Файл: Мазмны Кiрiспе 1 тарау. Геометриялы салулар теориясыны кейбiр мселелерi 1.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 217
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Мазмұны:
Кiрiспе
1 тарау. Геометриялық салулар теориясының кейбiр мәселелерi
1. Конструктивтi геометрияның негiзгi ұғымдары мен аксиомалары
2. Геометриялық салу құралдары
3. Салу есептерi
4. Қарапайым геометриялық салулар
5. Салу есептерiн шешу әдiстемесi
6. Салу есептерiне мысалдар
2 тарау. Салу есептерiн шешу әдiстерi
§1. НГО әдiсi
1.1 НГО ұғымы
1.2 Қарапайым НГО
1.3 НГО iздеу
1.4 НГО әдiсiмен шешiлетiн геометриялық салуларға мысалдар
§2. Түрлендiрулер әдiсi
2.1 Параллель көшiру әдiсi
2.2 Осьтiк симметрия әдiсi
2.3 Центрлiк симметрия әдiсi
2.4 Бұру әдiсi
2.5 Ұқсас түрлендiру әдiсi
2.6 Түрлендiрулер әдiсiмен шешiлетiн геометриялық салуларға мысалдар
§3. Алгебралық әдiс
3.1 Карапайым формулалармен берiлген негiзгi кесіндiлердi салу
3.2 Квадрат теңдеудiң түбiрлерiн тұрғызу
3.3 Тригонометриялык түрде өрнектелген кесiндiнi салу
3.4 Алгебралық әдiс бойынша шешiлетiн салу есептерiне мысалдар
§4. Инверсия әдiсi
4.1 Инверсияның анықтамасы, қарапайым қасиеттерi
4.2 Инверсияда нүктенiң образын тұрғызу
4.3 Салу есептерiн инверсия әдiсiмен шешу барысында қолданылатын
теоремалар
4.4 Аполлоний есебi
4.5 Инверсия әдiсiмен шешiлетiн салу есептерiне мысалдар
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Геометриялық салуларға б.э.д. VI - V ғасырларда ежелгi грек математиктерi ерекше назар аударған. Пифагор (б.э.д.VI ғ) және оның шәкiрттерi, Гиппократ (б.э.д. V ғ), Евклид, Архимед, Аполлоний (б.э.д. III ғ), ежелгi отырарлық Әл-Фараби (870 – 950 ж.ж.) геометрияның осы саласына өз үлестерiн қосып, оны дамытты.
Пифагор мектебiнiң математиктерi дұрыс бесбұрыш салу сияқты күрделi есептердi шеше бiлдi. Б.э.д. V ғасырда дөңгелектiң квадратурасы, кубты екi еселеу, бұрыштың трисекциясы секiлдi атақты есептер пайда болды. Циркуль мен сызғыштың көмегiмен салынбайтыны белгiлi болған бұл есептер көптеген ғасырлар бойы зерттеушiлердiң назарында болған.
Геометрияның және математиканың кейбiр басқа салаларының тарихы геометриялық салулар теориясының дамуымен тығыз байланысты болды. Б.э.д. 300 жылдары құрылған Евклид геометриясының «кез-келген нүктеден кез-келген нүктеге дейiн түзу сызық жүргiзуге болады», «шектелген түзудi керегiнше (шексiз) созуға болады», «кез–келген центрден кез–келген өлшеммен шеңбер сызуға болады» т.б. аксиомалары геометрияның кұрылуында салулардың ролi қаншалықты маңызды болғандығын көрсетедi.
Геометриялық салулар ІХ – ХV ғасырларда Араб және Таяу Шығыс елдеріндегі ұлы математиктердің де назарында болды. Әл – Фарабидің «Табиғат сырын геометриялық фигуралар арқылы танытарлық рухани айла әрекеттері» деп аталатын шығармасы түгелдей геометрия мәселелеріне арналып, 150 – ге тарта салу есептері шығарылған. Он бес есеп сызғыш пен адымы тұрақты циркуль арқылы шешіледі. Әл – Фарабидің негізгі жетістігі - әр жерде шашырап жүрген геометриялық салу есептері туралы материалдарды жинастырып, жүйеге келтірген «принциптер» тағайындады және геометрияның белгілі бір саласына айналдырды.
ХVІ ғасырда салу есептерін шешумен ұлы суретші ғалым Леонардо да Винчи (1452 – 1519) айналысқан. Оның салуларында, тіпті Әл – Фарабимен дәл келетін жерлері бар. Әл–Фараби, Әбу әл Вафа, Леонардо да Винчи, т. б. ғалымдардан басталған геометриялық салу есептерін жүйелеу әрекеттері XVIIІ – XІX ғасырларда белгілі математиктер Э. Маскерони, Я. Штейнер еңбектерінде өз жалғасын тауып, қазіргі конструктивтік геометрияның қалыптасуына бастама болды.
Дегенмен, ортағасырларда конструктивтi геометрия мәселелерiмен көптеген математиктер еңбектенсе де, бұл салада айтарлықтай өзгерiстер болмады. Тек XVII-XX ғ.ғ. математиканың жаңа салаларының өркендеуiне байланысты геометриялық салулар теориясы дами бастады. Бiр жағынан, конструктивтi геометрияның мәселелерi жаңа математикалық теориялар мен әдiстердiң өркендеуiне ыкпалын тигiздi. Әсiресе геометриялық салулармен тығыз байланыста дамығандар: аналетикалық геометрия, проективтiк геометрия, алгебралық және трансценденттiк сандар теориясы, аналетикалық функциялар теорясы және т.б.
Р.Декарт (1596-1650), Ньютон (1643-1727), Эйлер (1707-1783), Гаусс (1744-1808), Ферма, т.б. математиктер конструктивтi есептермен шұ-ғылданған. Мәселен, Декарт және Ньютон конустық қиманың көмегiмен бұрыштың трисекциясы туралы есептi шешсе, Ньютон мен Эйлер Аполлоний есебiн шешудiң өз әдiстерiн жасады. XVIIІ – XІX ғасырларда белгілі матема-тиктер Э.Маскерони, Я.Штейнер еңбектері қазіргі конструктивтік геометрия-ның қалыптасуына бастама болды.
XIX - XX ғасырларда геометриялық салулар теориясында көптеген еңбектер жазылды. Ф.Клейн мен Энриквестiң «Геометриялық салулар теориясы» кiтабы, Лебег пен Бибербаханың, А.Адлердiң еңбектерi жарияланды. 1881 жылы жарыққа шыққан И.И.Александровтың «Гео-метриялық салу есептерiн шешу әдiстерi» атты кiтабы ең үздiк туындылардың бiрi болды. Геометриялық салулар теориясының дамуы физикадағы, сызудағы кейбiр мәселелердi шешуге көмектестi. Мысалы, физикалық шамалардың өзгерiсiн графиктiк жолмен сипаттауда, геометриялық фигуралардың сызбаларын орындауда қолданылды. Инженерлер мен техниктер кейбір практикалық жұмыстарды графиктер мен сызбалардың көмегімен орындады.
Математиканы оқытуда салу есептерiне аса көңiл бөлiнедi, себебi ондай есептер мазмұны жағынан да, құрылымы жағынан да оқушыларға түсiнiктi. Бұл - нағыз шағын математикалық зерттеу. Геометриялық салулар оқушының математикалық белсенділігін, кеңiстiкті елестету тапқырлығы мен алғырлығының дамуына, яғни болашақ маман иесiне қажет қасиеттердiң дамуына әсер етедi. Салу есептерiн шешу барысында «кескіндеу сауаттылығының» теориялық және практикалық негiздерi қалыптасады, яғни оқушы есептi шешудiң жиi қолданылатын әдiстерi мен әртүрлi шарттарға сәйкес қолданылатын құрал - жабдықтармен танысады. Бұл, әдетте, есептi формальды қабылдауға жол бермейдi. Мектептегі геометрия курсының әрбір тарауының соңында салу есептерін шешу оқушыларды осы тақырыпты терең меңгеруіне әсер етеді.
1 тарау. Геометриялық салулар теориясының
кейбiр мәселелерi
1. Конструктивтi геометрияның негiзгi ұғымдары мен аксиомалары
Геометриялық салуларды оқытатын геометрияның бөлiмi конструктивтi геометрия деп аталады. Конструктивтi геометрияның негiзгi ұғымы геометриялық фигураны салу болып табылады. Бұл ұғым анықтамасыз қабылданады. Оның нақты мағынасы практикада жиi қолданылатын «сызу» (сызықты), «жүргiзу» (шеңбер немесе түзуді), «көрсету» (нүктенi) және т.б. сөздерiнiң мағынасымен пара - пар.
Конструктивтi геометрияның негiзгi талаптары (постулаттар) сызба жұмысының ең басты кезеңдерiн абстрактылы түрде бейнелейдi. Олар дәлелсiз қабылданған аксиомалар болып табылады және конструктивтi геометрияны логикалық негiздеуде қолданылады. Постулаттарды салу қадамдары деп те атайды. Олар мыналар:
П1. Тұрғызылған екі нүкте арқылы түзу салу.
П2. Берілген нүктені центр етіп алып, берілген радиуспен шеңбер салу.
П3. Тұрғызылған параллель емес екі түзудің қиылысу нүктесін салу
П4. Егер тұрғызылған шеңбер мен түзу қиылысатын болса, олардың қиылысу нүктесін салу.
П5. Егер тұрғызылған екі шеңбер қиылысса, олардың қиылысу нүктесін салу. Ендi геометриялық салулар теориясының аксиомаларын қарастырайық:
I. Қандай да бiр фигура «берiлген» болса, онда ол салынған (тұрғызылған) деп есептелiнедi.
II. Егер екі (немесе одан да көп) фигура салынса , онда осы фигуралардың бiрiгуi де салынған болып есептеледi.
III. Егер екi фигура салынса, онда олардың айырмасы кұр жиын болу-болмауын аныңтауға болады
IV. Егер салынған екi фигураның айырмасы кұр жиын болмаса, онда бұл айырма да салынған.
V. Егер екi фигура салынса, онда олардың қимасы кұр жиын болатын -болмайтынын анықтауға болады.
VI. Егер салынған екi фигураның қимасы кұр жиын болмаса, онда бұл қима да салынған болып есептеледi.
VII. Тұрғызылған екi фигураның кез-келген саны шектi ортақ нүктелерiн салу-ға болады, егер олар бар болса.
VIII. Тұрғызылған фигураға тиiстi нүктенi салуға болады, егер олар бар болса.
IX. Тұрғызылған фигураға тиiстi емес нүктенi салуға болады.
I - IX аксиомалары конструктивтi геометрияның жалпы аксиомалары деп аталады.
2. Геометриялық салу кұралдары
Ежелгi грек математиктерi салу есептерiн шешу барысында сызғыш пен циркульды пайдаланған және «шын геометриялық салу» деп, осы екі құралдың көмегімен шешілетін есептерді атады. Евклидтің постулаттарына сәйкес сызғыш шексіз, әрі бір жақты құрал, циркуль кез - келген өлшемді шеңбер салу құралы делінді. Бұлардан басқа да салу құралдары болған. Мысалы, Платон б.э.д. 400 жылдар шамасында кубты екі еселеу туралы есепті екі тікбұрыштың көмегімен шешсе, Архимед бұрыштың трисекциясы туралы есепті тікбұрышты сызғышты қолданып шешеді. Дәл осы есепті әртүрлі қисықтардың көмегімен Никомед (конхойданы пайдаланып), Диоклес (циссойданы пайдаланып), Папп және басқалары шешті.
XVII - XIX ғасырларда геометриялық салу құралдарының жаңа түрлері ойлап шығарылды. Леонардо да Винчи (1452-1549) сызғыш және тұрақты ашалы циркульдың көмегімен шешілетін есептерді, Датчани Мор (1672) мен итальяндық Маскерони (1779) тек қана сызғыш пен циркульды қолданып шешілетін салуларды зерттеген және олардың ішінде тек циркульмен шешілетіндерін тапқан. Осындай зерттеулердің негізінде салу есептерінде екі жақты сызғыш, тікбұрыш сияқты құралдар қолданыла бастады. Бірақ конструктивтік геометрияның ең негізгі құралдарына бір жақты сызғыш пен циркуль жатады және оларды классикалық құралдар деп атайды, ал қалғандары қосымша құралдар болып саналады.
Конструктивті геометрия үшін қолданылатын құралдардың дәл сипат-тамасы көрсетілуі керек. Мұндай сипаттамалар аксиомалар түрінде беріледі.
А. Сызғыш аксиомасы
Сызғышпен келесі геометриялық салулар орындалады:
1) тұрғызылған екі нүктені қосатын кесінді салу;
2) салынған екі нүкте арқылы түзу жүргізу;
3) салынған нүктеден бастап екінші салынған нүкте арқылы өтетін сәуле жүргізу.
В. Циркуль аксиомасы
Циркульдың көмегімен мына геометриялық салулар орындалады:
1) берілген центрі мен радиусқа тең кесіндісі (немесе кесіндінің ұштары) бойынша шеңбер салу;
2) берілген центрі мен кез - келген доғасының ұштары бойынша шеңбердің доғасын салу.
Циркуль мен сызғыштың көмегімен орындалатын негізгі салулар:
1) Берілген екі нүктені қосатын кесіндіні салу (А.1);
2) Берілген екі нүкте арқылы түзу жүргізу (А.2);
3) Берілген нүктеден бастап екінші берілген нүкте арқылы өтетін сәуле жүргізу (А.3);
4) Берілген центрі мен радиусқа тең кесіндісі (немесе кесіндінің ұштары) бойынша шеңбер салу (Б.1);
5) Берілген центрі мен кез-келген доғасының ұштары бойынша шеңбердің екі доғасының кез-келгенін салу (Б.2);
6) Тұрғызылған екі фигураның саны шекті ортақ нүктелерін салу, егер олар бар болса (акс.VII);
7) Қандай да бір тұрғызылған фигураға тиісті нүкте салу (акс.VIII);
8) Қандай да бір тұрғызылған фигураға тиісті емес нүктені салу (акс.IX).
3. Салу есептері
Салу есебі деп берілген элеметтері бойынша геометриялық құралдардың (сызғыш және циркуль) көмегімен белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын геометриялық фигураны салуды айтады. Ондай есептерді шешудің белгілі бір алгоритмі жоқ. Cалу есебін шешу ізделінді фигураны қалай салуға болатынын талдаудан басталады. Есеп шешілді деп санау үшін фигураны салу тәсілі көрсетіліп, салу жұмыстарын орындау нәтижесінде шынында да ізделінді фигура салынғандығын дәлелдеу керек. Сонымен, салу есебінің шешімі деп, берілген шартты қанағаттандыратын әрбір фигураны айтады. Салу есебінің шешімін табу деп оны саны шектеулі негізгі салуларға келтіруді, яғни ретімен орындағанда ізделінді фигура конструктивті геометрияның аксиомаларының негізінде салынды деп есептелінетіндей негізгі салулардың шекті тізбегін көрсетуді айтады. Негізгі салулар тізбегі қандай құралдарды пайдалану керектігіне байланысты.
Салу есебінің барлық шешімдерін табу оны шешу деп аталады. Салу есебі жалпы түрде келесідей тұжырымдалады: салынған (негізгі) Ғ1, Ғ2 , ... ,Ғк фигураларының жиыны берілген және ізделінді Ф фигурасын сипаттайтын қасиеттер көрсетілген. П1 – П5 постулаттарын қолданып, салынған және ізделінді фигураларды қамтитын шекті жиын табу керек.
Есеп шартын қанағаттандыратын фигура формасы және жазықтықта орналасуы бойынша ажыратылады. Фигураның жазықтықта орналасуын ескеру - ескермеу есептің құрылысына байланысты.
1) Егер есепте ізделінді фигураның берілген фигураға қатысты орналасуы қарастырылмаса, онда тек есеп шартын қанағаттандыратын өзара тең емес барлық фигураларды тауып көрсетеміз. Онда салу есебі шешілген деп есептелінеді, егер