Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

16
Векторный способ.
Для начала рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат. Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета задано, если известен радиус-вектор этой точки как функция времени, т.е.
(17)
Векторный способ обычно применяется для теоретического изложения кинематики точки. При этом способе описания движения необходимо задавать некоторую векторную функцию времени, которая состоит из трех обычных числовых функций в выбранной системе координат.
Координатный способ.
Движение точки можно изучать, используя любую систему координат.
Для декартовой прямоугольной системы координат движение точки считается заданным, если известны координаты точки, как непрерывные и дифференцируемые функции времени:
.
(18)
Уравнения траектории движения точки задается формулами (99) в параметрической форме. Параметром является время - t. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме нужно исключить параметр t.
Получаются уравнения двух поверхностей:
Пересечение этих поверхностей дает кривую в пространстве – траекторию точки.
Естественный способ задания движения.
Естественным способом задания движения удобно пользоваться в том случае, когда траектория точки заранее известна. При естественном способе задания движения задаются траектория точки и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета. Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории некоторую точку О, принимаемую за начало отсчета. Кроме того, необходимо задать положительное направление отсчета расстояний по заданной траектории.

17
Рис. 14. Задание положения точки на дуге траектория движения в
выбранной системе координат
Таким образом, при естественном способе задаются: а) траектория точки; б) начало отсчета (точка О) криволинейной координаты s; в) положительное и отрицательное направления отсчета координаты s; г) закон движения точки по траектории, т. е, закон изменения криволинейной координаты.
.
(19)
Функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде:
.
(20)
Интегрируем это выражения в конечных пределах и находим:
(21) где
.
(22)

18
Здесь и везде в дальнейшем точкой будет обозначаться производная от функции по времени. Такое обозначение является общепринятым в теоретической механике.
Кинематика материальной точки.
В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость и ускорение и методы их определения при различных способах задания движения. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета. Форма траектории может быть прямолинейной или криволинейной и зависит от выбранной системы координат.
Скорость точки.
Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета. Вектор скорости характеризует как быстро, и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. При векторном способе задания движения скорость точки определятся производная радиус-вектора точки по времени.
Рис. 15. Средняя и мгновенная скорость движения точки в выбранной
системе координат

19
Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в некоторый момент времени t определяется радиус-вектором
В другой момент времени точка займет положение М1 с радиус-вектором За время радиус- вектор движущейся точки изменится на
Средней скоростью называется отношение изменения радиус- вектора к изменению времени
.
(23)
Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус- вектора.
.
(24)
С практической точки зрения, чтобы рассчитать производную от векторной функции по времени, разложим радиус-вектор точки по ортам декартовой системы координат (17) и, учитывая постоянство базисных ортов получим:
.
(25)
С другой стороны декартовы координаты вектора скорости имеют вид:
(26)
Из сравнения формул (25) и (26) следует, что проекции вектора скорости в декартовой системе координат равны производным функций зависимости соответствующих координат точки от времени.

20
.
(27)
Модуль вектора скорости и направляющие косинусы равны:
(28)
.
(29)
Если движение плоское, то можно выбрать плоскость OXY совпадающей с плоскостью движения точки, тогда и формула (110) упрощается:
(30)
Для случая движения точки вдоль одной прямой (прямолинейное движение вдоль оси OX) и формула (28) становится совсем простой:
.
(31)

21
Скорость точки при естественном способе задания движения.
Вычислим скорость точки при естественном способе задания ее движения, т.е. когда заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s = s(t).
Рис. 16. Вектор средней и мгновенной скорости при движении точки вдоль
траектории
Вычислим производную от радиус-вектора по времени, как производную от сложной функции зависящей от дуговой координаты вдоль траектории s(t).
(32)
Величина представляет собой единичный вектор направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний s(t). Тогда можно записать
.
(33)

22
Скалярная величина
, представляющая собой проекцию вектора скорости точки на касательную к ее траектории, называется алгебраической скоростью
точки. Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной.
При направления векторов и совпадают, вектор скорости направлен по т.е. в сторону возрастающих расстояний. Если то направления векторов и противоположны, и тогда точка движется в сторону убывающих расстояний.
Модуль вектора скорости равен модулю ее алгебраической скорости
Ускорение точки.
Ускорение – это величина, характеризующая, как быстро и в каком направлении меняется скорость точки. Рассмотрим формулу для получения ускорения при векторном способе описания движения.
Пусть движущаяся точка М в некоторый момент времени имеет скорость
. В другой момент времени
, эта точка будет занимать положение М1 и иметь скорость
Чтобы изобразить приращение скорости за время
, перенесем вектор параллельно самому себе в точку М (см. рис. 17).

23
Рис. 17. Приращение вектора скорости. Вектор среднего и мгновенного
ускорений
Средним ускорением точки за время называется отношение вектора приращения скорости к изменению времени
(34)
Ускорением точки в момент времени t называется предел, к которому стремится среднее ускорение, при
, стремящемся к нулю.
Ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки или второй производной по времени от радиус-вектора.
(35)
Ускорение точки в декартовых координатах.
Продифференцируем формулы (25). (26) по времени и получим:
(36)
(37)

24
Сравнивая, эти формулы с разложение вектора ускорения по осям декартовой системы координат, находим
.
(38)
Проекции вектора ускорения на оси декартовой системы координат равны вторым производным по времени от соответствующих координат этой точки.
Модуль вектора ускорения и направляющие косинусы равны:
.
(39)
.
(40)
Если движение плоское, то выбрав плоскость OXY совпадающей с плоскостью движения точки, и учитывая, что
, упрощаем формулу (39):
.
(41)
Для прямолинейного движения точки вдоль координатной оси OX, имеем:
.
(42)

25
Ускорение точки при естественном способе задания движения.
Подставим скорость точки из формулы (33) и в соответствии с определением ускорения (35) продифференцируем ее по времени:
(43)
Производную от касательного вектора
(33) по времени будем вычислять как производную от сложной функции:
(44)
Рассмотрим в отдельности каждого из сомножителей, входящих в эту формулу. При перемещении тела по траектории движения из точки М в точку
М1 происходит также изменение касательного вектора к кривой на (см. рис. 18). Допустим, что бесконечно малое смещение на расстояние ММ1. равно
Δs.
Чтобы вычислить изменение касательного вектора перенесем вектор в точку М1. Угол между векторами и называется углом смежности и обозначается как Δφ. Модуль вектора равен величине угла смежности выраженного в радианах. При бесконечно малом значении Δs длина вектора равна длине малой дуги окружности радиуса с центром в точке M, соединяющей концы векторов и поэтому вектор
.
(45)
будет иметь длину равную единице
Этот вектор называется вектором нормали, т.к. он перпендикулярен к кривой (траектории движения) в данной точке наблюдения. Единичный вектор нормали n всегда ортогонален вектору , и направлен в сторону вогнутости траектории.

26
Рис. 18. Изменение касательного вектора при изменении положения
точки M на траектории движения
Второй сомножитель в формуле (44) определяет такое важное понятие, как кривизна траектории движения. Проведем в точке M и в рядом лежащей точке M1 вектора нормалей
(см. рис. 19). Продолжим направления, задаваемые векторами нормалей, до их пересечения в некоторой точке O.
Тогда при бесконечно близком расположении точек M и M1 можно считать, что часть кривой линии, траектории движения от M к M1, практически совпадает с дугой окружности с центром в точке O и некоторым радиусом R.
Связь R с углом смежности Δφ и длиной дуги Δs фактически можно считать определением для радиуса кривизны произвольной пространственной кривой в данной точке наблюдения.
Рис. 19. Радиус кривизны траектории движения

27
Радиусом кривизны пространственной кривой в некоторой точке М называется предел, к которому стремится отношение расстояния Δs между соседними точками на кривой к величине угла смежности Δφ, в том случае, когда расстояние между точками Δs стремится к нулю
.
(46)
Теперь ясно, что второй сомножитель в формуле (44) равен величине обратной к радиусу кривизны траектории, которую еще часто называют просто кривизной траектории:
.
(47)
Подставляем формулы (45) и (47) в (44) и получаем:
(48)
Тогда общая формула для ускорения в естественных координатах (43) принимает вид:
.
(49)
Первая часть полного ускорения точки
(50)
называется тангенциальной или касательной составляющей
ускорения. Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости движения. Тангенциальное ускорение возникает при изменении алгебраической скорости движения точки:

28
Другая часть ускорения
(51)
называется нормальной составляющей ускорения. Она всегда направлена внутрь вогнутости траектории, т.е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали
Нормальная составляющая ускорения отвечает за изменение направления движения тела.
Каждый раз, когда вектор скорости поворачивается во время движения, возникает нормальная составляющая у полного ускорения, связанная с радиусом кривизны такого поворота.
Поскольку нормальная и тангенциальная составляющие ускорения всегда взаимно ортогональны, то модуль полного ускорения точки можно найти по теореме Пифагора:
,
(52)
где проекции ускорения на естественные оси равны:
.
(53)
Угол между вектором полного ускорения точки и вектором скорости можно найти по формуле
(54)

29
Вычисление проекций ускорения точки на естественные оси.
Допустим, что движение точки задано в декартовой прямоугольной системе координат. Проекция ускорения на касательную к траектории равна
, и равна производной от алгебраической скорости. В свою очередь алгебраическая скорость с точностью до знака равна модулю скорости а модуль скорости определяется формулой (28). Дифференцируем (28) по времени и находим тангенциальное ускорение точки, выраженное через ее декартовы координаты:
.
(55)
Нормальная составляющая ускорения может быть вычислена при помощи формул (56) и (39)
.
(56)
Радиус кривизны траектории в произвольной точке находим с помощью формул (56) и (28):
(57)
Или в виде:

30
В частности, для плоского движения вдоль некоторой кривой линии, заданной явным уравнением радиус кривизны траектории в точке с абсциссой x и ординатой y(x) можно вычислить по формуле:
Скорость и ускорение точки в полярных координатах.
Рассмотрим движение точки в плоскости OXY. В этом случае движение можно описывать в полярных координатах. Положение движущейся точки М на плоскости известно, если заданы полярный радиус ρ и полярный угол φ как функции времени:
.
(58)
Эти уравнения называются уравнениями движения точки в
полярных координатах. Если из уравнений (58) исключить время t, то получим уравнение траектории в полярных координатах: или
Чтобы получить выражение для скорости тела в полярных координатах представим радиус-вектор точки в виде где
- единичный орт полярной системы координат (10).

31
Дифференцируем эту формулу по времени и, с учетом формулы (11), получаем.
(59)
Получено разложение вектора скорости точки в полярных координатах на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие:
,
(60)
где
- радиальная скорость;
- трансверсальная скорость.
Модуль вектора скорости равен:
.
(61)
По аналогии с вычислением скорости точки в полярной системе координат определим ускорение точки. Для этого дифференцируем формулу
(59) по времени, учитывая непостоянство ортов полярной системы координат.
Значения производных от ортов по времени равны:
После простейших преобразований получаем разложение ускорения на радиальную и трансверсальную составляющие.

32
.
(62)
Проекции вектора ускорения на оси полярной системы координат:
(63)
радиальная проекция ускорения
(64)
трансверсальная проекция ускорения
(65)
Модуль вектора ускорения может быть вычислен из формул (64), (65) по теореме Пифагора
.
(66)
Приведем также без вывода формулы для радиуса кривизны плоской траектории, заданной в полярных координатах уравнением
(67)
или в эквивалентном виде через переменную Бине