Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 226
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
33
Скорость и ускорение точки в сферических координатах.
Радиус-вектор точки в сферической системе координат записывается через орты достаточно просто:
Для нахождения компонент скорости точки в сферических координатах нужно продифференцировать эту формулу по времени. Учтем сложную зависимость орта от времени.
Получаем
(68)
Вектор скорости разложен на радиальную, зенитную и азимутальную составляющие:
.
(69)
Компоненты вектора скорости в сферических координатах выражаются через производные от сферических координат следующим образом:
(70)
Чтобы найти компоненты вектора ускорения нужно продифференцировать формулу (68) по времени и учесть сложную зависимость от времени всех трех ортов
34
После несложных алгебраических преобразований получаем окончательное разложение вектора ускорения на радиальную, зенитную и азимутальную составляющие:
,
(71)
где
(72)
(73)
.
(74)
В более компактном виде формулы (72) и (73) можно записать следующим образом:
(75)
.
(76)
Модули векторов скорости и ускорения в сферических координатах вычисляются обычным образом, как и в любой другой ортонормированной системе координат.
(77)
(78)
35
Раздел 3. Кинематика твердого тела
Введение
Абсолютно твердым телом называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.
Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:
1. Задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом.
2. Определение кинематических характеристик (траектория, скорость и ускорение) движения отдельных точек тела.
Существует пять видов движения твердого тела:
1. поступательное движение;
2. вращение вокруг неподвижной оси;
3. плоское движение;
4. вращение вокруг неподвижной точки;
5. свободное движение.
Первые два движения называются простейшими движениями твердого тела.
Степени свободы твердого тела.
Числом степеней свободы твердого тела называется число независимых параметров, которые однозначно определяют положение тела в пространстве относительно рассматриваемой системы отсчета. Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы. Рассмотрим следующий пример. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (см. рис 20 а), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис. 20 б), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол поворота φ диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис. 20 в), то число степеней свободы становится равным трем , к переменным x и φ добавляется еще угол поворота рамки
36
Рис. 20. Степени свободы движения твердого тела
Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы: например декартовы координаты x, y и z. Координаты точки могут определяться также в цилиндрической (ρ, φ, z) или в сферической (r, θ, φ) системах координат, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три.
Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат OXY, то координаты x и y однозначно определяют положение точки. Свободная материальная точка на поверхности любого вида также имеет две степени свободы. Например: положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами: широтой и долготой. Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета.
Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l. Положение каждой точки определяется тремя параметрами, но на них наложена связь. Уравнение
l2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 - (z2 - z1)2 является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров). Поэтому эти две точки имеют пять степеней свободы.
37
Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями. Число степеней свободы этих точек равно шести. Свободное твёрдое тело в общем случае также имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы отсчета, определяется заданием трех его точек, не лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях.
Согласно выше сказанному, число степеней свободы должно быть равно шести.
Поступательное движение твердого тела.
Поступательным движением твёрдого тела называется такое его
движение, при котором любая прямая, жёстко скреплённая с телом,
остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый
момент
времени.
Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно самого двигателя, кабины колеса обозрения в парках (см. рис. 21) относительно Земли. Траектории точек у поступательно движущегося твердого тела могут быть не только прямыми, но и кривыми, в том числе окружностями.
Рис. 21. Поступательное движение твердого тела. Траектории движения
точек твердого тела – окружности
При поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Что убедиться в истинности данного утверждения выберем две точки твердого тела A и B (см. рис. 22).
Радиус-векторы этих точек связаны соотношением
(79)
38
Траектория точки A - это кривая, которая задается некоторой векторной функцией
Траектория точки B задается другой функцией
Траектория точки B получается параллельным переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора который при поступательном движении не меняет своей величины и направления. Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.
Продифференцируем выражение (79) по времени. Получаем
(80)
поскольку производная от постоянного вектора равна нулю.
Продифференцируем формулу (80) еще раз по времени скорости и получим связь ускорений:
(81)
Рис. 22. Траектории точек твердого тела при поступательном движении
Таким образом, мы установили, что скорости и ускорения всех точек твердого тела при поступательном движении одинаковы.
Поступательное движение твёрдого тела полностью характеризуется движением одной любой его точки. Твёрдое тело при поступательном движении имеет три степени свободы. Для задания поступательного движения твердого тела в декартовой системе координат достаточно знать лишь три координаты x(t), y(t), z(t) любой из его точек. Функции x(t), y(t),
z(t) называются уравнениями поступательного движения твердого тела.
39
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на этой прямой. Эта прямая называется осью
вращения тела.
Допустим, что точки A и B неподвижны (см. рис. 23). Направим ось OZ вдоль оси вращения AB. Через ось вращения проведём неподвижную плоскость Π0 и подвижную плоскость Π, жестко скреплённую с вращающимся телом. Будем считать, что в начальный момент времени (при
t = 0) плоскости Π и Π0 совпадают. Положение плоскости Π и самого тела определяется двугранным углом между плоскостями Π и Π0. Обозначим его буквой .Угол называется углом поворота вращающегося твердого тела.
Положение твердого тела относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени однозначно определяется, если задано значения угла поворота , т.е. уравнение
,
(82)
где
- некоторая функция времени.
Формула (82) называется уравнением вращения твёрдого тела
вокруг неподвижной оси.
Рис. 23. Вращательное движение твердого тела. Ось вращения – прямая
AB
40
У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, имеется лишь одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра – угла поворота
. Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях перпендикулярных оси вращения. Для описания вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси используются также понятия угловой скорости и углового ускорения.
Алгебраической угловой скоростью вращениятвердого тела в некоторый момент времени называется первая производная от угла поворота в этот момент времени.
.
(83)
Угловая скорость является положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота при этом возрастает, и отрицательной
– при вращении тела по часовой стрелке, поскольку при этом угол убывает. Измеряется угловая скорость в обратных секундах (или радианах в секунду) ибо по определению:
(84)
В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернётся на угол 2 · π · n, где n - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим
(85)
Алгебраическим угловым ускорением вращения твердого тела называется первая производная по времени от угловой скорости, или вторая производная от угла поворота .
.
(86)
41
Единицей измерения углового ускорения является обратная квадратная секунда, поскольку согласно определению:
(87)
Введем также понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела :
(88)
где
- единичный вектор (орт) оси вращения AB.
Векторы и можно изображать в любых точках оси вращения, они являются скользящими векторами.
Алгебраическая угловая скорость и алгебраическое угловое ускорение это соответствующие проекции векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения (см. рис. 24). Рассмотрим примеры различных направлений векторов и
Рис. 24. Вектора угловой скорости и углового ускорения при вращательном
движении твердого тела
42
Если и
, то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). Направление векторов и совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения OZ (первый эскиз на рис. 24).
При и тело вращается ускоренно в отрицательную сторону
(по часовой стрелке). Направление векторов и совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения OZ (второй эскиз на рис.
24).
Если и
, то имеем замедленное вращение против часовой стрелки. Векторы и направлены в противоположные стороны (третий эскиз на рис. 24).
Наконец, если и
, то имеем замедленное вращение в по часовой стрелке. Векторы и направлены в противоположные стороны.
Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения (если нельзя изобразить вектора).
Дуговая стрелка для угловой скорости указывает направление вращения тела, а дуговая стрелка для углового ускорения – направление, в котором увеличивается алгебраическая угловая скорость. Для ускоренного вращения дуговые стрелки для угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые направления, для замедленного их направления противоположны.
Примеры вращений твердого тела.
Вращение называется равномерным, если его угловая скорость постоянна,
. Так как
Интегрируем это уравнение с начальным условием: и получаем:
(89)
43
Равнопеременное вращение.
Вращение называется равноускоренным, если его угловое ускорение постоянно и больше нуля,
. Вращение называется равнозамедленным, если его угловое ускорение постоянно и меньше нуля, т.е.
. Так как то
Интегрируем это уравнение с начальными условиями и получаем:
(90)
Интегрируем формулу для угла поворота и находим:
.
(91)
Скорости и ускорения точек тела при вращении.
Перейдем к изучению движения отдельных точек при вращении твердого тела. Допустим, что нам известно уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
. Рассмотрим какою-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. При вращении твердого тела точка М будет двигаться по дуге окружности радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр О лежит на самой оси (см. рис. 25). За время dt происходит элементарный поворот тела на угол
, при этом точка М перемещается вдоль своей траектории на расстояние