_с

теңсіздіктері орындалғанда ғана мүмкін болады. Ал 3) – 7) салу қадамдары әрқашан орындалады. Олай болса, бір уақытта h_в 2m_а және h_с 2m_а теңсіздіктері орындалғанда есептің жалғыз шешуі бар. Басқа тәсілмен шешкенде өзге шешім шығуы мүмкін емес, себебі m_а = m_а, h_c = h_c, h_в = h_в  ∆АВС = ∆АВС.

Есеп 3: р периметрі мен іргелес ,  бұрыштары бойынша үшбұрыш салу.

Шешуі:

Талдау: Айталық ВС – ізделінді үшбұрыш (4 - сурет),

А

В + ВС + СА = р

және ВАС = , ВСА = .

Егер АС табанының созындысына АD = AB,

CE = BC болатындай кесінділер белгілесек,

DE кесіндісінің ұзындығы периметрге тең

болады, яғни DE = p. D, E нүктелерін АВС

үшбұрышының В төбесімен қосамыз.

Сонда DBA және EBC тең бүйірлі үшбұрыш-

тары шығады. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының қасиетін ескерсек, ADB = ABD = , CBE = CEB = . Демек DEB үшбұрышы бір қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша белгілі.

Салу: 1) DЕВ үшбұрышы (DE = p, BDE = , BED = ).

2. 
   DB кесіндісінің орта перпедикуляры: n₁
   

3) DE ∩ n₁ = A нүктесі

4) BЕ кесіндісінің орта перпедикуляры: n₂

5) DE ∩ n₂ = В нүктесі

6) АВ, СВ кесінділері

∆ АВС – ізделінді.

Дәлелдеу: n₁, n₂ орта перпендикулярлар болғандықтан, сәйкесінше АВ = AD, BC = CE. Ал салу бойынша DA + AC + CE = p, бұдан АВ + АС + ВС = р.

Егер n₁∩ DB = K, n₂ ∩ EB = P десек,

KAD = 90⁰ - , PCE = 90⁰ - .

Дәл осылайша, KAВ = 90⁰ - , PCВ = 90⁰ -

Сонда

ВАС = 180⁰ - ВАD = 180⁰ - KAВ - KAD = 180⁰

---

– 90⁰ + - 90⁰ + =

ВСA = 180⁰ - BCE = 180⁰ - PCB - PCE = 180⁰ – 90⁰ + - 90⁰ + =

Зерттеу:  +    шарты орындалғанда есептің шешімі бар және ол жалғыз болады. Себебі, қарсы жорып, АВС үшбұрышы да шешім болады десек, ВАС = , ВСА = , АВ + ВС + СА = р, онда ∆АВС = ∆АВС.

Есеп 4: а, в, с түзулері, р кесіндісі берілген. с – а, в түзулерін қияды. Ұштары а, в түзулерінде болатын, с - ға параллель және р кесіндісіне тең кесінді салыңыз.

Шешуі:

Талдау: Есеп шешілді делік, А а, В в, АВ = р, АВ || с (5-сурет). Берілген мен ізделінді фигуралардың арасындағы байланысты анықтау үшін, кейбір қосымша нүктелер мен сызықтар жүргізу керек.

Айталық с  в = Р. АМ || в сәулесін жүргізсек және АМ  с = Q деп белгіле-сек, АВРQ төртбұрышты параллелограмм болғандықтан PQ = AB = p.

C

алу: 1) с  в = Р нүктесі

2) с түзуінен PQ = p кесіндісі (Q с )

3) QМ || в түзуі

4) QM  a = A нүктесі

5) AN || c түзуі

6) AN  в = В нүктесі

АВ – ізделінді кесінді.

Дәлелдеу: Салу бойынша А а, В в, АВ || с. Ал АВРQ параллелограмм бол- ғандықтан, АВ = PQ = p.

З

ерттеу: Есеп шарты бойынша в, с түзулері қиылысады, онда Р нүктесі әрдайым табылады. Ал екінші салу қадамындағы РQ кесіндісі екеу болады, (2.4., 3) салу). Сонда әрбір Q, Q' нүктелері үшін салу жоспары жеке орын-далады. Мынадай жағдайлар болу мүмкін:

---

1) QM  a, онда QM || в || Q'M' болғандық-

тан, Q'M' түзуі де а түзуін қияды (6-сурет).

2) QM ||a

3) QM  а (беттеседі)

1) жағдай а, в түзулері қиылысқанда ғана

мүмкін. Онда 4) - 6) салу қадамдар Q, Q'

нүктелерінің әрқайсысы үшін бірмәнді

орындалады да, есептің екі шешімі болады.

2) жағдай а ||в және с түзуінің а, в түзулерінің арасындағы кесіндісі р – дан өзге болғанда ғана орындалады. Онда QMa = A нүктесі болмайды да, есептің шешімі жоқ делінеді.

3) жағдай а || в және с түзуінің а, в түзулерінің арасындағы кесіндісі р – ға тең болғанда орындалады. Онда есептің шексіз көп шешімі бар.

Есеп5: СD биссектрисасы және оның С төбесінен жүргізілген биіктікпен, медианамен арасындағы бұрыштары берілген. Осы элементтері бойынша АВС үшбұрышын салыңыз.

Шешуі:

Т

алдау: Есеп шешілді делік, АВС – ізделінді үшбұрыш (7 – сурет). Мұндағы НСD, МСD бұрыштары және СD биссектрисасы ұшбұрыштың берілген элементтері. Онда алдымен СD гипотенузасы мен НСD бойынша НСD, содан соң СН катеті мен МСD + НСD

бойынша НСМ тікбұрышты үшбұрыштарын

тұрғызуға болады. Егер -АВС үшбұрышы-

на сырттай сызылған шеңбер десек, оның

СD биссектрисасымен қиылысу нүктесі,

яғни Е нүктесі – АВ хордасының ортасы

болады. Сондықтан ол АВ қабырғасына

тұрғызылған орта перпендикулярдың бойында

жатады, ал ол түзу М нүктесі арқылы өтеді.

Салу: 1) СD гипотенузасы мен НСD бойынша НСD тікбұрышты үшбұрышы

2) СН катеті мен НСМ = МСD + НСD бойынша НСМ тікбұрышты үшбұрышы

3) М нүктесі арқылы МК  НD түзуі

4) МК  СD = Е нүктесі

5) СЕ кесіндісінің орта перпендикуляры: n

6) n  МК  О нүктесі

7) (О, ОС) шеңбері

8)   НD = А және В нүктелері

АВС – ізделінді үшбұрыш.

Дәлелдеу: Салу бойынша НСD – биіктік пен биссектрисаның арасындағы бұрыш, онда

DCM = HCM - HCD = MCD + HCD - HCD = MCD.

Егер МК    Р (Е – ден өзге нүкте) десек, О РЕ (РЕ – диаметр). Салу бойынша АВ  РЕ, онда МА = МВ, яғни Е – АВ кесіндісінің орта перпендикулярында жатыр. Бұдан АЕ = ЕВ, яғни АСЕ  ЕСВ  СD – биссектриса.

Зерттеу: Егер  +   90⁰ болса, есептің шешімі болмайды. Егер  +   90⁰

---

болса, есептің жалғыз шешімі бар.

Есеп 6: АВСD тіктөртбұрышы берілген. Оның СD қабырғасынан АВМ, BCM, ADM үшбұрыштары ұқсас болатындай етіп, М нүктесін табыңыз.

Шешуі:

Талдау: Есеп шешілді, яғни ізделінді М нүктесі тұрғызылды делік (8-сурет). Онда АВМ, BCM, ADM үшбұрыштарының ұқсастықтарын және С=D=90⁰

е

кенін ескеріп, АМВ = 90⁰ теңдігін аламыз. Ал тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің қасиетін пайдалансақ М , мұндағы -диаметрі АВ болатын шеңбер.

Салу: 1) О – АВ кесіндісінің ортасы

2)  (О, ОВ) шеңбері

3)   DC = М нүктесі

М – ізделінді нүкте.

Дәлелдеу: М   АМВ  90⁰, ал А  В  90⁰ екенін ескерсек, МАВ  90⁰ - МАD  АМD, дәл осылайша МВА  ВМС. Онда

АМВ  АМD  ВМС.

Зерттеу: Салу жоспарының 3) қадамына байланысты мына жағдайлар болу мүмкін:

1. 
   ВС  ОВ, онда   DC қимасы М және М нүктелерінен құралады да, есептің екі шешімі болады.
   
2. 
   ВС = ОВ, онда   DC = М – жалғыз нүкте, олай болса, есептің бір ғана шешімі бар.
   
3. 
   ВС  ОВ, онда   DC = , яғни есептің шешімі жоқ.
   

Кейбір геометриялық салуларды тек бір құралдың көмегімен де шешуге болады. Мысалы, тек циркульдың көмегімен шешілетін салу есебін қарастырайық:

Есеп 7: Тек циркульды пайдаланып, берілген тікбұрышты үшбұрышқа іштей шеңбер сызыңыз.

Шешуі:

Талдау: Айталық АВС – катеттері а, в, гипотенузасы с болатын берілген тікбұрышты үшбұрыш, ал  - оған іштей сызылған ізделінді шеңбер (9-сурет).

Ц

ентрі А, радиусы в болатын шеңбер жүргізіп,

Оның гипотенузамен қимасын М деп, ал центрі

В, радиусы а болатын шеңбердің гипотенузамен

қимасын N деп белгілесек, онда МN = BN – BM=

a – (c – в) = a + в – c.

Бұл сан үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің

диаметрі болады (есептен кейінгі ескертуде

---

дәлелденіп көрсетіледі).Олай болса MN кесіндісін

екіге бөлу арқылы ізделінді шеңбердің радиусын

аламыз. Ал оның центрін табу үшін оның катеттерден қашықтықта жататынын және (S, SN) шеңберіне тиістілігін ескереміз, мұндағы S – іштей сызылған шеңбердің гипотенузамен жанасу нүктесі.

Салу: 1) ω₁(А, в) шеңбері

2) ω₂(В, а) шеңбері

3) ω₁∩ АВ = М нүктесі

4) ω₂∩ АВ = N нүктесі

5) ω₃(N, MN) шеңбері

6) ω₄(M, MN) шеңбері



7) ω₃ ∩ ω₄ = D нүктесі (D – АВС

үшбұрышының сыртындағы нүкте)

8) ω₅(D, MN) шеңбері

9) ω₅ ∩ ω₃ = E нүктесі (М – нан өзге)

10) ω₆(Е, MN) шеңбері

11) ω₆ ∩ ω₃ = F нүктесі (D – дан өзге)

12) ω₇(F, MF) шеңбері

13) ω₇ ∩ ω₄ = L,K нүктелері

14) ω₈(K, MN) шеңбері

15) ω₉(L, MN) шеңбері

16) ω₈ ∩ ω₉ = S нүктесі (М – нан өзге)

17) ω₁₀(S, SM) шеңбері

18) ω₁₁(C, SN) шеңбері

19) ω₁₁ ∩ CA = R нүктесі

20) ω₁₂(R, CR) шеңбері

21) ω₁₂ ∩ ω₁₀ = O нүктесі

ω(O, MS) – ізделінді шеңбер

Дәлелдеу: ω₁₀ шеңберінен SM = SO = SN (S - шеңбердің центрі, ал M, O, N оның бойындағы нүктелер (10-сурет)). Онда SM = SO = SN = = r, яғни OS = r. Салу бойынша OR = r, онда АС – жанама  АС  OR және АС  ВС  ORBC. О нүктесінен ОТАС түзуін жүргізсек (Т  ВС), ТОRС – тіктөртбұрыш. Ал OR = CR = r болғандықтан, TORC– квадрат, яғни OT=CR=r. Демек ω(O, MS) немесе ω(O, OR) – ізделінді шеңбер.

Зерттеу: а  с, в  с болғандықтан, салу жоспарының 1) – 15) қадамдары бірмәнді орындалады. К нүктесінен АВ қабырғасына түсірілген перпен-дикулярдың табанын Р деп белгілесек, 16) салу орындалу үшін МК  РК шарты орындалу керек.

MF  MN  PK  DS.

MD =  2MD = және MD = MN 

DS = MN немесе DS = MK.

PK  MK, онда MK 

---

Смотрите также файлы

• Природные пожары.docx

• Практическая работа к теме Семья традиции Тема занятия Тема Моя семья традиции и ценности Класс 2.docx

• Тжірибелік сабаа арналан тапсырмалар Фт заттар мен энергия алмасу Тапсырма1. Анытама берііз Заттар мен энергия алмасу дегеніміз.docx

• Общий объем аудиторной работы обучающихся с овз в случае увеличения срока обучения на один год не может составлять менее 6018 академических часов за шесть учебных лет.docx

• Введение Открытие предприятия по производству детской игровой мебели из картона с целью выхода на новый сегмент рынка детской мебели и игрушек и получения прибыли.docx