Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

ответы
к задаче:
Задача 3.

200
Грузовик массой m = 3 тонны развивает максимальную скорость равную vmax = 144 км/час. Время его разгона с места до скорости v0 = 72 км/час равно t0 = 20 с. Сила сопротивления движению пропорциональна скорости.
Чему равна средняя сила тяги двигателя грузовика?
Решение:
Ось OX системы координат принимаем горизонтальной, начало координат помещаем в начальное положение грузовика. Изображаем грузовик в некоторый промежуточный момент движения. На него действует сила тяжести mg, сила сопротивления R = kv, пропорциональная скорости v, с неизвестным пока коэффициентом k, неизвестная сила тяги F и сила реакция опоры N со стороны дорожного покрытия. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось OX:
,
.
(529)
Интегрируем уравнение движения. Так как правая часть уравнения является функцией скорости, то получаем уравнение с разделяющимися переменными t и v:
(530)
(531)

201
Находим искомую силу тяги F грузовика, считая ее постоянной. Для этого используем все имеющиеся в задаче данные. Известна максимальная скорость vmax = 144 км/час. Необходимым условием экстремума функции v = v(t) является равенство или как следует из уравнения (529) F - k · vmax = 0. Отсюда:
Подставляем это соотношение в (531), и находим
(532)
откуда, при t = t0 и v(t0) = v0, получаем среднюю силу тяги грузовика
(533)
Задача 4.

202
Веревка DABC, перекинутая через блок, закреплена одним концом С неподвижно; ко второму концу D этой веревки подвешен груз М весом Q,
Найти давление, передаваемое на ось блока, и угол, который сила давления образует с горизонталью. Угол между веревкой ВС и горизонталью задан и равен α.
Решение:
В точке А к блоку приложена сила T1 натяжения веревки AD, а в точке
В — сила T2 натяжения веревки ВС, причем эти две силы по величине равны, так как натяжение веревки DABC во всех ее точках одинаково. Продолжим прямые AD и ВС до пересечения в точке Е и перенесем силы T1, и T2 по линиям их действия в эту точку Е. Тогда получим две равные силы T1, и T2.,
пересекающиеся под углом 90°– в точке Е. Найдем их равнодействующую, для чего построим на этих силах параллелограмм. Так как эти силы равны, то полученный параллелограмм является ромбом и равнодействующая направлена по биссектрисе угла AEB, т. е. проходит через точку О. Величину этой равнодействующей найдем по формуле для длины диагонали ромба:
(534)
Так как сила натяжения T1, веревки AD равна весу груза М, то Tl = Q
= Mg, а потому
(535)
Сила R и есть искомое давление, передаваемое на ось вращения блока.
Теперь находим угол β между силой R и горизонталью:
.
(536)

203
Задача 5.
Определить перемещение плавучего крана, поднимающего груз весом
Р1 = 20 кН, при повороте стрелы крана на = 30° до вертикального положения. Вес крана Р2 = 200 кН, длина стрелы l = OA = 8 м.
Сопротивлением воды пренебречь.
Решение:
В данной задаче имеем систему, состоящую из двух тел: плавучего крана и груза; внешними силами, приложенными к этой системе, являются вес крана Р2 вес груза Р1, и вертикальное давление воды, направленное снизу вверх (архимедова сила). Так как все эти внешние силы вертикальны, то сумма их проекций на горизонтальную ось х равна нулю. Кроме того, в начальный момент система неподвижна, поэтому, применяем закон сохранения проекции импульса на горизонтальную ось, получим
,
(537)
где
v1x и v2x — проекции на ось х абсолютных скоростей груза и плавучего крана;
m1 и m2 соответственно их массы.
Заменяя v1x и v2x на производные от x-координат по времени
,

204
(538)
где
х1 и х2 — соответственно абсциссы груза и центра тяжести крана.
Получим:
,
(539)
или, интегрируя, находим:
,
(540)
где
x01 и х02 – абсциссы груза и центра тяжести крана в начальный момент.
Причем, как видно из рисунка,
.
(541)
В момент, когда стрела займет вертикальное положение, абсцисса x1, груза будет равна перемещению s крана; следовательно x1 = s, в этот момент имеем:
(542)
или
(543)
так как,

205 то
,
(544)
откуда находим
(545)
Знак минус указывает на то, что кран переместился влево.
Задача 6.
Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонтальному рельсу.
Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние
s, если вертикальная нагрузка на ось колеса равна Р и коэффициент трения качения равен fk.
Решение:
Трение качения возникает, как известно, вследствие деформаций колеса и рельса. Момент пары трения качения по закону Кулона будет равен
.
(546)
Так как эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению, то работа трения качения будет отрицательна и равна произведению постоянного момента Mk угол поворота
φ колеса:
(547)

206
При качении колеса без скольжения имеем:
Следовательно:
(548)
Отсюда в точном соответствии с законом Кулона для силы трения качения вытекает, что работу силы трения качения можно записать в виде:
(549)
где сила трения качения определяется формулой:
.
(550)
Задача 7.
Сплошной цилиндр радиусом R, опирается, как указано, на рисунке, на цилиндрические ролики A и В. Цилиндр вращается с угловой скоростью ω0 вокруг своей горизонтальной оси О. В некоторый момент ролики затормаживаются. Через сколько времени после этого цилиндр остановится, если коэффициент трения между цилиндром и роликами равен μ, а ∠ АОВ

207
Решение:
Внешними силами, приложенными к вращающемуся цилиндру, являются его вес Р, нормальные реакции N1. и N2. роликов и силы трения F1 и F2 между цилиндром и роликами, причем
Так как моменты сил Р, N1 и N2 относительно оси вращения О цилиндра равны нулю, то главный момент внешних сил относительно этой оси равен:
.
(551)
Дифференциальное уравнение вращательного движения цилиндра имеет вид
.
(552)
Найдем теперь силы N1 и N2; для этого, применяя теорему о движении центра масс системы, составим дифференциальные уравнения движения центра тяжести – точки О цилиндра:
(553)
.
(554)
Так как точка О неподвижна, то
, а поэтому
(555)
.
(556)

208
С учетом коэффициента трения скольжения эти уравнения можно записать в виде:
(557)
.
(558)
Исключая из этих уравнений разность (N1 - N2), получим:
(559) и, следовательно, уравнение динамики вращательного движения принимает вид:
.
(560)
Момент инерции цилиндра относительно его центра масс равен:
.
(561)
Подставляем (561) в формулу (560) и после сокращения на массу цилиндра получаем:
.
(562)
Интегрируя это уравнение, находим
.
(563)

209
Так как в момент остановки цилиндра ω = 0, то искомое время равно:
.
(564)
Задача 8.
Прямоугольная пластинка со сторонами a и b может вращаться без трения вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через ее середину и параллельной стороне b. На конце оси надет шкив С радиусом R, на который намотана гибкая нерастяжимая нить; другой конец нити перекинут через блок D, и к нему привязан груз весом Р, приводящий во вращение пластинку.
Пренебрегая массами шкива и блока, найти ускорение груза, если вес пластинки равен Q и никаких сопротивлений движению нет.
Решение:
Так как требуется определить ускорение груза, то для решения этой задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы тел: Изменение кинетической энергии системы тел T определяется работой внешних сил A.
.
(565)

210
Кинетическая энергия данной системы, состоящей из пластинки, вращающейся вокруг неподвижной оси z, и груза массы m, движущегося поступательно, равна:
,
(566)
где
J - момент инерции пластинки относительно оси вращения;
ω – ее угловая скорость;
v – скорость груза.
Так как нить нерастяжима, то скорость груза равна линейной скорости обода шкива, т. е., и, следовательно,
.
(567)
Момент инерции прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через ее центр масс равен:
,
(568)
где
M - масса пластинки.
Подставляем формулу (568) в (567) и выражаем кинетическую энергию системы тел через их веса:
(569)

211
При перемещении груза работу будет производить только сила Р (вес груза), поскольку сопротивлениями пренебрегаем. Сила Р и скорость груза v направлены по одной прямой в одну и ту же сторону, поэтому работа внешних сил равна:
(570)
Отсюда
(571)
Из последней формулы находим ускорения груза:
(572)
Следовательно, движение груза является равномерно ускоренным.
(573)
Задача 9.
Механическая система с идеальными стационарными связями имеет две степени свободы и состоит из цилиндра радиуса R, массой m1 и бруска массой m2 . К оси однородного цилиндра приложена горизонтальная сила F.
Цилиндр катится без проскальзывания по бруску массой. Трение между бруском и горизонтальным основанием отсутствует. Трением качения пренебречь. Найти ускорение центра масс цилиндра и ускорение бруска.

212
Решение:
Решаем задачу при помощи уравнений Лагранжа второго рода.
Выбираем две независимые переменные q1=x1 и q2=x2, однозначно описывающие положение системы. Пусть переменная x1 указывает положение центра цилиндра по отношению к неподвижной системе отсчета, а x2 — положение бруска относительно той же неподвижной системы отсчета. Направляем ось OX в сторону движения, т.е. направо.
Выражаем кинетическую энергию системы через обобщенные скорости
Кинетическую энергию всей системы представляем в виде суммы кинетических энергий цилиндра и бруска: Т = Т1 + Т2. Находим кинетическую энергию цилиндра, совершающего плоское движение:
.
(574)
Угловая скорость ω вращения цилиндра зависит от разности скоростей центра и точки касания. Так как цилиндр катится по бруску без проскальзывания, скорость точки касания равна скорости бруска v2, поэтому:
.
(575)

213
Подставляем в (574) момент инерции однородного цилиндра относительно его оси,
(576)
В результате получаем выражение для кинетической энергии цилиндра:
(577)
Кинетическая энергия бруска:
(578)
Кинетическая энергия всей системы:
(579)
Обобщенную силу Q1 вычисляем по формуле δA1 = Q1δx1 — элементарная работа всех сил на перемещении δx1. При вычислении элементарной работы δA1 на приращении обобщенной координаты δx1 фиксируется другая обобщенная координата, т.е. δx2= 0. Очевидно, что кроме силы F на таком перемещении ни одна сила работы не совершает, следовательно, δA1 = F1δx1 и Q1 = F. Аналогично, Q2 = 0.

214
Записываем уравнения Лагранжа
(580) и вычисляем входящие в них производные:
(581)
(582)
(583)
(584)
(585) где
,
- ускорения центра масс цилиндра и бруска. В результате уравнения Лагранжа принимают вид:
(586)
Решаем систему уравнений (586) и получаем:
(587)
.
(588)

215
Задача 10.
Тело M массой m = 5 кг., погруженное в жидкость, подвешено на пружине. Статическое удлинение пружины под действием веса этого тела равно lст = 0,87 см. Жесткость пружины равна k = 4900 Н/м Свободный конец пружины совершает вертикальные колебания около неподвижной точки B по закону где
yA = AB;
A = 5 см;
Сила вязкого сопротивления жидкости при движении груза пропорциональна его скорости где
Найти амплитуду вынужденных колебаний груза M.

216
Решение:
Выберем начало координат О в положении равновесия тела, предполагая при этом, что конец А пружины находится в точке B; тогда
BO = l0 + lст, где
l0 – длина недеформированной пружины;
lст – ее статическое удлинение.
Ось Y направим по вертикали вниз. В некоторый момент времени t, когда тело занимает положение с координатой y(t), длина пружины равна:
(589)
а ее удлинение
(590)
Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется через коэффициент жесткости пружины – k:
.
(591)
В начальный момент времени, когда y(0) = 0 сила упругости уравновешивает вес тела, равный разности между силой тяжести и силой
Архимеда, поэтому:
.
(592)
Запишем второй закон Ньютона, описывающий колебания тела M в жидкости под действием силы упругости Fупр, силы вязкого трения R и веса тела P:
(593)

217
Получаем стандартное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в механической системе с затуханием:
.
(594)
Вводим стандартные обозначения для параметров колебательной системы. Собственная частота незатухающих колебаний:
.
(595)
Декремент затухания:
.
(596)
Амплитуда внешней вынуждающей силы:
.
(597)
Тогда амплитуда вынужденных колебаний находится по известной формуле из теории колебаний:
(598)
Подставляем значения параметров: и находим амплитуду вынужденных колебаний:

218
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1.
Стержень AB длиной l поворачивается около точки B так, что угол изменяется по закону
Ползун B совершает гармонические колебания согласно уравнению
Определить уравнение траектории точки А.
Задача 2.
Груз М поднимается по наклонной плоскости при помощи ворота так, что проходимое им расстояние изменяется по закону см. Определить скорость и ускорение конца рукоятки A после одного оборота, если радиус барабана r = 27 см, а длина рукоятки l = 54 см.
Задача 3.
Парусная лодка весом P = 2000 Н движется со скоростью v0 = 1,5 м/с.