Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 229
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
174
Раздел 10. Классические задачи теоретической механики
Введение
В предыдущих главах было рассказано про различные способы описания движения механической системы, использующие дифференциальные уравнения разных типов: уравнения Ньютона, уравнения Лагранжа первого и второго рода, канонические уравнения
Гамильтона. Эти уравнения движения определяют действительные изменения состояния механической системы, если заданы начальные условия. В данной главе рассматривается практическое применение некоторых методов решения задач механики, на классических примерах движения конкретных механических систем.
Одномерное движение материальной точки в потенциальном
поле.
Проведем качественный анализ движения тела во внешнем силовом поле, зависящем только от координат и не зависящем от времени t.
Допустим, что данное силовое поле является потенциальным, и потенциальная энергия взаимодействия материальной точки зависит только от координаты x. Рассмотрим одномерное движение вдоль оси OX и. будем считать, что зависимость потенциальной энергии U(x) от координаты x нам известна. Эту функцию, U(x), называют потенциальной кривой, и от ее вида зависит конкретный вид уравнений движения. Ради общности рассуждений не будем конкретизировать явный вид этой функции, а попытаемся выявить общие закономерности законов движения точки на примере потенциальной кривой, изображенной на Рис. 75.
Рис. 75. Одномерное движение материальной точки в потенциальном
силовом поле U (x) при различных значениях энергии точки E1, E2, E3
175
Описать движение в данном случае можно в рамках механики
Лагранжа, записав и проинтегрировав уравнение движения частицы при помощи функции Лагранжа:
.
(467)
Поскольку функция Лагранжа (467) явно не зависит от времени, то имеем интеграл уравнений движения, механическую энергию системы.
.
(468)
Пусть заданы в начальный момент времени t=0 координата x0=x(0) и скорость v0=vx(0) материальной точки, тогда полную энергию можно выразить через эти величины:
.
(469)
Теперь при определенном значении энергии и можем написать выражения для скорости vx(t) и координаты x(t) точки в любой момент времени t:
.
(470)
Одним и тем же значениям координаты х могут соответствовать как положительные, так и отрицательные значения скорости. Конкретный выбор знака определяется начальными условиями, указывающими направление движения точек. Формула (470) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое может быть проинтегрировано в общем виде
(471)
176
.
(472)
Последнее соотношение задает в неявном виде закон движения материальной точки, который после вычисления интеграла в левой части формулы (472) может быть преобразован к виду: x = x (t, x0, v0).
(473)
Не указывая явного вида функции U(x), можно сделать некоторые общие выводы о характере движения. Из формулы (470) следует, что движение возможно лишь там, где выполняется неравенство
E - U(x) ≥ 0.
Данное соотношение указывает на область допустимых значений координат точки. В частности, если энергия точки равна E1, то движение точки является финитным, т.е. ограниченным в пространстве. Для этого случая область разрешенных значений координат точки удовлетворяет условию (см. рис. 76): xA ≤ x ≤ xB,
(474)
Рис. 76. Финитное движение материальной точки в потенциальном
силовом поле U(x) при энергии равной E1
177
Точки xA, xB, определяемые из уравнений
U (xA) = U (xB) = E1, называются точками поворота или точками остановки, поскольку скорость частицы в этих точках равна нулю: vA = vB = 0,
(475)
При этом ускорение и сила, действующая на тело в точках поворота не равна нулю, что вызывает изменение направления движения: m · αA = FA = -U′ (xA) > 0, m · αB = FB = -U′ (xB) > 0.
(476)
Таким образом, движение тела в потенциальном поле при энергии равной E1 носит характер периодически повторяющегося колебания между минимальным и максимальным значениями xA, xB. Точка равновесия xmin, являющаяся точкой локального минимума потенциальной энергии U(x), характерна тем, что в ней ускорение тела равно нулю. m · αmin = -U′ (xmin) = 0,
(477)
Однако скорость тела в положении равновесия не равна нулю, поэтому движение носит характер колебаний вокруг положения равновесия с периодом равным
(478)
Здесь уже учтено, что время tAB движения тела от точки A до точки B и время tBA, за которое точка возвращается назад от B к A, равны друг другу
tAB =tBA , поэтому период равен удвоенному времени движения
tAB : T = tAB + tBA = 2 ·tAB.
178
Рассмотрим теперь случай, когда энергия равна E2, и выясним, каков будет при этом характер движения.
Рис. 77. Движение материальной точки в потенциальном силовом
поле U(x) при энергии равной E2. Отражение точки от потенциального
барьера
Теперь также имеются две точки остановки U (xD) = U (xE) = E2 – точки D, E в которых скорость тела равна нулю: vD = vE = 0,
(479)
однако силы и ускорения в этих точках уже направлены в противоположные стороны по сравнению с предыдущим случаем. m · αD = FD = -U′ (xD) < 0, m · αE = FE = -U′ (xE) > 0.
(480)
Множество допустимых значений координат при движении тела распадается на две неперекрывающиеся области: x ≤ xD или x ≥ xE.
(481)
179
Характер движения можно охарактеризовать, как упругое отражение тела от непреодолимого силового барьера (запрещенная область xD ≤ x ≤ xE).
Например, если согласно начальным условиям, тело двигалось в отрицательном направлении оси OX из области x ≥ xE. Тогда по мере приближения к правой границе силового барьера, точке xE, скорость тела будет постепенно уменьшаться, и оно остановится в точке поворота xE.
После этого тело совершает «разворот» и начинает удаляться от силового барьера в область бесконечно больших положительных значений x. Если же тело подлетало к силовому барьеру из области x ≤ xD, двигаясь в положительном направлении оси OX, то подойдя к левой точке силового барьера, точке xD, тело «разворачивается» и удалятся в область бесконечно больших отрицательных значений x. В любом случае силовой барьер оказывается непреодолимым для тела с суммарной механической энергией равной E2.
Наконец в том случае, когда энергия тела превышает максимальное значение потенциальной энергии E3 > U(x) (см. рис. 75) движение приобретает характер инфинитного (неограниченного). Знак скорости больше не меняет своего значения, поскольку точек остановок теперь уже нет. Тело сохраняет направление своего первоначального движения, ускоряясь или замедляясь во время него. Точки максимума потенциальной энергии U(x) будут соответствовать минимальному значению скорости тела, а в точках минимума U(x) наоборот скорость тела будет наибольшей.
Рис. 78. Движение материальной точки в потенциальном силовом
поле U(x) при энергии равной Emax. Неустойчивое равновесие
180
Особый интерес представляет собой случай, когда суммарная механическая энергия тела в точности равна максимальному значению потенциальной энергии (см. рис. 78). При таком движении точка максимума потенциальной энергии U(x), точка xmax, является одновременно и точкой остановки (скорость равна нулю vmax = 0), и точкой равновесия (ускорение равно нулю amax = 0). Таким образом, попав в эту точку, тело останавливается и прекращает дальнейшее движение. Однако в отличие от точки минимума потенциальной энергии xmin, которая также является точкой равновесия, точка xmax, соответствует так называемому
1 2 3 4 5 6 7 8
неустойчивому
равновесию.
Любое незначительное отклонение тела от положения равновесия приводит к тому, что оно уходит из этого неустойчивого состояния на плюс или минус бесконечность и больше к нему уже не возвращается. Для точки устойчивого
равновесия xmin все происходит иначе. Как уже было отмечено выше, незначительные отклонения от этой точки приводят к колебаниям тела около точки xmin. Таким образом, тело не удаляется от точки устойчивого равновесия, а стремится снова в нее вернуться.
Обобщая все вышесказанное, можно утверждать, что точки экстремума потенциальной энергии U(x) являются точками равновесия и остановки при движении тела с определенными энергиями, близкими к этим экстремальным значениям. При этом точки локального минимума потенциальной энергии соответствуют точкам устойчивого равновесия, а точки локального максимума U(x) соответствуют точкам неустойчивого равновесия.
Свободные гармонические колебания.
В качестве примера рассмотрим задачу о гармоническом
осцилляторе, представляющем собой материальную точку массой m, совершающую колебания вдоль оси OX под действием упругой потенциальной силы. Величина этой силы, которую называют еще восстанавливающей силой, подчиняется закону Гука: Fx = -k · x, т.е. прямо пропорциональна удлинению упругого элемента (пружины). Начало координат оси OX выберем в точке равновесия, где упругая восстанавливающая сила равна нулю.
Коэффициент пропорциональности k между величиной упругой силы и смещением точки от положения равновесия называется жесткостью упругого элемента.
181
Рис. 79. Гармонический осциллятор совершает периодические колебания
под действием упругой восстанавливающей силы прямо пропорциональной
смещению x
Функция Лагранжа для гармонического осциллятора имеет вид:
.
(482)
Уравнение движения материальной точки, получаемое из (700), представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
,
(483)
где величина называется циклической частотой гармонических колебаний.
Начальные условия в момент времени t = 0 имеют, как правило, вид: x (0) = x0, v (0) = v0.
(484)
Дифференциальное уравнение (483) называется уравнением свободных колебаний материальной точки без учета сил сопротивления движению. Как описано в курсе теории дифференциальных уравнений, для решения такой задачи составляется характеристическое уравнение, которое получается из (483) подстановкой:
x(t) = C · e λt.
182
Характеристическое уравнение
λ2 + ω2 = 0 имеет чисто мнимые корни:
λ1,2 = ± iω, следовательно, общее решение уравнения (483) имеет вид: x (t) = C1 · cos (ω · t) + C2 · sin (ω · t)
(485)
(486)
Постоянные интегрирования C1 и C2 вычисляются из начальных условий (484):
.
(487)
Подставляя (487) в общее решение (485) находим закон движения гармонического осциллятора с заданными начальными условиями:
.
(488)
В формулу (488) входят две величины A – амплитуда колебаний и φ0 – начальная фаза колебаний, которые связаны с начальными условия (484) соотношениями:
.
(489)
183
Амплитуда колебаний A соответствует максимальному смещению точки от положения равновесия за все время движения, а начальная
фаза φ0 входит в качестве слагаемого в более общее выражение, стоящее под знаком косинуса, которое называется фазой гармонических колебаний:
φ = ω · t + φ0.
Кроме этих величин для описания гармонических колебаний используется понятие периода T и собственной частоты ν колебаний. Для гармонического осциллятора эти величины имеют вид:
(490)
Примерный вид графика гармонических колебаний приведен на рис.
80.
Рис. 80. График гармонических колебаний, на котором указаны
амплитуда A и период колебаний T
Фазовая плоскость гармонических колебаний.
Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени x = x(t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.
184
Состояние системы в любой фиксированный момент времени
t определяется парой соответствующих значений x(t), и оно может быть представлено точкой в фазовом пространстве, т.е. точкой в плоской декартовой системе координат x, v , где по оси абсцисс откладывается координата x(t), а по оси ординат – скорость v(t). Такая плоскость называется фазовой. В процессе движения рассматриваемой системы величины x(t) и v(t) изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой
траекторией. Для построения фазовой траектории при заданном законе движения x = x(t) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости
, а затем исключить время из двух уравнений:
Функция F(x, v) = 0, задающая связь между координатой тела и его скоростью, описывает фазовую траекторию данного движения.
Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости. Совокупность фазовых траекторий
F(x, v, x0, v0) = 0, которая описывает все возможные движения данной системы при различных начальных условиях, называется фазовой диаграммой или фазовым портретом данной системы.
Для свободных гармонических колебаний имеем законы движения
(488)
.
(491)