ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 428
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
§ 4. Задачи, сводящиеся к исследованию
квадратного уравнения
Для квадратного уравнения
ax
2
+ bx + c = 0, a 6= 0,
(4.1)
выделяем три случая.
1. Если D = b
2
− 4ac < 0, то действительных решений у квадратного уравнения (
4.1
) нет (см. рис.
4.1
,
4.2
).
2. Если D = b
2
− 4ac = 0, то решение квадратного уравнения (
4.1
)
имеет вид x = −b/(2a) (см. рис.
4.3
,
4.4
).
3. Если D = b
2
− 4ac > 0, то квадратное уравнение (
4.1
) имеет два корня x
+
, x
−
(см. рис.
4.5
,
4.6
):
x
±
=
−b ±
p
b
2
− 4ac
2a
Кроме того, выполнено равенство ax
2
+ bx + c = a(x − x
+
)(x − x
−
).
I. Важную роль при решении квадратных уравнений с парамет- ром играет теорема Виета. Для квадратного уравнения ax
2
+bx+c=0,
a
6= 0, имеющего корни x
±
(случай D ¾ 0), выполняются формулы
Виета:
x
+
+ x
−
= −
b
a
;
x
+
x
−
=
c
a
x
y
x
в
y
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.1. D
< 0, a > 0
x
y
x
в
y
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.2. D
< 0, a < 0
x
y
x
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.3. D
= 0, a > 0
x
y
x
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.4. D
= 0, a < 0
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
37
x
y
x
в
y
в
0
x
−
x
+
y
= f (x)
Рис. 4.5. D
> 0, a > 0
x
y
x
в
y
в
0
x
+
x
−
y
= f (x)
Рис. 4.6. D
> 0, a < 0
II. Второе важное замечание состоит в том, что при решении задач, сводящихся к исследованию квадратных уравнений, нужно помнить о геометрической интерпретации квадратного уравнения.
Например, выделяя полный квадрат, получаем (при a 6= 0)
ax
2
+ bx + c = a ·
x
+
b
2a
2
+
c
−
b
2 4a
= a · (x − x
в
)
2
+ y
в
,
где
x
в
= −
b
2a
,
y
в
= c −
b
2 4a
Графиком функции y = ax
2
+ bx + c является парабола, вершина кото- рой имеет координаты (x
в
; y
в
). При a > 0 ветви параболы направлены вверх, а в вершине параболы достигается минимум квадратичной функции. При a < 0 ветви параболы направлены вниз, а в вершине параболы достигается максимум квадратичной функции.
Пример 4.1. При каждом значении a решите неравенство
ax
2
+ x + 3a
3
> 0.
Решение. Пусть a = 0. Тогда решением неравенства будет мно- жество чисел x > 0.
При a 6= 0 функция f (x) = ax
2
+ x +3a
3
квадратичная, её график —
парабола. Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискрими- нанта D = 1 − 12a
4
функции f (x), т. е. случаи D < 0, D = 0, D > 0.
I. Пусть D = 1 − 12a
4
< 0, т. е. a ∈ (−∞; −1/
4
p
12) ∪ (1/
4
p
12; +∞).
Тогда в зависимости от знака a функция f (x) будет всюду положи- тельна либо всюду отрицательна (см. рис.
4.7
и рис.
4.8
).
Если a > 1/
4
p
12, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ R. Если
a
< −1/
4
p
12, то получаем f (x) < 0 для любого x ∈ R.
Частичный ответ: при a < −1/
4
p
12 решений нет; если a > 1/
4
p
12,
то x ∈ (−∞; +∞).
38
Часть 1.
Решение задач
x
y
0
y
= f (x)
1
Рис. 4.7
x
y
0
y
= f (x)
Рис. 4.8
II. Пусть D = 1 − 12a
4
= 0, т. е. a = ±1/
4
p
12. Тогда у квадратного уравнения f (x) = 0 будет единственный корень x
0
= −
1 2a
(см. рис.
4.9
и рис.
4.10
).
x
y
0
y
= f (x)
x
0
Рис. 4.9
x
y
0
y
= f (x)
x
0
Рис. 4.10
Если a = 1/
4
p
12, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ R\{−
4
p
12/2}.
Если a = −1/
4
p
12, то получаем f (x) ¶ 0 для любого x ∈ R.
Частичный ответ: при a = −1/
4
p
12 решений нет; если a = 1/
4
p
12,
то x ∈ (−∞; +∞)\{−
4
p
12/2}.
III. Пусть D = 1−12a
4
>0, т. е. a∈(−1/
4
p
12; 1/
4
p
12). Тогда квадрат- ное уравнение f (x) = 0 имеет два решения (см. рис.
4.11
и рис.
4.12
).
x
+
=
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
,
x
−
=
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
Если a > 0, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ (−∞; x
−
)∪(x
+
; +∞).
Если a < 0, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ (x
+
; x
−
).
Частичный ответ:
если 0 < a <
1 4
p
12
, то x ∈
−∞;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
∪
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
; +∞
;
если −
1 4
p
12
< a < 0, то x ∈
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
Объединяя частичные ответы, получаем ответ.
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
39
x
y
0
y
= f (x)
x
−
x
+
Рис. 4.11
x
y
0
y
= f (x)
x
+
x
−
Рис. 4.12
Ответ: при a ¶ −1/
4
p
12 решений нет; если −1/
4
p
12 < a < 0, то
x
∈
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если
0 < a ¶ 1/
4
p
12, то x ∈
−∞;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
∪
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
; +∞
;
если a > 1/
4
p
12, то x ∈ (−∞; +∞).
Пример 4.2. При каких значениях a функция y =
2
????????
+7 2
????
2
имеет максимум в точке x = 4?
Решение. Исходную функцию представим в виде y = 2
−????
2
+????????+7
Поскольку функция 2
????
монотонно возрастает, максимум функции y =
=2
−????
2
+????????+7
достигается в той же точке, что и у квадратичной функции
f (x) = −x
2
+ ax + 7. У соответствующей параболы ветви направлены вниз, следовательно, максимум достигается в вершине параболы, т. е.
в точке x
в
= a/2. Но согласно условию x
в
= 4, следовательно, a = 8.
Ответ: a
= 8.
Пример 4.3. Найдите все значения b, при которых уравнение
x
− 2 =
p
2(b − 1)x + 1 имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем уравнение:
¨ x ¾ 2,
(x − 2)
2
= 2(b − 1)x + 1
⇔
¨ x ¾ 2,
x
2
− 2(b + 1)x + 3 = 0.
У параболы f (x) = x
2
− 2(b + 1)x + 3 ветви направлены вверх, по- этому единственное решение возможно лишь в следующих случаях
(см. соответствующие рис.
4.13
–
4.17
):
I)
¨ D
> 0,
f (2) < 0;
II)
D
> 0,
f (2) = 0,
x
в
< 2;
III)
¨ D
= 0,
x
в
¾ 2.
40
Часть 1.
Решение задач
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.13. Случай I
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.14. Случай I
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.15. Случай II
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.16. Случай III
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.17. Случай III
Найдём дискриминант уравнения f (x) = 0:
D
4
= (b + 1)
2
− 3 = (b + 1 −
p
3)(b + 1 +
p
3).
Разберём теперь каждый из перечисленных выше трёх случаев.
Случай I:
D
> 0,
f (2) < 0
⇔
¨
b
∈ (−∞; −1 −
p
3) ∪ (−1 +
p
3; +∞),
4 − 4(b + 1) + 3 < 0
⇔
⇔
( b ∈ (−∞; −1 −
p
3) ∪ (−1 +
p
3; +∞),
b
>
3 4
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
41
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.18. Случай двух корней
Сравним числа −1 +
p
3 и 3/4:
−1 +
p
3 ∨ 3/4,
p
3 ∨ 7/4,
4
p
3 ∨ 7,
48 < 49.
Таким образом, в первом случае получаем b > 3/4.
Разберём второй случай. (Второй случай приходится разбирать отдельно от первого, поскольку возможна ситуация (см. рис.
4.18
),
когда D > 0 и f (2) = 0, но при этом мы имеем два решения (случай
x
в
> 2).)
Случай II:
D
> 0,
f (2) = 0,
x
в
< 2
⇔
b
∈ (−∞; −1 −
p
3) ∪ (−1 +
p
3; +∞),
b
=
3 4
,
2(b + 1)
2
< 2
⇔ b =
3 4
Остаётся разобрать последний третий случай.
Случай III:
¨ D
= 0,
x
в
¾ 2
⇔
¨
b
= −1 ±
p
3,
b ¾ 1
⇔ b ∈ ∅.
Объединяя результаты этих случаев, получаем ответ.
Ответ: b
∈ [3/4; +∞).
Пример 4.4. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x
2
−2(a+1)x+a
2
+2a)
2
+(a+5)(x
2
−2(a+1)x+a
2
+2a)−a
2
−7a−10=0
имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения.
42
Часть 1.
Решение задач
x
y
y
= f (x)
−1
Рис. 4.19
Решение. Замена переменной
y
= x
2
− 2(a + 1)x + a
2
+ 2a
(графики функции y = f (x) приведены на рис.
4.19
) сводит исходное уравнение к квадратному уравнению g( y) = 0, где
g( y) = y
2
+ (a + 5)y − a
2
− 7a − 10.
Если y
0
— корень этого уравнения, то для отыскания корней исход- ного уравнения требуется решить уравнение
x
2
− 2(a + 1)x + a
2
+ 2a = y
0
или равносильное уравнение
(x − (a + 1))
2
= y
0
+ 1.
• Если y
0
< −1, то уравнение не имеет корней, так как его левая часть неотрицательна при любых x, а правая часть отрицательная.
• Если y
0
= −1, то уравнение имеет один корень x = a + 1.
• Если y
0
> −1, то уравнение имеет два корня, один из которых меньше чем a + 1, а другой — больше (см. рис.
4.20
).
x
y
y
= f (x)
y
0 0
a
+ 1
Рис. 4.20
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
43
y
z
−1 0
нет решений одно решение два решения
Рис. 4.21
Эти замечания изобразим на графике (см. рис.
4.21
).
Рассмотрим пункт а) исходной задачи. Согласно сказанному вы- ше исходное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда уравнение g( y) = 0 либо имеет корень y
0
= −1 кратности 2, либо кро- ме корня y
0
= −1 имеет корень, меньший −1. При этом в обоих случа- ях абсцисса вершины параболы меньше либо равна −1 (см. рис.
4.22
).
Эти условия можно объединить в систему:
¨ g(−1) = 0,
y
в
¶ −1
⇔
( − a
2
− 8a − 14 = 0,
−
a
+ 5 2
¶ −1
⇔ a = −4 +
p
2.
y
z
−1 0
Рис. 4.22
Рассмотрим пункт б) задачи. Исходное уравнение имеет два ре- шения в одном из двух случаев. В первом из них уравнение g( y) = 0
имеет единственный корень y
0
> −1, причём y
0
= y
в
(см. рис.
4.23
).
Этот случай соответствует системе
¨ D
= 0,
y
в
> −1
⇔
(
(a + 5)
2
+ 4(a
2
+ 7a + 10) = 0,
−
a
+ 5 2
> −1
⇔
44
Часть 1.
Решение задач
y
z
−1 0
нет решений одно решение два решения
Рис. 4.23
y
z
−1 0
нет решений одно решение два решения
Рис. 4.24
⇔
(
5a
2
+ 38a + 65 = 0,
−
a
+ 5 2
> −1
⇔ a = −5.
Во втором случае (см. рис.
4.24
) уравнение g( y) = 0 имеет два корня,
один из которых больше −1, а другой меньше −1, что равносильно условию g(−1) < 0, т. е.
g(−1) < 0 ⇔ a
2
+8a+14>0 ⇔ a ∈(−∞; −4−
p
2) ∪ (−4 +
p
2; +∞).
Ответ: а) единственное решение при a = −4 +
p
2; б) ровно два различных решения при a ∈ (−∞; −4 −
p
2) ∪ {−5} ∪ (−4 +
p
2; +∞).
Тренировочные задачи к § 4
4.1. При каких значениях a функция y =
3
????
2 3
????????
−11
имеет минимум при
x
= 6?
4.2. При каких значениях a один из корней уравнения
(a
2
+ a + 1)x
2
+ (2a − 3)x + a − 5 = 0
больше 1, а другой меньше 1?
Тренировочные задачи к § 4 45
4.3. Найдите все такие значения a, что уравнение
ax
2
+ (4a
2
− 3)x − 10 = 0
имеет два различных корня, модули которых равны.
4.4. Найдите все значения a, при которых неравенство
x
2
+ ax + a
2
+ 6a < 0
выполняется при всех x ∈ (1; 2).
4.5. При каких значениях a уравнение
(a + 4)x
2
+ 6x − 1
x
+ 3
= 0
имеет единственное решение?
4.6. Найдите все значения a, при которых неравенство
ax
2
− 4x + 3a + 1 < 0
выполняется при всех x > 0.
4.7. Найдите все значения a, при каждом из которых среди корней уравнения
ax
2
+ (a + 4)x + a + 1 = 0
имеется ровно один отрицательный.
4.8. Найдите все значения a, при которых из неравенства
x
2
− (3a + 1)x + a > 0
следует, что x > 1.
4.9. Один из корней квадратного уравнения px
2
+ qx + 1 = 0 равен
2010. Для всех значений p < 0 решите неравенство
x
+ q
p
x
+ p > 0.
4.10. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f (x) = 4x
2
+ 4ax + a
2
− 2a + 2
на множестве 1 ¶ |x| ¶ 3 не меньше 6.
4.11. При каких значениях a система
¨ x
4
− (a − 1)
p
a
+ 3 y + a
4
+ 2a
3
− 9a
2
− 2a + 8 = 0,
y
=
p
a
+ 3 x
2
имеет ровно три различных решения?
46
Часть 1.
Решение задач
4.12. При каких значениях a уравнение
(a − 1) · 4
????
+ (2a − 3) · 6
????
= (3a − 4) · 9
????
имеет единственное решение?
4.13. Найдите все значения a, при которых уравнение
4
????
+ (a
2
+ 5) · 2
????
+ 9 − a
2
= 0
не имеет решений.
4.14. Найдите все значения a, для каждого из которых система
¨ − x
2
+ 12x − a ¾ 0,
x ¶ 2
выполняется хотя бы при одном значении x.
4.15. При каких значениях a неравенство
3 · 4
????
− 6a · 2
????
+ 3a
2
+ 2a − 14 < 0
не имеет решений?
4.16. При каких значениях a уравнение
2a(x + 1)
2
− |x + 1| + 1 = 0
имеет четыре различных корня?
4.17. Найдите все значения a, при которых неравенство log
1 5
(x
2
− ax + 7) < −1
выполняется для всех значений x из промежутка x < 0.
4.18. Найдите все целые значения a, при каждом из которых уравнение
3
p
x
6
−
1
a
− 2
·
4
p
x
4
+ 1 −
2
a
= 0
имеет решения и все они являются целыми числами.
4.19. Обозначим через x
1
и x
2
корни (возможно, совпадающие) квад- ратного трёхчлена
(a − 1)x
2
− (2a + 1)x + 2 + 5a.
1. Найдите все значения a, при которых x
1
> 1 и x
2
> 1.
2. Найдите все значения b, для каждого из которых функция
y
= (x
1
− b)(x
2
− b)
принимает постоянное значение при всех a, при которых она опре- делена.
Тренировочные задачи к § 4 47
4.20. Найдите все значения a, при каждом из которых сумма арктан- генсов корней уравнения x
2
+ (1 − 2a)x + a − 4 = 0 больше чем π/4.
4.21. Найдите все значения p, при которых уравнение
x
− 2 =
Æ
−2(p + 2)x + 2
имеет единственное решение.
4.22. При каждом значении a найдите все решения неравенства
x
+ 2a − 2
p
3ax + a
2
> 0.
4.23. Найдите все значения b, при которых уравнение
3 ·
5
p
x
+ 2 − 16b
2
·
5
p
32x + 32 =
10
p
x
2
+ 3x + 2
имеет единственное решение.
4.24. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 1) cos
2
x
− (a
2
+ a − 2) cos x + 2a
2
− 4a + 2 = 0
имеет более одного решения на отрезке [0; 4π/3].
4.25. При каких значениях параметра a уравнение
16
????
− 3 · 2 3????+1
+ 2 · 4
????
+1
− (4 − 4a) · 2
????
−1
− a
2
+ 2a − 1 = 0
имеет ровно три различных корня?
4.26. Найдите все значения a, при которых уравнение log
2
(x + 1) − log
2
(x − 1)
2
− 2 log
2
(x + 1) − log
2
(x − 1)
− a
2
+ 1 = 0
имеет ровно два различных решения.
4.27. Найдите все значения a, при которых уравнение
(|x − 2| + |x + a|)
2
− 7(|x − 2| + |x + a|) − 4a · (4a − 7) = 0
имеет ровно два различных решения.
4.28. Найдите все значения a, при которых уравнение log
2 8
x
+ a
x
− a
− 12 log
8
x
+ a
x
− a
+ 35a
2
− 6a − 9 = 0
имеет ровно два различных решения.
4.29. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x
2
+2(a−2)x+a
2
−4a)
2
+(a+5)(x
2
+2(a−2)x+a
2
−4a)−a
2
+8a+2=0
имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения.
квадратного уравнения
Для квадратного уравнения
ax
2
+ bx + c = 0, a 6= 0,
(4.1)
выделяем три случая.
1. Если D = b
2
− 4ac < 0, то действительных решений у квадратного уравнения (
4.1
) нет (см. рис.
4.1
,
4.2
).
2. Если D = b
2
− 4ac = 0, то решение квадратного уравнения (
4.1
)
имеет вид x = −b/(2a) (см. рис.
4.3
,
4.4
).
3. Если D = b
2
− 4ac > 0, то квадратное уравнение (
4.1
) имеет два корня x
+
, x
−
(см. рис.
4.5
,
4.6
):
x
±
=
−b ±
p
b
2
− 4ac
2a
Кроме того, выполнено равенство ax
2
+ bx + c = a(x − x
+
)(x − x
−
).
I. Важную роль при решении квадратных уравнений с парамет- ром играет теорема Виета. Для квадратного уравнения ax
2
+bx+c=0,
a
6= 0, имеющего корни x
±
(случай D ¾ 0), выполняются формулы
Виета:
x
+
+ x
−
= −
b
a
;
x
+
x
−
=
c
a
x
y
x
в
y
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.1. D
< 0, a > 0
x
y
x
в
y
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.2. D
< 0, a < 0
x
y
x
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.3. D
= 0, a > 0
x
y
x
в
0
y
= f (x)
Рис. 4.4. D
= 0, a < 0
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
37
x
y
x
в
y
в
0
x
−
x
+
y
= f (x)
Рис. 4.5. D
> 0, a > 0
x
y
x
в
y
в
0
x
+
x
−
y
= f (x)
Рис. 4.6. D
> 0, a < 0
II. Второе важное замечание состоит в том, что при решении задач, сводящихся к исследованию квадратных уравнений, нужно помнить о геометрической интерпретации квадратного уравнения.
Например, выделяя полный квадрат, получаем (при a 6= 0)
ax
2
+ bx + c = a ·
x
+
b
2a
2
+
c
−
b
2 4a
= a · (x − x
в
)
2
+ y
в
,
где
x
в
= −
b
2a
,
y
в
= c −
b
2 4a
Графиком функции y = ax
2
+ bx + c является парабола, вершина кото- рой имеет координаты (x
в
; y
в
). При a > 0 ветви параболы направлены вверх, а в вершине параболы достигается минимум квадратичной функции. При a < 0 ветви параболы направлены вниз, а в вершине параболы достигается максимум квадратичной функции.
Пример 4.1. При каждом значении a решите неравенство
ax
2
+ x + 3a
3
> 0.
Решение. Пусть a = 0. Тогда решением неравенства будет мно- жество чисел x > 0.
При a 6= 0 функция f (x) = ax
2
+ x +3a
3
квадратичная, её график —
парабола. Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискрими- нанта D = 1 − 12a
4
функции f (x), т. е. случаи D < 0, D = 0, D > 0.
I. Пусть D = 1 − 12a
4
< 0, т. е. a ∈ (−∞; −1/
4
p
12) ∪ (1/
4
p
12; +∞).
Тогда в зависимости от знака a функция f (x) будет всюду положи- тельна либо всюду отрицательна (см. рис.
4.7
и рис.
4.8
).
Если a > 1/
4
p
12, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ R. Если
a
< −1/
4
p
12, то получаем f (x) < 0 для любого x ∈ R.
Частичный ответ: при a < −1/
4
p
12 решений нет; если a > 1/
4
p
12,
то x ∈ (−∞; +∞).
38
Часть 1.
Решение задач
x
y
0
y
= f (x)
1
Рис. 4.7
x
y
0
y
= f (x)
Рис. 4.8
II. Пусть D = 1 − 12a
4
= 0, т. е. a = ±1/
4
p
12. Тогда у квадратного уравнения f (x) = 0 будет единственный корень x
0
= −
1 2a
(см. рис.
4.9
и рис.
4.10
).
x
y
0
y
= f (x)
x
0
Рис. 4.9
x
y
0
y
= f (x)
x
0
Рис. 4.10
Если a = 1/
4
p
12, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ R\{−
4
p
12/2}.
Если a = −1/
4
p
12, то получаем f (x) ¶ 0 для любого x ∈ R.
Частичный ответ: при a = −1/
4
p
12 решений нет; если a = 1/
4
p
12,
то x ∈ (−∞; +∞)\{−
4
p
12/2}.
III. Пусть D = 1−12a
4
>0, т. е. a∈(−1/
4
p
12; 1/
4
p
12). Тогда квадрат- ное уравнение f (x) = 0 имеет два решения (см. рис.
4.11
и рис.
4.12
).
x
+
=
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
,
x
−
=
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
Если a > 0, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ (−∞; x
−
)∪(x
+
; +∞).
Если a < 0, то получаем f (x) > 0 для любого x ∈ (x
+
; x
−
).
Частичный ответ:
если 0 < a <
1 4
p
12
, то x ∈
−∞;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
∪
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
; +∞
;
если −
1 4
p
12
< a < 0, то x ∈
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
Объединяя частичные ответы, получаем ответ.
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
39
x
y
0
y
= f (x)
x
−
x
+
Рис. 4.11
x
y
0
y
= f (x)
x
+
x
−
Рис. 4.12
Ответ: при a ¶ −1/
4
p
12 решений нет; если −1/
4
p
12 < a < 0, то
x
∈
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если
0 < a ¶ 1/
4
p
12, то x ∈
−∞;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
∪
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
; +∞
;
если a > 1/
4
p
12, то x ∈ (−∞; +∞).
Пример 4.2. При каких значениях a функция y =
2
????????
+7 2
????
2
имеет максимум в точке x = 4?
Решение. Исходную функцию представим в виде y = 2
−????
2
+????????+7
Поскольку функция 2
????
монотонно возрастает, максимум функции y =
=2
−????
2
+????????+7
достигается в той же точке, что и у квадратичной функции
f (x) = −x
2
+ ax + 7. У соответствующей параболы ветви направлены вниз, следовательно, максимум достигается в вершине параболы, т. е.
в точке x
в
= a/2. Но согласно условию x
в
= 4, следовательно, a = 8.
Ответ: a
= 8.
Пример 4.3. Найдите все значения b, при которых уравнение
x
− 2 =
p
2(b − 1)x + 1 имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем уравнение:
¨ x ¾ 2,
(x − 2)
2
= 2(b − 1)x + 1
⇔
¨ x ¾ 2,
x
2
− 2(b + 1)x + 3 = 0.
У параболы f (x) = x
2
− 2(b + 1)x + 3 ветви направлены вверх, по- этому единственное решение возможно лишь в следующих случаях
(см. соответствующие рис.
4.13
–
4.17
):
I)
¨ D
> 0,
f (2) < 0;
II)
D
> 0,
f (2) = 0,
x
в
< 2;
III)
¨ D
= 0,
x
в
¾ 2.
40
Часть 1.
Решение задач
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.13. Случай I
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.14. Случай I
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.15. Случай II
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.16. Случай III
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.17. Случай III
Найдём дискриминант уравнения f (x) = 0:
D
4
= (b + 1)
2
− 3 = (b + 1 −
p
3)(b + 1 +
p
3).
Разберём теперь каждый из перечисленных выше трёх случаев.
Случай I:
D
> 0,
f (2) < 0
⇔
¨
b
∈ (−∞; −1 −
p
3) ∪ (−1 +
p
3; +∞),
4 − 4(b + 1) + 3 < 0
⇔
⇔
( b ∈ (−∞; −1 −
p
3) ∪ (−1 +
p
3; +∞),
b
>
3 4
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
41
x
y
0
y
= f (x)
2
Рис. 4.18. Случай двух корней
Сравним числа −1 +
p
3 и 3/4:
−1 +
p
3 ∨ 3/4,
p
3 ∨ 7/4,
4
p
3 ∨ 7,
48 < 49.
Таким образом, в первом случае получаем b > 3/4.
Разберём второй случай. (Второй случай приходится разбирать отдельно от первого, поскольку возможна ситуация (см. рис.
4.18
),
когда D > 0 и f (2) = 0, но при этом мы имеем два решения (случай
x
в
> 2).)
Случай II:
D
> 0,
f (2) = 0,
x
в
< 2
⇔
b
∈ (−∞; −1 −
p
3) ∪ (−1 +
p
3; +∞),
b
=
3 4
,
2(b + 1)
2
< 2
⇔ b =
3 4
Остаётся разобрать последний третий случай.
Случай III:
¨ D
= 0,
x
в
¾ 2
⇔
¨
b
= −1 ±
p
3,
b ¾ 1
⇔ b ∈ ∅.
Объединяя результаты этих случаев, получаем ответ.
Ответ: b
∈ [3/4; +∞).
Пример 4.4. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x
2
−2(a+1)x+a
2
+2a)
2
+(a+5)(x
2
−2(a+1)x+a
2
+2a)−a
2
−7a−10=0
имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения.
42
Часть 1.
Решение задач
x
y
y
= f (x)
−1
Рис. 4.19
Решение. Замена переменной
y
= x
2
− 2(a + 1)x + a
2
+ 2a
(графики функции y = f (x) приведены на рис.
4.19
) сводит исходное уравнение к квадратному уравнению g( y) = 0, где
g( y) = y
2
+ (a + 5)y − a
2
− 7a − 10.
Если y
0
— корень этого уравнения, то для отыскания корней исход- ного уравнения требуется решить уравнение
x
2
− 2(a + 1)x + a
2
+ 2a = y
0
или равносильное уравнение
(x − (a + 1))
2
= y
0
+ 1.
• Если y
0
< −1, то уравнение не имеет корней, так как его левая часть неотрицательна при любых x, а правая часть отрицательная.
• Если y
0
= −1, то уравнение имеет один корень x = a + 1.
• Если y
0
> −1, то уравнение имеет два корня, один из которых меньше чем a + 1, а другой — больше (см. рис.
4.20
).
x
y
y
= f (x)
y
0 0
a
+ 1
Рис. 4.20
§ 4.
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения
43
y
z
−1 0
нет решений одно решение два решения
Рис. 4.21
Эти замечания изобразим на графике (см. рис.
4.21
).
Рассмотрим пункт а) исходной задачи. Согласно сказанному вы- ше исходное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда уравнение g( y) = 0 либо имеет корень y
0
= −1 кратности 2, либо кро- ме корня y
0
= −1 имеет корень, меньший −1. При этом в обоих случа- ях абсцисса вершины параболы меньше либо равна −1 (см. рис.
4.22
).
Эти условия можно объединить в систему:
¨ g(−1) = 0,
y
в
¶ −1
⇔
( − a
2
− 8a − 14 = 0,
−
a
+ 5 2
¶ −1
⇔ a = −4 +
p
2.
y
z
−1 0
Рис. 4.22
Рассмотрим пункт б) задачи. Исходное уравнение имеет два ре- шения в одном из двух случаев. В первом из них уравнение g( y) = 0
имеет единственный корень y
0
> −1, причём y
0
= y
в
(см. рис.
4.23
).
Этот случай соответствует системе
¨ D
= 0,
y
в
> −1
⇔
(
(a + 5)
2
+ 4(a
2
+ 7a + 10) = 0,
−
a
+ 5 2
> −1
⇔
44
Часть 1.
Решение задач
y
z
−1 0
нет решений одно решение два решения
Рис. 4.23
y
z
−1 0
нет решений одно решение два решения
Рис. 4.24
⇔
(
5a
2
+ 38a + 65 = 0,
−
a
+ 5 2
> −1
⇔ a = −5.
Во втором случае (см. рис.
4.24
) уравнение g( y) = 0 имеет два корня,
один из которых больше −1, а другой меньше −1, что равносильно условию g(−1) < 0, т. е.
g(−1) < 0 ⇔ a
2
+8a+14>0 ⇔ a ∈(−∞; −4−
p
2) ∪ (−4 +
p
2; +∞).
Ответ: а) единственное решение при a = −4 +
p
2; б) ровно два различных решения при a ∈ (−∞; −4 −
p
2) ∪ {−5} ∪ (−4 +
p
2; +∞).
Тренировочные задачи к § 4
4.1. При каких значениях a функция y =
3
????
2 3
????????
−11
имеет минимум при
x
= 6?
4.2. При каких значениях a один из корней уравнения
(a
2
+ a + 1)x
2
+ (2a − 3)x + a − 5 = 0
больше 1, а другой меньше 1?
Тренировочные задачи к § 4 45
4.3. Найдите все такие значения a, что уравнение
ax
2
+ (4a
2
− 3)x − 10 = 0
имеет два различных корня, модули которых равны.
4.4. Найдите все значения a, при которых неравенство
x
2
+ ax + a
2
+ 6a < 0
выполняется при всех x ∈ (1; 2).
4.5. При каких значениях a уравнение
(a + 4)x
2
+ 6x − 1
x
+ 3
= 0
имеет единственное решение?
4.6. Найдите все значения a, при которых неравенство
ax
2
− 4x + 3a + 1 < 0
выполняется при всех x > 0.
4.7. Найдите все значения a, при каждом из которых среди корней уравнения
ax
2
+ (a + 4)x + a + 1 = 0
имеется ровно один отрицательный.
4.8. Найдите все значения a, при которых из неравенства
x
2
− (3a + 1)x + a > 0
следует, что x > 1.
4.9. Один из корней квадратного уравнения px
2
+ qx + 1 = 0 равен
2010. Для всех значений p < 0 решите неравенство
x
+ q
p
x
+ p > 0.
4.10. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f (x) = 4x
2
+ 4ax + a
2
− 2a + 2
на множестве 1 ¶ |x| ¶ 3 не меньше 6.
4.11. При каких значениях a система
¨ x
4
− (a − 1)
p
a
+ 3 y + a
4
+ 2a
3
− 9a
2
− 2a + 8 = 0,
y
=
p
a
+ 3 x
2
имеет ровно три различных решения?
46
Часть 1.
Решение задач
4.12. При каких значениях a уравнение
(a − 1) · 4
????
+ (2a − 3) · 6
????
= (3a − 4) · 9
????
имеет единственное решение?
4.13. Найдите все значения a, при которых уравнение
4
????
+ (a
2
+ 5) · 2
????
+ 9 − a
2
= 0
не имеет решений.
4.14. Найдите все значения a, для каждого из которых система
¨ − x
2
+ 12x − a ¾ 0,
x ¶ 2
выполняется хотя бы при одном значении x.
4.15. При каких значениях a неравенство
3 · 4
????
− 6a · 2
????
+ 3a
2
+ 2a − 14 < 0
не имеет решений?
4.16. При каких значениях a уравнение
2a(x + 1)
2
− |x + 1| + 1 = 0
имеет четыре различных корня?
4.17. Найдите все значения a, при которых неравенство log
1 5
(x
2
− ax + 7) < −1
выполняется для всех значений x из промежутка x < 0.
4.18. Найдите все целые значения a, при каждом из которых уравнение
3
p
x
6
−
1
a
− 2
·
4
p
x
4
+ 1 −
2
a
= 0
имеет решения и все они являются целыми числами.
4.19. Обозначим через x
1
и x
2
корни (возможно, совпадающие) квад- ратного трёхчлена
(a − 1)x
2
− (2a + 1)x + 2 + 5a.
1. Найдите все значения a, при которых x
1
> 1 и x
2
> 1.
2. Найдите все значения b, для каждого из которых функция
y
= (x
1
− b)(x
2
− b)
принимает постоянное значение при всех a, при которых она опре- делена.
Тренировочные задачи к § 4 47
4.20. Найдите все значения a, при каждом из которых сумма арктан- генсов корней уравнения x
2
+ (1 − 2a)x + a − 4 = 0 больше чем π/4.
4.21. Найдите все значения p, при которых уравнение
x
− 2 =
Æ
−2(p + 2)x + 2
имеет единственное решение.
4.22. При каждом значении a найдите все решения неравенства
x
+ 2a − 2
p
3ax + a
2
> 0.
4.23. Найдите все значения b, при которых уравнение
3 ·
5
p
x
+ 2 − 16b
2
·
5
p
32x + 32 =
10
p
x
2
+ 3x + 2
имеет единственное решение.
4.24. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 1) cos
2
x
− (a
2
+ a − 2) cos x + 2a
2
− 4a + 2 = 0
имеет более одного решения на отрезке [0; 4π/3].
4.25. При каких значениях параметра a уравнение
16
????
− 3 · 2 3????+1
+ 2 · 4
????
+1
− (4 − 4a) · 2
????
−1
− a
2
+ 2a − 1 = 0
имеет ровно три различных корня?
4.26. Найдите все значения a, при которых уравнение log
2
(x + 1) − log
2
(x − 1)
2
− 2 log
2
(x + 1) − log
2
(x − 1)
− a
2
+ 1 = 0
имеет ровно два различных решения.
4.27. Найдите все значения a, при которых уравнение
(|x − 2| + |x + a|)
2
− 7(|x − 2| + |x + a|) − 4a · (4a − 7) = 0
имеет ровно два различных решения.
4.28. Найдите все значения a, при которых уравнение log
2 8
x
+ a
x
− a
− 12 log
8
x
+ a
x
− a
+ 35a
2
− 6a − 9 = 0
имеет ровно два различных решения.
4.29. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x
2
+2(a−2)x+a
2
−4a)
2
+(a+5)(x
2
+2(a−2)x+a
2
−4a)−a
2
+8a+2=0
имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения.