Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

Тренировочные задачи к § 15 149
15.13. Найдите все пары натуральных чисел t и s, удовлетворяющие системе
¨
2t + 47 < 22s − 2s
2
,
4s ¾ 7t + 14.
15.14. При каких значениях a система
(
sin 2π
p
a
2
− x
2
= 0,
2 · 3
|????????|
+ 3 2−|????????|
¶ 19
имеет наибольшее число решений?
15.15. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие урав- нению (x
2
+ y
2
)(x + y − 3) = 2xy.
15.16. Найдите наибольшие целые числа u и v, для которых урав- нение 364a
2
u
− 55v = −20 020 a
4
выполняется ровно при четырёх различных значениях a, два из которых относятся как 3 : 5.
15.17. Количество сотрудников некоторой корпорации ежегодно воз- растало в геометрической прогрессии и за 6 лет увеличилось на 20 615
человек. Найдите первоначальную численность сотрудников корпо- рации.
15.18. Найдите все тройки целых чисел (x; y; z), удовлетворяющие неравенству log
2
(2x + 3 y − 6z + 3) + log
2
(3x − 5 y + 2z − 2) +
+ log
2
(2 y + 4z − 5x + 2) > z
2
− 9z + 17.
15.19. Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие равенству
9x
2
y
2
+ 6xy
2
− 9x
2
y
+ 2x
2
+ y
2
− 18xy + 7x − 5 y + 6 = 0.
15.20. Найдите все целочисленные решения уравнения
14x
4
− 5 y
4
− 3x
2
y
2
+ 82y
2
− 125x
2
+ 51 = 0.
15.21. Найдите все целые значения a и b, при которых уравнение arcsin
€
p
b
2
− x
2
b
Š
− b · 2
sin(π????????)
−
arcsin
€
p
b
2
− x
2
b
Š + b · 2
sin(π????????)
= 2ab
имеет не менее 10 различных решений.

150
Часть 1.
Решение задач
15.22. Найдите все значения a, при каждом из которых ровно пять различных наборов (x; y; z) натуральных чисел x, y, z удовлетворяют системе
¨
12x
2
− 4x − 2xy + 3 y − 9 = 0,
ayz
+ axz + axy > xyz.
Ответы
15.1
. Если m = 0, то x = 3; если m = ±1, то x = ±(3 ± 2
p
2)/2; если m = ±2, то
x
= (3 ±
p
5)/2; если m = ±3, то x = ±3/2; при других целых m решений нет.
15.2
. (1; −1); (−1; 1).
15.3
. 72. Указание. Упростите выражение и воспользуйтесь оценкой |x| <
< px(x + 2) < |x + 1|.
15.4
. a
∈ (−13/3; −19/5].
15.5
. (9; 9).
15.6
. (4; 3), (6; 13), (14; 5).
15.7
. a
∈ (0,8; 0,98].
15.8
. (7k; 3k; 2k), k ∈ Z.
15.9
. (4; 9); (5; 8).
15.10
. x
∈ [−3; −2) ∪ {1}.
15.11
. (0; 0).
15.12
. (2; 1).
15.13
. (1; 6), (1; 7), (2; 7).
15.14
.
|a|∈(1;
p
2].
15.15
. (0; 0), (2; 2), (0; 3), (3; 0).
15.16
. u
=−187, v =−819.
15.17
. 1984.
15.18
. (5; 4; 4).
15.19
. (0; 2), (−2; 0), (0; 3), (2; 1). Указание. Запишите уравнение как квад- ратное относительно y (или x) и разложите на множители (это равносильно решению квадратного уравнения).
15.20
. (2; 3), (2; −3), (−2; 3), (−2; −3).
15.21
. a
= −2, b = 4, 5, . . . ; a = −1, b = 3, 4, 5, . . .
15.22
. a
∈ (5/11; 6/13].
§ 16. Задачи с целой и дробной частью числа
Определение 16.1. Для произвольного числа x ∈ R определим его целую часть как наибольшее целое число, не превосходящее x.
Целую часть числа x обозначают [x].
Из определения следует, что если x = k + α, где k ∈ Z, x − 1 < k ¶ x,
то k — целая часть числа x. Приведём в качестве примера простые вычисления: [0,7] = 0, [−0,7] = −1, [3,1] = 3, [4] = 4, [−1,33] = −2. Гра- фик функции [x] представляет собой кусочно постоянную функцию,
неубывающую на всей числовой оси (см. рис.
16.1
).
Определение 16.2. Для произвольного числа x ∈ R определим его дробную часть равенством {x} = x − [x].
Из данного определения и представления x = k + α, где k ∈ Z,
x
− 1 < k ¶ x, следует, что α — дробная часть числа. Приведём в каче- стве примера простые вычисления: {0,7} = 0,7, {−0,7} = 0,3, {3,1} = 0,1,

§ 16.
Задачи с целой и дробной частью числа
151
x
y
1 2
3 0
1 2
3 4
Рис. 16.1
{4} = 0, {−1,33} = 0,67. График функции {x} представляет собой кусоч- но непрерывную функцию, неотрицательную (т. е. {x} ¾ 0) и возрас- тающую на каждом промежутке вида [k, k + 1), k ∈ Z (см. рис.
16.2
).
x
y
1 0
1 2
3 4
Рис. 16.2
Пример 16.1. Решите уравнение
1
{x}
+
1
[x]
= −
1
x
Решение. Прежде всего найдём ОДЗ данного уравнения. Очевид- но, что ОДЗ имеет вид R\{[0, 1] ∪ {k}
????
∈ Z
}. У исходного уравнения нет положительных решений, поскольку при x > 0 выражение в левой части положительно, а в правой отрицательно. Решим уравнение для отрицательных x:
1
{x}
+
1
[x]
= −
1
x
⇔
[x] + {x}
{x}[x]
= −
1
[x] + {x}
⇔
⇔ ([x] + {x})
2
= −{x}[x] ⇔ [x]
2
+ 3[x]{x} + {x}
2
= 0 ⇔
⇔
€
[x]
{x}
Š
2
+ 3
[x]
{x}
+ 1 = 0 ⇔
€
[x]
{x}
+
3 2
Š
2
−
5 4
= 0.

152
Часть 1.
Решение задач
Отсюда получаем
[x] =
−3 ±
p
5 2
{x}.
(16.1)
Но из оценок
0 < {x} < 1,
−3 <
−3 ±
p
5 2
< 0
вытекает, что либо [x] = −1, либо [x] = −2.
Пусть [x] = −1, тогда из равенства (
16.1
) следует, что либо
{x} =
2 3 +
p
5
=
3 −
p
5 2
⇒ x =
3 −
p
5 2
− 1 =
1 −
p
5 2
,
либо
{x} =
2 3 −
p
5
=
3 +
p
5 2
> 1.
Последний случай невозможен, так как {x} < 1.
Пусть [x] = −2, тогда снова получаем две возможности: либо
{x} =
4 3 +
p
5
= 3 −
p
5 ⇒ x = −2 + 3 −
p
5 = 1 −
p
5,
либо
{x} =
4 3 −
p
5
= 3 +
p
5 > 1,
что невозможно.
Ответ:
1 −
p
5 2
; 1 −
p
5.
Пример 16.2. Решите уравнение x
3
− 3 = [x].
Решение. Воспользуемся представлением [x] = x − {x}. Тогда ис- ходное уравнение можно записать в виде
x
3
− x = 3 − {x}.
Поскольку 0 < {x} < 1, мы получаем 2 < 3 − {x} ¶ 3. Покажем, что левая часть исходного уравнения не лежит в промежутке (2; 3] при
x
∈ (−∞; 1] ∪ [2; +∞). Действительно,
x ¾ 2 ⇒ x
3
− x = x(x
2
− 1) ¾ 6,
x ¶ −1 ⇒ x
3
− x = x(x
2
− 1) ¶ 0,
x
∈ [−1; 1] ⇒ |x
3
− x| = |x(x
2
− 1)| ¶ 1.
Следовательно, решение исходного уравнения должно лежать в ин- тервале 1 < x < 2. Тогда x = 1 + {x} и
x
3
− x = 3 − {x} ⇔ x
3
− 1 − {x} = 3 − {x} ⇔ x
3
= 4 ⇔ x =
3
p
4.
Ответ:
3
p
4.

§ 16.
Задачи с целой и дробной частью числа
153
Пример 16.3. Решите в целых числах уравнение
”
x
1!
— + ”
x
2!
— + ”
x
3!
— + ... + ”
x
2007!
— = 1005.
Решение. Поскольку при x < 0 все слагаемые в левой части отри- цательны, решение удовлетворяет неравенству x ¾ 0. Из неравенства
720 + 720/2 > 1005 вытекает, что решение удовлетворяет неравенству
x
< 6! = 720. Но поскольку при x < 720 справедливо неравенство
”
x
k!
— = 0, k ¾ 6, k ∈ N,
исходное уравнение равносильно следующему уравнению:
”
x
1!
— + ”
x
2!
— + ”
x
3!
— + ”
x
4!
— + ”
x
5!
— = 1005, x ∈ N, x < 720.
Представим x в виде
x
= a · 5! + b · 4! + c · 3! + d · 2! + e · 1!,
(16.2)
где a, b, c, d, e — целые неотрицательные числа, причём a ¶ 5, b ¶ 4,
c ¶ 3, d ¶ 2, e ¶ 1. Покажем, что данное представление единственно.
Поделив уравнение (
16.2
) на 5!, находим коэффициент a из равен- ства a =
”
x
5!
—
. Коэффициент b при найденном коэффициенте a нахо- дится из равенства x − a · 5! = b · 4! + c · 3! + d · 2! + e · 1!. Продолжая рассуждать аналогично, мы доказываем, что представление (
16.2
)
единственное.
Из этого представления для x вытекает, что
”
x
1!
— = a · 5! + b · 4! + c · 3! + d · 2! + e · 1!,
”
x
2!
— = a · 5 · 4 · 3 + b · 4 · 3 + c · 3 + d,
”
x
3!
— = a · 5 · 4 + b · 4 + c,
”
x
4!
— = a · 5 + b,
”
x
5!
— = a.
Складывая все полученные равенства и подставляя в исходное урав- нение, получаем
206a + 41b + 10c + 3d + e = 1005.
Поскольку 41b + 10c + 3d + e ¶ 41 · 4 + 10 · 3 + 3 · 2 + 1 = 201, мы получаем 804 ¶ 206a ¶ 1005, следовательно, a = 4. Теперь остаётся определить оставшиеся коэффициенты из уравнения
41b + 10c + 3d + e = 181.

154
Часть 1.
Решение задач
Рассуждая аналогично, мы получаем b = 4, c = 1, d = 2, e = 1. Следо- вательно, x = 4 · 5! + 4 · 4! + 3! + 2 · 2! + 1 = 587.
Ответ: 587.
Тренировочные задачи к § 16
16.1. Сравните числа ctg 1 и {π/2}.
16.2. Найдите все решения уравнения [x]
2
= [x
2
].
16.3. Решите неравенство [x] · {x} < x − 1.
16.4. Найдите количество корней уравнения
{x} −
1 2
= log
2
a
x
для каждого значения a ∈ [1/
p
2; 3/2].
16.5. Найдите все значения a, принадлежащие отрезку [0; π], при которых уравнение sin
5
(3x + a) = cos(π · [x]) имеет на отрезке [1; π]
нечётное число различных решений.
16.6. Найдите все значения a, принадлежащие отрезку [0; π], при которых уравнение cos
3
(2x + a) = |sin(π · [x]/2)| имеет на отрезке
[1; π] нечётное число различных решений.
Ответы
16.1
. ctg 1>{π/2}. Указание. Докажите, что ctg 1=ctg[π/2]=tg{π/2}>{π/2}.
16.2
. x
= k, k ∈ Z; x ∈ [m;
p
m
2
+ 1), m = 0, 1, 2, 3, . . .
16.3
. [2; +∞).
16.4
. 2.
16.5
. a
∈ [π/2; 3π/2 − 3] ∪ (5π/2 − 6; 7π/2 − 9].
16.6
. a
∈ (2π − 6; 3π/2 − 4] ∪ (5π/2 − 6; 2π − 4).

§ 17.
Введение новой переменной для решения задач
155
x
= sin α либо x = cos
????
α, x = sin
????
α. В приведённых примерах исполь- зованы тригонометрические замены, хотя, разумеется, часто исполь- зуются и другие замены.
Пример 17.1. Найдите наибольшее значение выражения 3x−2 y на множестве переменных x, y, удовлетворяющих условию 4x
2
+ y
2
= 16.
Решение. Поскольку уравнение 4x
2
+y
2
=16 — уравнение эллипса,
можем сделать тригонометрическую замену x = 2 sin t, y = 4 cos t.
Действительно, при такой замене уравнение 4x
2
+ y
2
= 16 переходит в основное тригонометрическое тождество sin
2
t
+ cos
2
t
= 1.
Используя данную замену, получаем
3x − 2 y = 6 sin t − 8 cos t = 10
€
3 5
sin t −
4 5
cos t
Š =
= 10(sin t cos ϕ − cos t sin ϕ) = 10 sin(t − ϕ) ¶ 10, где ϕ = arcsin
4 5
Отсюда видно, что наибольшее значение выражения 3x − 2 y рав- но 10, причём максимальное значение достигается, например, при
t
∗
= π/2 + ϕ = π/2 + arcsin(4/5), т. е. при
x
= 2 sin t
∗
= 2 cos
€
arcsin
4 5
Š =
6 5
,
y
= 4 cos t
∗
= −4 sin
€
arcsin
4 5
Š = −
16 5
Ответ: 10.
Пример 17.2. Решите уравнение p
1 − x
2
(1 − 4x
2
) + x(3 − 4x
2
) =
p
2.
Решение. Прежде всего заметим, что ОДЗ данного уравнения состоит из отрезка [−1; 1]. Поэтому возможна замена x = sin t, t ∈
∈ [−π/2; π/2]. Действительно, для t ∈ [−π/2; π/2] множеством зна- чений функции sin t будет отрезок [−1; 1]. Уравнение можно записать в виде p
1 − x
2
(4(1 − x
2
) − 3) + x(3 − 4x
2
) =
p
2 ⇔
⇔ cos t (4 cos
2
t
−3)+sin t (3−4 sin
2
t)=
p
2 ⇔ cos 3t +sin 3t =
p
2.
Решаем уравнение cos 3t + sin 3t =
p
2 при помощи введения вспомо- гательного угла:
cos 3t + sin 3t =
p
2 ⇔
1
p
2
cos 3t +
1
p
2
sin 3t = 1 ⇔
⇔ cos 3t sin
π
4
+ sin 3t cos
π
4
= 1 ⇔ sin
€
3t +
π
4
Š = 1.

156
Часть 1.
Решение задач
Отсюда находим
3t +
π
4
=
π
2
+ 2πn, n ∈ Z, ⇔ t =
π
12
+
2πn
3
, n ∈ Z.
Остаётся выписать корни из отрезка [−π/2; π/2]. Как несложно про- верить, неравенствам
−
π
2
¶
π
12
+
2πn
3
¶
π
2
,
n
∈ Z,
корни удовлетворяют лишь при n = 0, т. е.
x
= sin
π
12
= sin
€
π
3
−
π
4
Š = sin
π
3
· cos
π
4
− cos
π
3
· sin
π
4
=
=
p
3 2
·
p
2 2
−
1 2
·
p
2 2
=
p
6 −
p
2 4
Ответ: x
= sin
π
12
=
p
6 −
p
2 4
Пример 17.3. Решите систему









y
x
− xy = 2,
z
y
− yz = 2,
x
z
− zx = 2.
Решение. ОДЗ данной системы: x 6=0, y 6=0, z 6=0. Систему на ОДЗ
запишем в виде











y
=
2x
1 − x
2
,
z
=
2 y
1 − y
2
,
x
=
2z
1 − z
2
Мы воспользовались тем, что x = ±1 не удовлетворяют первому урав- нению исходной системы, y = ±1 — второму и z = ±1 — третьему.
Поэтому сделанное преобразование равносильное.
Замечаем, что при замене x = tg α, где α ∈ (−π/2; π/2), система принимает вид











y
=
2x
1 − x
2
,
z
=
2 y
1 − y
2
,
x
=
2z
1 − z
2
⇔





y
= tg 2α,
z
= tg 4α,
x
= tg 8α.

Тренировочные задачи к § 17 157
Из третьего уравнения системы получаем tg α = tg 8α и приходим к системе
¨
tg α = tg 8α,
tg α 6= 0
⇔









sin 7α = 0,
cos α 6= 0,
cos 8α 6= 0,
tg α 6= 0.
Из уравнения последней системы находим α = πn/7, n ∈ Z. Учитывая условие α ∈ (−π/2; π/2) и ОДЗ, получаем окончательный ответ.
Ответ: (tg α; tg 2α; tg 4α), где α = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7.
Тренировочные задачи к § 17
17.1. Решите неравенство
4
p
1 − x −
p
x
>
1
p
3
17.2. Найдите все решения уравнения s
1 + 2x
p
1 − x
2 2
+ 2x
2
= 1.
17.3. Решите уравнение 6x ·
p
1 − 9x
2
+ 18x
2
− 3
p
2x − 1 = 0.
17.4. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение
8x(2x
2
− 1)(8x
4
− 8x
2
+ 1) = 1?
17.5. Найдите наименьшее значение выражения 2x − 4 y на множе- стве переменных x, y, удовлетворяющих условию 4x
2
+ 9y
2
= 36.
17.6. При каких значениях a система







(x +
p
2z)
2
+ (y +
p
2t)
2
= 25 + 2a
p
25 − a
2
,
x
2
+ y
2
= a
2
,
z
2
+ t
2
=
25 − a
2 2
имеет хотя бы одно решение?
17.7. Решите уравнение 4x
p
1 − x
2
(2x
2
− 1) = 8x
2
(1 − x
2
) +
p
2 − 1.
4
Конечно же, данный пример можно решить и без введения новой переменной.