Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

185
Исключаем из этих выражений время t и получаем:
.
(492)
Это уравнение эллипса. Его полуоси зависят от амплитуды и циклической частоты. Таким образом, фазовый портрет гармонических колебаний представляет собой семейство эллипсов (см. рис. 81).
Рис. 81. Фазовый портрет гармонических колебаний
Вынужденные колебания без учета сил сопротивления
движению.
Рассмотрим движение точки под действием двух сил: одна восстанавливающая
Fx = -k · x, а другая вынуждающая сила, зависящая от времени по закону:
,
(493)
где
F0 - амплитуда возмущающей силы, а Ω - циклическая частота возмущающей силы.

186
Рис. 82. Вынужденные гармонические колебания
Дифференциальное уравнение движения материальной точки массы
m, закрепленной на упругом элементе, под действием возмущающей гармонической силы имеет вид неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:
.
(494)
Частное решение неоднородного уравнения (494) будем искать при помощи подстановки:
.
(495)
Вычисляя производные от функции x(t) и сокращая обе части на cos(Ωt), получаем алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний A(Ω):
(496)
Решаем это уравнение и находим амплитуду вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонической внешней силы:
(497)
где
- частота собственных свободных колебаний тела.
Таким образом, под действием вынуждающей силы тело колеблется с частотой равной частоте вынуждающей силы Ω и амплитудой A(Ω), которая зависит от частоты вынуждающей силы согласно формуле (497). Построим график зависимости модуля амплитуды A(Ω) от частоты возмущающей силы Ω.

187
Рис. 83. Резонансная кривая для незатухающих гармонических колебаний
Модуль амплитуды вынужденных колебаний A(Ω) возрастает от при Ω = 0 до плюс бесконечности при Ω → ω0 - ε и убывает от плюс бесконечности при Ω → ω0 + 0 до нуля при Ω → ∞. Явление неограниченного возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота возмущающей силы Ω стремится к частоте собственных колебаний системы ω0, называется резонансом. На практике амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает не до бесконечности, а до некоторых больших конечных значений, конкретные значения которых будут вычислены в следующем параграфе.
Свободные колебания с вязким сопротивлением.
Модель свободных гармонических колебаний без учета сил сопротивления движению имеет весьма ограниченную область применимости. Как правило, силы трения приводят к тому, что амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и рано или поздно колебательное движение прекращается. Чтобы описать процесс затухания колебаний в дифференциальные уравнения движения вводятся диссипативные силы трения. Наиболее простая модель колебаний с силами трения использует понятие о демпферах, устройствах которые создают силу сопротивления движению пропорциональную скорости:
Коэффициент пропорциональности b называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом вязкого сопротивления.

188
Дифференциальное уравнение движения материальной точки, закрепленной на упругом элементе с восстанавливающей силой
F= -k · x и демпфере, имеет вид:
.
(498)
Рис. 84. Затухающие гармонические колебания с вязким трением
Введем в рассмотрение циклическую частоту незатухающих колебаний ω0 и декремент затухания γ
(499)
при помощи которых дифференциальное уравнение затухающих колебаний запишется в виде:
(500)
Решения уравнения (500) ищем через подстановку и получаем характеристическое уравнение, определяющее закон движения тела:
(501)

189
В зависимости от того, какие значения принимают параметры задачи, возможны различные типы решений:
Первый случай: Слабое трение.
Корни характеристического уравнения равны: и тогда решения дифференциального уравнения (500) имеют вид:
,
(502)
где
- циклическая частота затухающих колебаний;
- условная амплитуда;
>
- начальная фаза затухающих колебаний; которые связаны с начальными условия (484) соотношениями:
(503)
В данном случае предполагается, что декремент затухания значительно меньше частоты незатухающих колебаний γ « ω0. Тогда данный закон движения можно охарактеризовать как прежние гармонические колебания с плавно убывающей амплитудой и частотой немного меньшей частоты свободных незатухающих колебаний (см. рис. 85).

190
Рис. 85. График затухающих гармонических колебаний
Период затухающих колебаний оказывается немного больше аналогичного периода незатухающих колебаний:
(504)
Для того чтобы охарактеризовать насколько сильно влияние сил трения на колебательное движения вводится понятие логарифмического
декремента затухания, который представляет собой безразмерное число равно логарифму отношения амплитуд колебаний, взятых ровно через один период:
(505)
У незатухающих колебаний
. Чем больше значение логарифмического декремента затухания, тем сильнее влияние сил трения на колебательный процесс. Величине можно еще дать несколько иную интерпретацию. Логарифмический декремент затухания равен числу, обратному количеству периодов N, в течение которых амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз:
Фазовая траектория затухающих колебаний приведена на рис. 86. Вид этой траектории напоминает спираль, которая постепенно закручивается и приближается к началу координат. Амплитуда колебаний плавно уменьшается, и точка на фазовой траектории движется по фигурам близким к эллипсам, полуоси которых медленно стремятся к нулю.

191
Рис. 86. Фазовая траектория затухающих гармонических колебаний
Второй случай: Сильное трение
.
Это критическое соотношение между параметрами задачи, при котором исчезает колебательное движение, и тело из начального положения медленно движется к точке равновесия x=0. Корни характеристического уравнения при этом совпадают
, и закон движения имеет вид:
.
(506)
Третий случай: Очень сильное трение
Корни характеристического уравнения отрицательны: и решения имеют вид непериодического движения из начальной точки к положению равновесия.
.
(507)
Графики законов движения тела для второго и третьего случаев приведены на рис. 87.

192
Рис. 87. Характерный вид законов движения тела в среде с большим
вязким трением
Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.
Рассмотрим движение тела под действием трех сил: F = - k· x
- восстанавливающая сила, FD = - b · x - сила демпфирования (сила вязкого сопротивления), и третья гармоническая возмущающая сила:
, где
- амплитуда возмущающей силы;
- круговая частота вынуждающих внешних колебаний.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний тела массы m, закрепленного на упругом элементе и демпфере, под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:
.
(508)
Для решения данного уравнения запишем его в комплексном виде
(509)
и будем искать решение задачи, используя подстановку:

193
Закон движения материальной точки будет равен вещественной части полученного таким образом комплексно-значного решения. Подставляя x(t) в дифференциальное уравнение (509) получаем алгебраическое уравнение для нахождения комплексно-значной амплитуды вынужденных колебаний.
.
(510)
Используя введенные ранее обозначения (499), запишем амплитуду установившихся колебаний в следующем виде:
(511)
где тангенс угла сдвига фаз между колебаниями вынуждающей силы и колебаниями материальной точки определяется формулой:
(512)
Таким образом, колебания тела под действием вынуждающей силы при наличии сил вязкого трения будут происходить по закону с частотой вынуждающей силы и амплитудой
, зависящей от частоты вынуждающей согласно соотношению:
(513)
Построим график зависимости модуля амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы .

194
Рис. 88. Резонансная кривая для затухающих гармонических колебаний с
вязким трением
Модуль амплитуды вынужденных колебаний резко возрастает при резонансной частоте
При этом резонансная частота практически совпадает с частотой свободных затухающих колебаний в том случае, когда силы трения сравнительно малы
Отношение амплитуды вынужденных колебаний в точке резонанса к амплитуде при нулевой частоте называется Q – добротностью колебательной системы. Вычисляем добротность.
(514)
(515)
(516)
(517)

195
Таким образом, при малых затуханиях добротность колебательной системы приближенно равна отношению числа к логарифмическому декременту затухания.
Рабочая тетрадь
Введение
Рабочая тетрадь вместе с учебно-методическим пособием по дисциплине «Теоретическая Механика», методическими указаниями по изучению дисциплины и самостоятельной работе, методическими указаниями по практическим работам составляет учебно-методический комплекс. В рабочей тетради выдержана та же последовательность рассмотрения вопросов, что и в учебно-методическом пособии. Материал представлен в порядке изучения тем.
Задача 1.
Лодку, уносимую течением реки, подтягивают к причалу, находящемуся в точке в точке A при помощи нерастяжимой веревки. Один конец веревки закреплен на причале, а второй конец веревки находится в лодке. Скорость течения реки постоянна по всей ее ширине и равна u=1 м/с.
Скорость, с которой выбирают веревку, наматывая ее на барабан на причале, постоянна и равна c= 2 м/с. В начальный момент времени веревка образовывала прямой угол с береговой линией, которая была удалена от нее на расстояние H =20 м. Требуется найти уравнение траектории движения лодки относительно берега.
Решение:

196
Введем полярные координаты с полюсом в точке A и допустим, что относительная скорость лодки в системе отсчета, связанной с подвижной водой рана (см. рисунок). Тогда абсолютная скорость лодки относительно берега равна
Проектируем это уравнение на оси полярной системы координат и находим радиальную и трансверсальную компоненты вектора скорости:
(518)
(519)
По условию задачи поэтому
Подставляем эту формулу в (519) и получаем дифференциальное уравнение для полярного угла:
(520)
(521)

197
(522)
(523)
Исключаем время из уравнений и находим уравнение траектории движения лодки в полярных координатах:
(524)
Построим график траектории движения лодки относительно берега.
Из данного графика можно вычислить, что максимальное расстояние, на которое снесет лодку по течению реки равно xmax ≈ 3,43 м.

198
Задача 2.
Вал радиуса R=10 см приводится во вращение гирей P, привешенной к нему на нити (см. рисунок). Движение гири выражается уравнением
, где
x - расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах;
t − время в секундах.
Определить угловую скорость и угловое ускорение вала, а также полное ускорение точки M на поверхности вала в момент t = 2 c.
Решение:
По заданному уравнению движения гири находим ее скорость и ускорение
(525)

199
Линейная скорость точки M, лежащей на поверхности вала, равна скорости гири, а ускорение гири определяет вращательную (тангенциальную) составляющую полного ускорения точки
(526)
Нормальная (центростремительная) часть ускорения точки M выражается через ее скорость соотношением:
.
(527)
Модуль вектора полного ускорения точки М находим по теореме
Пифагора:
.
(528)
Подставляем в эти формулы момент времени t = 2 с и находим