ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 437
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тренировочные задачи к § 14 141
14.10. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоско- сти соотношением
y −
x
2 2
+
y +
x
2 2
¶ 2 + x .
14.11. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ |x + 2y + 1| ¶ 11,
(x − a)
2
+ (y − 2a)
2
= 2 + a
имеет единственное решение.
14.12. Найдите все значения a, при каждом из которых ровно одно решение неравенства x
2
+ (5a + 3)x + 4a
2
¶ 4 удовлетворяет неравен- ству ax(x − 4 − a) ¶ 0.
14.13. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств
Æ
(x − 2a)
2
+ (y − a)
2
¶
|a|
6
p
5
,
x
− 2 y ¾ 1
имеет решения.
14.14. Найдите все положительные значения a, при каждом из кото- рых система неравенств
¨
(x + y + a)
2
+ (x − y − a)
2
¶ (a − 1)
2
,
(x + y − 2a)
2
+ (x − y + 3a)
2
¶ (8a − 5)
2
не имеет решений.
14.15. При каких значениях p площадь фигуры, заданной на коорди- натной плоскости уравнением |2x + y| + |x − y + 3| ¶ p, будет равна 24?
14.16. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ x
2
+ y
2
− 6|x| − 6| y| + 17 ¶ 0,
x
2
+ y
2
− 2 y = a
2
− 1
имеет хотя бы одно решение.
14.17. Составьте уравнение окружности наименьшего радиуса, внут- ри которой помещается множество, заданное на координатной плос- кости условием | y − 2x − 1| + |2x − 4| < 4.
142
Часть 1.
Решение задач
14.18. При каких значениях a система
¨ x
2
+ (2 − 3a)x + 2a
2
− 2a < 0,
ax
= 1
имеет решения?
14.19. При каждом значении a ¾ 0 решите неравенство
x
2
(x − 2)
x
+ 2
+ ax
2
+
ax
x
+ 2
− 2ax + a
2
¾ 0.
14.20. Найдите все значения c, при каждом из которых множество точек плоскости, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе
x
2
+ y
2
− 16x + 10 y + 65
x
2
+ y
2
− 14x + 12 y + 79
¶ 0,
(x − c)( y + c) = 0,
являются отрезком.
14.21. Найдите все значения a, при каждом из которых система
(
x
− ax − a
x
− 2 + 2a
¾ 0,
x
− 8 > ax
не имеет решений.
14.22. При каждом значении b решите неравенство p
x
+4b
2
>x+2|b|.
14.23. Для каждого значения a, принадлежащего отрезку [−1; 0], ре- шите неравенство log
????
+????
(x
2
− (a + 1)x + a) ¾ 1.
Ответы
14.1
. a
∈ (−1/2; 2).
14.2
. a
= −3; a = 1.
14.3
. a
1
∈ (2; 2,5). Указание. Напишите неравенства для a
1
и d и решите их методом областей.
14.4
. 9(π + 1)/2.
14.5
.
π/3 + 2
p
3.
14.6
. 3π/
p
2 + 2
p
2.
14.7
. 2π + 7.
14.8
. 18π − 36.
14.9
. [−1; 5].
14.10
. 15/2.
14.11
. a
= −2; a = 3.
14.12
. a
∈ {−5/3; −3/2; −1; 1}.
14.13
. a
∈ (−∞; −6] ∪ [6; +∞).
14.14
. a
∈ (3/7; 3/2).
14.15
. p
= 6.
14.16
. a
∈ [−6; 1 −
p
13] ∪ [
p
13 − 1; 6]
14.17
. (x − 2)
2
+ (y − 5)
2
= 20.
14.18
. a
∈ (−1; (1 −
p
3)/2) ∪ (1; (1 +
p
3)/2).
14.19
. Если a ∈ [0; 1), то x ∈ (−∞; −2) ∪ [−2a/(a + 1); 1 −
p
1 − a] ∪ [1 +
p
1 − a;
+∞); если a ¾ 1, то x ∈ (−∞; −2) ∪ [−2a/(a + 1); +∞).
14.20
. c
∈ (5 − 2
p
6; 8 − 2
p
6) ∪ (5 + 2
p
6; 8 + 2
p
6).
14.21
. a
∈ [1; 3].
14.22
. Если |b| ∈ [0; 1/4), то x ∈ (0; 1 − 4|b|); если |b| = 1/4, то решений нет;
если |b| ∈ (1/4; 1/2], то x ∈ (1 − 4|b|; 0); если |b| > 1/2, то x ∈ [−4b
2
; 0).
§ 15.
Задачи на целые числа
143
14.23
. Если a=−1, то x∈(2;+∞); если −1−1/2, то x∈(1;a+2]∪(1−a;+∞);
если a = −1/2, то x ∈ (1; 3/2) ∪ (3/2; +∞); если −1/2 < a < 0, то x ∈ (1; 1 − a) ∪
∪ [a + 2; +∞); если a = 0, то x ∈ [2; +∞).
1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 21
§ 15. Задачи на целые числа
При решении задач в целых числах важную роль играет понятие делимости чисел. Напомним, что целое число b делит целое число a,
если существует такое целое число c, что a = bc. Если целое число де- лится на 2, то оно называется чётным. Чётными являются числа 0, ±2,
±4, ±6, . . . Общая формула чётного числа: 2n, n ∈ Z. Если целое число не делится на 2, то оно называется нечётным. Нечётными являются числа ±1, ±3, ±5, ±7, . . . Общая формула нечётного числа: 2n + 1, n ∈ Z.
Полезно знать признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Число делится на 2, если в его десятичной записи последняя цифра чётная.
Число делится на 5, если в его десятичной записи последняя цифра равна либо 5, либо 0.
Число делится на 10, если в его десятичной записи последняя цифра 0. Вообще, число делится на 10
????
, если n его последних цифр равны 0.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Если произведение целых чисел x, y равно заданному числу k, то каждое из чисел x, y является делителем числа k. Например уравне- ние xy = 21 допускает следующие восемь решений в целых числах:
(1; 21), (21; 1), (3; 7), (7; 3), (−1; −21), (−21; −1), (−3; −7), (−7; −3).
Пример 15.1. При каждом значении a найдите все натуральные числа x, y, удовлетворяющие неравенству xy ¶ 3 − a
2
Решение. Поскольку числа x, y натуральные, их произведение не меньше чем 1. В то же время для любого значения a выполняется неравенство 3 − a
2
¶ 3. Следовательно, произведение xy может при- нимать только значения 1, 2, 3. При 1 < |a| ¶
p
2 неравенству удо- влетворяет только пара x = 1, y = 1; при 0 < |a| ¶ 1 неравенству удо- влетворяют пары (1; 1), (2; 1), (1; 2); наконец, при a = 0 неравенству удовлетворяют пары (1; 1), (2; 1), (1; 2), (3; 1), (1; 3).
Ответ: если 1 < |a| ¶
p
2, то решение (1; 1); если 0 < |a| ¶ 1, то решения (1; 1), (2; 1), (1; 2); если a = 0, то решения (1; 1), (2; 1), (1; 2),
(3; 1), (1; 3); если |a| >
p
2, то решений нет.
144
Часть 1.
Решение задач
Пример 15.2. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворя- ющие уравнению 3x
2
− 7 y
2
− 20xy = 15.
Решение. Представим исходное уравнение в следующем виде:
(3x + y)(x − 7 y) = 15.
Поскольку мы решаем задачу в целых числах, 3x + y, x − 7 y тоже целые числа. Число 15 можно представить в виде произведения двух целых чисел так: 1 · 15, (−1) · (−15), 15 · 1, (−15) · (−1), 5 · 3, (−5) · (−3),
3 · 5, (−3) · (−5). Поэтому исходное уравнение равносильно совокуп- ности восьми систем в целых числах.
1.
3x + y = 1,
x
− 7 y = 15.
Умножим второе уравнение на −3 и сложим с первым. Получаем
22 y = −44, откуда y = −2. Теперь из первого уравнения находим
x
= 1. Аналогично решим все оставшиеся семь систем.
2.
3x + y = −1,
x
− 7 y = −15
⇔ y = 2, x = −1.
3.
3x + y = 15,
x
− 7 y = 1;
решений в целых числах нет.
4.
3x + y = −15,
x
− 7 y = −1;
решений в целых числах нет.
5.
3x + y = 5,
x
− 7 y = 3;
решений в целых числах нет.
6.
3x + y = −5,
x
− 7 y = −3;
решений в целых числах нет.
7.
3x + y = 3,
x
− 7 y = 5;
решений в целых числах нет.
8.
3x + y = −3,
x
− 7 y = −5;
решений в целых числах нет.
Ответ: (1; 2); (−1; −2).
Пример 15.3. Из области определения функции
y
= log
0,8
a
????
− a
8????+5
????
+5
§ 15.
Задачи на целые числа
145
взяли все натуральные числа и сложили их. Найдите все положительные значения a, при которых такая сумма будет больше 8, но меньше 15.
Решение. Выпишем условия на область определения функции:
¨ a
> 0,
a
????
− a
8????+5
????
+5
> 0.
Из последнего неравенства заключаем, что a 6= 1. Для решения этого неравенства рассмотрим два случая: a ∈ (0; 1) и a ∈ (1; +∞).
I. Пусть a ∈ (0; 1). Тогда
a
????
>a
8????+5
????
+5
⇔ a<
8x + 5
x
+5
⇔
(8 − a)x + 5 − 5a
x
+5
>0 ⇔ (8−a)·
x
+ 5
a
−5
a
−8
x
+5
>0.
Решим последнее неравенство методом интервалов. Корень знаме- нателя x
1
= −5, а числителя x
2
= −
5a − 5
a
− 8
. Поскольку при a ∈ (0; 1)
справедливо неравенство
5a − 5
a
− 8
= 5 +
35
a
− 8
< 5,
мы получаем x
1
< x
2
. Следовательно, решение неравенства при a ∈
∈ (0; 1) имеет вид x ∈ (−∞; x
1
) ∪ (x
2
; +∞). Поскольку в этом случае среди решений содержится бесконечное множество натуральных чи- сел, условие задачи не выполнено.
II. Пусть a ∈ (1; +∞). Тогда
a
????
>a
8????+5
????
+5
⇔ a>
8x + 5
x
+5
⇔
(8 − a)x + 5 − 5a
x
+5
<0 ⇔ (8−a)·
x
+ 5
a
−5
a
−8
x
+5
<0.
Для дальнейшего исследования придётся рассмотреть три случая в за- висимости от величины числа 8 − a.
IIа. Пусть a ∈ (1; 8). Тогда исходное неравенство равносильно неравенству
x
+ 5
a
− 5
a
− 8
x
+ 5
< 0.
Поскольку при a ∈ (1; 8) справедливо неравенство
5a − 5
a
− 8
= 5 +
35
a
− 8
< 5,
мы, как и ранее, имеем x
1
< x
2
. Следовательно, используя метод ин- тервалов, получаем решение
x
∈ (x
1
; x
2
) =
−5; −5 +
35 8 − a
146
Часть 1.
Решение задач
При a ∈ (1; 8) выполнено неравенство
−5 +
35 8 − a
> −5 +
35 8 − 1
= 0.
Найдём те a, при которых сумма всех натуральных решений неравен- ства будет больше 8, но при этом меньше 15. Из соотношений
1 + 2 + 3 = 6 < 8,
1 + 2 + 3 + 4 = 10 > 8,
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
вытекает, что x
2
∈ (4; 5], следовательно,
4 < −5 +
35 8 − a
¶ 5 ⇔ 9 <
35 8 − a
¶ 10 ⇔
35 10
¶ 8 − a <
35 9
⇔
⇔ −
9 2
¶ −a < −
37 9
⇔
37 9
< a ¶
9 2
Данные значения параметра a удовлетворяют условию задачи.
IIб. Пусть a = 8. Тогда решений нет, так как получается неверное неравенство 0 > 0.
IIв. Пусть a ∈ (8; +∞). Тогда исходное неравенство равносильно неравенству
x
+ 5
a
− 5
a
− 8
x
+ 5
> 0.
Поскольку при a ∈ (8; +∞) справедливо неравенство
5a − 5
a
− 8
= 5 +
35
a
− 8
> 5,
мы получаем x
1
> x
2
. Используя метод интервалов, находим решение
x
∈ (−∞; x
2
) ∪ (x
1
; +∞). И в этом случае среди решений бесконечно много натуральных чисел x, следовательно, условие задачи не выпол- нено.
Ответ: a
∈ (37/9; 9/2].
Пример 15.4. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворя- ющие уравнению p
2x − y − 3 +
p
2 y − x + 3 = 2
p
3 − x − y.
Решение. Найдём ОДЗ данного уравнения:
2x − y − 3 ¾ 0,
2 y − x + 3 ¾ 0,
3 − x − y ¾ 0
⇔
y ¶ 2x − 3,
y ¾
x
− 3 2
,
y ¶ 3 − x
⇔
x
− 3 2
¶ y ¶ 2x − 3,
x
− 3 2
¶ y ¶ 3 − x.
(15.1)
§ 15.
Задачи на целые числа
147
Из последней системы вытекает, что
x
− 3 2
¶ 2x − 3,
x
− 3 2
¶ 3 − x
⇔
¨
3 ¶ 3x,
3x ¶ 9
⇔ 1 ¶ x ¶ 3.
I. Пусть x = 1. Тогда из системы (
15.1
) следует, что
¨ −1 ¶ y ¶ −1,
−1 ¶ y ¶ 2
⇔ y = −1.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что пара (1; −1)
не является решением:
p
2 + 1 − 3 +
p
−2 − 1 + 3 = 0 6= 2
p
3 − 1 + 1.
II. Пусть x = 2. Тогда из системы (
15.1
) следует, что
−
1 2
¶ y ¶ 1,
−
1 2
¶ y ¶ 1
⇔ y = 0 или y = 1.
Подставим в исходное уравнение x = 2, y = 0:
p
4 − 0 − 3 +
p
0 − 2 + 3 = 2
p
3 − 2 − 0.
Таким образом, пара (2; 0) является решением исходного уравнения.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что другая пара
(2; 1) не является решением:
p
4 − 1 − 3 +
p
2 − 2 + 3 =
p
3 6= 0 = 2
p
3 − 2 − 1.
III. Пусть x = 3. Тогда из системы (
15.1
) следует, что
¨
0 ¶ y ¶ 3,
0 ¶ y ¶ 0
⇔ y = 0.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что пара (3; 0)
не является решением:
p
6 − 0 − 3 +
p
0 − 3 + 3 =
p
3 6= 0 = 2
p
3 − 3 − 0.
Таким образом, единственное целочисленное решение данного уравнения: (2; 0).
Ответ: (2; 0).
148
Часть 1.
Решение задач
Тренировочные задачи к § 15
15.1. Для каждого целого значения m найдите все решения уравне- ния log
????2 4
+????
2
(3x)
????
2
+1
= m
2
+ 1.
15.2. Найдите все пары целых чисел m и n, удовлетворяющие урав- нению 6m
2
− 2n
2
+ mn = 3.
15.3. При каком x ∈ {1; 2; 3; . . . ; 98; 99} значение выражения
r
x
+ 2
x
−
È
1 −
2
x
+ 2
:
r
1 +
2
x
+
r
x
x
+ 2
− 2
:
1 +
r
x
x
+ 2
ближе всего к 73?
15.4. Найдите все значения a, при каждом из которых существует единственная пара целых чисел (x; y), удовлетворяющая уравнению
−15x
2
+ 11xy − 2y
2
= 7 и неравенствам x < y, 2a
2
x
+ 3ay < 0.
15.5. Найдите все пары целых неотрицательных чисел (k; m), являю- щихся решениями уравнения 2k
2
+ 7k = 2mk + 3m + 36.
15.6. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющих урав- нению 3xy − 14x − 17 y + 71 = 0.
15.7. Найдите все положительные значения параметра a, при кото- рых в области определения функции y = (a
????
− a
????????
+2
)
−1/2
есть двузнач- ные натуральные числа, но нет ни одного трёхзначного натурального числа.
15.8. Найдите все целые решения (x; y; z) уравнения
x
2
+ 5y
2
+ 34z
2
+ 2xy − 10xz − 22yz = 0.
15.9. Найдите все пары (m; n) натуральных чисел, для которых вы- полнено равенство log
????
(n − 7) + log
????
(5m − 17) = 1.
15.10. Найдите все x ∈ [−3; 1], для которых неравенство
x
· π(x + 1) − 4 arctg(3m
2
+ 12m + 11)
> 0
выполняется при любых целых m.
15.11. Найдите все пары целых чисел m и n, удовлетворяющие урав- нению m
2
+ amn − bn
2
= 0, где a = 1953 100
, b = 1995 100
15.12. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие урав- нению p
2x + y − 4 +
p
5 − x − 2 y = 2
p
2 − x + y.