Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

158
Часть 1.
Решение задач
17.8. Решите систему









y
x
− 9xy = 2,
z
y
− 9 yz = 6,
3x
z
− 3zx = 2.
17.9. Переменные x, y связаны условием x
2
+ y
2
− 6x + 4 y + 10 = 0.
Найдите все значения a, при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями выражения 2ax − 3 y − 10 больше 12.
17.10. Найдите наибольшее из значений, которые принимает выра- жение x + 3 y, если x и y удовлетворяют неравенству
x
2
+ xy + 4y
2
¶ 3.
17.11. Решите систему









y
x
− xy = 1,
z
y
− 4 yz = 2,
x
z
− 4zx = 4.
17.12. Числа x, y, z таковы, что x
2
+ 3y
2
+ z
2
= 2. Какое наибольшее значение может принимать выражение 2x + y − z?
17.13. Найдите все значения a ∈ [0; 2π], при которых система урав- нений
¨ |x − cos a| = y − sin a,
x
2
+ y
2
= 1
имеет ровно три различных решения.
17.14. Решите неравенство
(1 − ctg x)
2006
+ 4(1 + ctg x)
2004
¶ 2 2006
17.15. Найдите все значения a, при которых существуют (x; y), удо- влетворяющие системе неравенств



max(2−3 y, y +2) ¶ 5,
È
a
2
+
6
π
arccos p
1− x
2
−16−
2
π
2
arcsin x ·(π+2arcsin x) ¾ y
2
+2ay +7.
17.16. При каких x оба числа
x
2
+ 4x − 1 7x
2
− 6x − 5
и
1 − x
1 + x
целые?

§ 18.
Системы уравнений и неравенств
159
17.17. Найдите минимальное значение выражения (x + y − z)
2
при условии, что числа x, y и z удовлетворяют одновременно каждому из неравенств
1 ¶ (x + y)
2
¶
4 3
,
8 ¶ ( y + z)
2
¶ 9,
10 ¶ (z + x)
2
¶ 11.
Ответы
17.1
. [0; (3 −
p
5)/6).
17.2
.
−1/
p
2; (
p
6 −
p
2)/4.
17.3
.
±
p
2/6; (
p
2 +
p
6)/12.
17.4
. Три корня: x
1
= cos(π/9), x
2
= cos(2π/7), x
3
= cos(π/3).
17.5
.
−10.
17.6
. a
∈ [−5; 5].
17.7
. cos(π/16); cos(9π/16).
17.8
. ((tg α)/3; (tg 2α)/3; tg 4α), α = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7.
17.9
. a
∈ (−∞; −
p
3/2) ∪ (
p
3/2; +∞).
17.10
. 2
p
2.
17.11
. (tg α; (tg 2α)/2; (tg 4α)/2), α = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7.
17.12
. 4
p
6/3.
17.13
. a
∈ (5π/4; 7π/4).
17.14
. [π/4 + πk; 3π/4 + πk], k ∈ Z.
17.15
. a
∈ (−∞; −
p
13] ∪ [11/3; +∞).
17.16
. 1; −1/3; −1/2; −3/4.
17.17
. (3 +
p
8 −
p
11)
2
/4.
§ 18. Системы уравнений и неравенств
Системы уравнений и неравенств уже встречались в предыдущих параграфах либо как разобранные примеры, либо как тренировоч- ные задачи.
В этом параграфе мы напомним некоторые приёмы, полезные при решении систем, и рассмотрим новые идеи, лежащие в основе ряда задач.
Начнём с понятия равносильности систем. Системы называются равносильными, если совпадают множества их решений. В частности,
равносильны системы, не имеющие решений.
Пример 18.1. При каких значениях a системы уравнений
¨
sin(x + y) = 0,
x
2
+ y
2
= a
и
¨ x
+ y = 0,
x
2
+ y
2
= a
равносильны?
Решение. При a < 0 ни одна из систем не имеет решений и, сле- довательно, они равносильны.
При a = 0 второе уравнение, общее для обеих систем, имеет един- ственное решение x = 0, y = 0, удовлетворяющее и первым уравне- ниям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при a = 0.

160
Часть 1.
Решение задач
При a > 0 второе уравнение задаёт окружность радиуса p
a с цен- тром в начале координат. Уравнение sin(x + y) = 0 равносильно бес- конечной совокупности уравнений x + y = πn, n ∈ Z. Графики этих прямых изображены на рис.
18.1
x
y
0
π
−π
n
= −1
n
= 0
n
= 1
Рис. 18.1
Системы равносильны тогда и только тогда, когда окружность,
определяемая вторым уравнением, имеет общие точки только с пря- мой x + y = 0, соответствующей n = 0 в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы её радиус был меньше, чем расстоя- ние от начала координат до прямой x + y = π, т. е. чем число π/
p
2.
Итак, 0 <
p
a
< π/
p
2, или 0 < a < π
2
/2. Добавляя полученные ранее значения a ¶ 0, получаем ответ.
Ответ: a
∈ (−∞; π
2
/2).
Разложение на множители, подобное использованному в приме- ре
15.2
, полезно и в следующем примере.
Пример 18.2. При каждом значении a решите систему
¨
6x
2
+ 17xy + 7y
2
= a,
log
2????+????
(3x + 7 y) = 3.
Решение. Запишем ОДЗ:





3x + 7 y > 0,
2x + y > 0,
2x + y 6= 1.
Из второго уравнения находим 3x + 7 y = (2x + y)
3
. Осталось заметить,
что тогда
6x
2
+ 17xy + 7y
2
= (3x + 7y) · (2x + y) = (2x + y)
4

§ 18.
Системы уравнений и неравенств
161
Уравнение (2x + y)
4
=a при условиях 2x + y >0 и 2x + y 6=1 имеет при
a
>0, a 6=1 решение 2x + y =
4
p
a. Тогда 3x + 7 y =
4
p
a
3
и из полученной системы находим
x
=
7 4
p
a
−
4
p
a
3 11
,
y
=
2 4
p
a
3
− 3 4
p
a
11
Ответ: при a ∈ (−∞; 0) ∪ {1} решений нет; если a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞),
то решение
€
7 4
p
a
−
4
p
a
3 11
;
2 4
p
a
3
− 3 4
p
a
11
Š
В следующих двух примерах полезно исследовать наибольшее и наименьшее значения, которые принимают входящие в систему функции.
Пример 18.3. При каждом a решите систему уравнений
¨ x
2
+ y
2
+ 2(x − y) + 2 = 0,
a
2
+ ax + ay − 4 = 0.
Решение. Первое уравнение преобразуем к виду
x
2
+ 2x + 1 + y
2
− 2 y + 1 = 0,
или
(x + 1)
2
+ (y − 1)
2
= 0.
Это означает, что x = −1, y = 1, поскольку при остальных значениях левая часть уравнения больше 0. Подставим эти значения во второе уравнение и найдём a
2
− 4 = 0, откуда a = ±2.
Таким образом, система имеет решение x = −1, y = 1 при a = ±2;
при остальных a решений нет.
Ответ: если a = ±2, то x = −1, y = 1; при остальных a решений нет.
Пример 18.4. При каких значениях p система



x
2
+ px + 2 = 0,
sin
2
πp + sin
2
πx + 2
|????|
=
sin
πx
2
имеет решения?
Решение. Имеем sin
2
πp ¾ 0, sin
2
πx ¾ 0, |y| ¾ 0 и, значит, 2
|????|
¾ 1,
следовательно, левая часть второго уравнения системы не меньше чем 1. Так как его правая часть не больше 1, оно равносильно системе

162
Часть 1.
Решение задач











sin
2
πp = 0,
sin
2
πx = 0,
2
|????|
= 1,
sin
πx
2
= 1,
из которой находим, что p ∈ Z, y = 0, x = 2k + 1, k ∈ Z.
Первое уравнение имеет целые коэффициенты и целый корень
x
1
= 2k + 1. Так как x
1
+ x
2
= −p, число x
2
тоже целое, и из равенства
x
1
x
2
= 2 получаем, что x
1
— нечётное число, делящее число 2. Такими числами являются x = 1 и x = −1. При x = 1 находим p = −3, при x = −1
находим p = 3.
Ответ: Система имеет решения при p = ±3.
Соображения симметрии, подобные использованным в приме- рах
8.1
,
9.1
, полезны при решении систем. Их можно использовать при решении тренировочных задач
8.6
,
8.12
,
8.14
,
8.16
,
8.18
,
9.1
,
9.7
,
9.8
,
9.9
,
9.12
,
9.13
,
9.17
Обратите внимание на логические рассуждения, использованные в следующем примере.
Пример 18.5. Найдите все значения a, при которых система
¨
(x
2
+ 1)
????
+ (b
2
+ 1)
????
= 2,
a
+ bxy + x
2
y
= 1
имеет хотя бы одно решение для любого значения b.
Решение. Пусть a — искомое значение. Система должна иметь решение для любого значения b, поэтому выбираем значение b, при котором она становится проще, например b = 0. Тогда получим, что система
¨
(x
2
+ 1)
????
+ 1 = 2,
a
+ x
2
y
= 1
имеет решение. Первое уравнение, т. е. уравнение (x
2
+ 1)
????
+ 1 = 2,
при a = 0 выполняется для любого b, а при a 6= 0 из него следует, что
x
= 0, и тогда из второго уравнения получаем a = 1. Итак, искомыми значениями могут быть только a = 0 или a = 1.
Если a = 0, то первое уравнение принимает вид (b
2
+1)
????
=1, а вто- рое — bxy + x
2
y
= 1. Система по условию должна иметь решения при любом b, например при b = 1. Тогда из первого уравнения находим

Тренировочные задачи к § 18 163
y
= 0, а второе уравнение при этом обращается в неверное равенство
0 = 1. Поэтому a = 0 не является решением задачи.
Если же a = 1, то первое уравнение принимает вид
x
2
+ 1 + (b
2
+ 1)
????
= 2 ⇔ x
2
+ (b
2
+ 1)
????
= 1,
а второе — bxy + x
2
y
= 0.
Для любого b пара чисел (x; y) = (0; 0) удовлетворяет обоим урав- нениям, и исходная система имеет решение.
Ответ: a
= 1.
Тренировочные задачи к § 18
18.1. При всех значениях a решите систему
¨ x
2
+ 4y
2
= 8a
2
,
xy
= 2a
2
18.2. При каких значениях a система
¨ x
2
+ y
2
= 9,
(x + 4)
2
+ (y + 3)
2
= a
имеет единственное решение?
18.3. При всех значениях a решите систему неравенств
¨ |2x + 2a| > |x| + a,
ax
< 0.
18.4. Для каждого натурального значения k найдите площадь фигу- ры, задаваемой на плоскости (x; y) условиями









–
sin x ¾ 0,
sin y ¶ 0,
−πk ¶ x ¶ πk,
−πk ¶ y ¶ πk.
18.5. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
36
????
− 17 · 6
????
+ a < 0,
16 sin
4
πx − 15 = cos 4πx
имеет хотя бы одно решение.

164
Часть 1.
Решение задач
18.6. Найдите все значения b, при которых система
¨
log
3
(9
????
− y + b − 8) = 0,
y
+ 3
????
·
p
b
− 1 = 0
имеет единственное решение (x
0
; y
0
), удовлетворяющее условию x
0
¶0.
18.7. Пусть (x; y) — решение системы уравнений
¨ x
+ 3y = α − 2,
x
2
+ 9y
2
= 2α + 6.
При каком значении α произведение xy принимает наименьшее зна- чение?
18.8. Найдите все значения a, при которых система
¨
arctg(25
????
− 9 + a − y) = 0,
y
· 5
−????
+
p
a
− 1 = 0
имеет единственное решение (x
0
; y
0
), удовлетворяющее условию x
0
¶0.
18.9. Дана система уравнений
¨ y
= a|x − 3a|,
|x| = b − | y|.
а) При каких значениях a и b эта система относительно неизвест- ных x и y имеет бесконечно много решений? б) На плоскости (x; y)
изобразите множество точек, координаты которых таковы, что си- стема относительно неизвестных a и b имеет ровно три различных решения.
18.10. При каких значениях a система
¨ |x − a| + |y − a| + |a + 1 − x| + |a + 1 − y| = 2,
y
+ 2|x − 5| = 6
имеет единственное решение?
18.11. Найдите все значения a, при которых система уравнений
( €
|x| + | y| + |x − y| −
2
a
Š
·
€
|x| + | y| −
1
a
Š = 0,
x
2
+ y
2
= a
2
имеет ровно четыре различных решения.

Тренировочные задачи к § 18 165
18.12. Найдите все значения a, при которых система уравнений





Æ
a
− f (x) = 0,
y
2
+ (a − 5 · 10 6
) y + 25 · 10 10
= 0,
z
2
+ 5 · 10 3
· z + a = 0
имеет хотя бы одно решение, где
f (x) = |x − 1 2
| + |x − 2 2
| + . . . + |x − 203 2
|.
18.13. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
(5 − 2
p
6)
????
+ (5 + 2
p
6)
????
− 5a = y − | y| − 8,
x
2
− (a − 4) y = 0
имеет единственное решение.
18.14. Найдите все такие значения a и b, при которых система
¨ |bx| − |y| = 2a,
(x − b)
2
+ y
2
= a
2
имеет ровно три различных решения.
18.15. Найдите все значения α, при каждом из которых система нера- венств
(
4
????
− 2
????
+????
¶
108α − 161 2α − 3
,
5 · 2
????
+????
− 9 · 4
????
¾ 54
имеет решение.
18.16. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
2 3????
2
+2????
2
+8 ????−4 ????+8
+ 2
????
2
+4 ????+5
¶ 33 · 2 2 ????
2
+????
2
+4 ????+4
,
x
2
+ y
2
− 8x + 8 y = a
имеет хотя бы одно решение, но среди этих решений нет удовлетво- ряющих условию x + y = 0.
18.17. Найдите все значения a на отрезке [0; π/2], при каждом из ко- торых система
¨ |x +
p
3 · y| + | y −
p
3 · x| = 2 sin a,
(
p
3 · x + y)
2
+ (
p
3 · y − x)
2
= 4 cos a
имеет ровно четыре различных решения.

166
Часть 1.
Решение задач
18.18. При каких значениях b система







(x +
p
3z)
2
+ (y −
p
3t)
2
= 36 + 2 · b ·
p
36 − b
2
,
x
2
+ y
2
= b
2
,
z
2
+ t
2
=
36 − b
2 3
имеет хотя бы одно решение?
18.19. Известно, что величины x, y, z, ω удовлетворяют системе





x
2
+ y
2
+ 2x + 4y − 20 = 0,
z
2
+ ω
2
− 2ω − 143 = 0,
x
ω + yz − x + ω + 2z − 61 ¾ 0.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
y
2 25
+
ω
2 144
18.20. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
3xy + 3ax − ay − a
2
− 3 = 0,
9x
2
+ 9y
2
− 6ax + 18ay + 7a
2
− 2a − 17 = 0
имеет ровно два различных решения.
Ответы
18.1
. (2a; a), (−2a; −a), a ∈ R.
18.2
. a
= 4; a = 64.
18.3
. Если a < 0, то x ∈ (0; −a) ∪ (−a; +∞); при a = 0 решений нет; если a > 0,
то x ∈ (−∞; −3a) ∪ (−a/3; 0).
18.4
. 3π
2
k
2
18.5
. a
< 17
p
6 − 6.
18.6
. b
∈
”
17 −
p
29 2
; 9
Š
18.7
.
α = 3.
18.8
. a
∈
”
17 −
p
29 2
; 9
Š
18.9
. а) a = ±1, b = 3; б) 0 < y <
x
2 12
при x > 0 и −
x
2 12
< y < 0 при x < 0.
18.10
. a
= 2; a =
16 3
18.11
. a
∈
§
1 4
p
2
ª
∪ [1;
4
p
2).
18.12
. a
∈ [2 101 608; 4 000 000] ∪ [600 · 10 4
; 625 · 10 4
].
18.13
. a
= 2; a = 4.
18.14
. a
=
t
2
|t| + 2
, b = t, где t 6= 0; a =
t
2
|t| − 2
, b = t, где |t| > 2.
18.15
.
α ∈
€
3 2
; +∞
Š
18.16
. a
∈ (44 − 24
p
2; 44 + 24
p
2). Указание. Разделите первое неравенство на 2
????
2
+4 ????
18.17
. a
= arccos
€
p
5 − 1 2
Š
; a = arccos(
p
2 − 1).
18.18
. b
∈ [−6; 6].
18.19
.
4201 3600
±
p
601 30
18.20
. a
=
1 3
; a = −1.

§ 19.
Использование особенностей функций
167