Связь ортов полярной системы координат с ортами декартовой системы имеет вид.
.
(10)
Из этих формул получаем значения частных производных для ортов полярной системы координат.
.
(11)

12
Цилиндрическая система координат (см. рис. 11) в трехмерном пространстве основана на одновременном использовании полярных координат на плоскости XY и традиционной декартовой координаты для третьей пространственной оси Z. Поэтому координаты произвольной точки
M в цилиндрической системе задаются тремя числами
Разложение произвольного вектора по базису в цилиндрических координатах имеет вид: где правая тройка базисных ортов связана соотношениями:
Рис. 11. Цилиндрическая система координат в трехмерном пространстве
Сферическая система координат.
Сферическая система координат используется в задачах, обладающих симметрией вращений вокруг некоторой точки O – начала координат. В этой системе координат для описания положений тел в трех измерениях используются три числа
, которые называются следующим образом:
r – сферический радиус (расстояние до начала координат), θ – зенитный угол, φ – азимутальный угол. Эти названия углов пришли из астрономии.
Зенит – это направление вертикального подъёма некоторой выбранной точки
(точки наблюдения - M) по отношению к точке P – сферической проекции этой точки на так называемую фундаментальную плоскость (плоскость
OXY). Азимут – это угол между некоторым выбранным лучом в

13 фундаментальной плоскости (полярной осью или осью OX) и другим лучом этой же плоскости, образованным проекцией сферического радиуса на фундаментальную плоскость (луч OP).
Рис. 12. Сферическая система координат в трехмерном пространстве
Зенитный угол θ изменяется в диапазоне от нуля до пи:
, а азимутальный угол φ, фактически совпадающий с полярным углом в цилиндрической системе координат, изменяется в диапазоне от нуля до двух пи:
Связь между обычными декартовыми xyz -координатами точки M и ее сферическими
-координатами дается соотношениями:
.
(12)
Связь сферического радиуса r с полярным радиусом ρ в цилиндрических координатах имеет вид
. Формулы обратных преобразований от декартовых координат к сферическим можно записать так:
(13)
Орты сферической системы
(см. рис. 11) также являются подвижными и меняют свое направление при изменении точки наблюдения.
Связь ортов сферической системы координат с ортами декартовой системы имеет вид.

14
.
(14)
Эти формулы используются при получении кинематических соотношений для скорости и ускорения тел в сферической системе координат. Изменение направления ортов сферической системы координат при повороте радиус-вектора можно проследить через значения частных производных:
(15)
.
(16)
Все частные производные ортов по сферическому радиусу r равны нулю, поскольку при увеличении расстояния от начала координат до точки наблюдения вдоль направления радиус-вектора направления ортов не изменяются.

15
Раздел 2. Кинематика
Введение
Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются движения материальных объектов, таких как точка и твердое тело, без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение.
Такое изучение движения материальных объектов не требует учета материальных характеристик этих объектов, таких как масса, моментов инерции и т.п. Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени.
Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов. Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково. В курсе теоретической механики кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела.
Способы задания движения.
Способы задания движения.
Движение точки можно изучать, используя любую систему координат.
Известны наиболее распространенных три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.
Рис. 13. Траектория движения точки в выбранной системе координат