Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

§ 7.
Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степени
65
Так как корни x
1
, x
2
удовлетворяют сразу двум уравнениям x
3
−
− 5x
2
+ 7x = a и x
3
− 8x + b = 0, они же удовлетворяют уравнению,
полученному как разность этих двух уравнений:
−5x
2
+ 15x − (a + b) = 0 ⇔ x
2
− 3x +
a
+ b
5
= 0.
По теореме Виета для квадратного уравнения находим
x
1
+ x
2
= 3,
(7.1)
x
1
x
2
=
a
+ b
5
(7.2)
Запишем теорему Виета для кубических уравнений x
3
− 5x
2
+ 7x = a
и x
3
− 8x + b = 0:

















x
1
+ x
2
+ x
3
= 5,
x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= 7,
x
1
x
2
x
3
= a,
x
1
+ x
2
+ x
∗
3
= 0,
x
1
x
2
+ x
1
x
∗
3
+ x
2
x
∗
3
= −8,
x
1
x
2
x
∗
3
= −b
⇔























x
3
= 2,
a
+ b
5
+ 3x
3
= 7,
a
+ b
5
x
3
= a,
3 + x
∗
3
= 0,
a
+ b
5
+ 3x
∗
3
= −8,
a
+ b
5
x
∗
3
= −b.
Здесь мы воспользовались соотношениями (
7.1
)–(
7.2
). Далее мы нахо- дим x
3
=2,
a
+b
5
=1, x
∗
3
=−3, a =
a
+ b
5
x
3
= x
3
=2, b =−
a
+ b
5
x
∗
3
=−x
∗
3
=3.
Проверка. Для a = 2, b = 3 исходные уравнения принимают вид
x
3
− 5x
2
+ 7x − 2 = 0,
x
3
− 8x + 3 = 0.
Из соотношений (
7.1
)–(
7.2
) мы находим значения
x
1,2
=
3 ±
p
5 2
которые являются корнями заданных уравнений, в чём убеждаемся подстановкой.
Приведём решение без использования теоремы Виета.
II. Пусть x
1
, x
2
— два различных корня уравнения x
3
−5x
2
+7x =a.
Для определенности будем считать, что x
1
> x
2
. Поскольку x
1
и x
2
из первых двух корней. Действительно, достаточно исходный многочлен разделить на (x − x
1
)(x − x
2
).

66
Часть 1.
Решение задач удовлетворяют уравнению x
3
− 5x
2
+ 7x = a, получаем, что
¨ x
3 1
− 5x
2 1
+ 7x
1
= a,
x
3 2
− 5x
3 2
+ 7x
2
= a.
Вычитая из первого уравнения второе (и учитывая, что x
1
− x
2
> 0),
получаем
(x
3 1
− x
3 2
) − 5(x
2 1
− x
2 2
) + 7(x
1
− x
2
) = 0 ⇔
⇔ (x
1
− x
2
)(x
2 1
+ x
1
x
2
+ x
2 2
− 5(x
1
+ x
2
) + 7) = 0 ⇔
⇔ (x
1
+ x
2
)
2
− 5(x
1
+ x
2
) − x
1
x
2
+ 7 = 0.
Из того, что x
1
и x
2
удовлетворяют второму уравнению, т. е.
¨ x
3 1
− 8x
1
+ b = 0,
x
3 2
− 8x
2
+ b = 0,
вытекает соотношение
(x
3 1
− x
3 2
) − 8(x
1
− x
2
) = 0 ⇔
⇔ (x
1
− x
2
)(x
2 1
+ x
1
x
2
+ x
2 2
− 8) = 0 ⇔
⇔ (x
1
+ x
2
)
2
− x
1
x
2
− 8 = 0.
Таким образом, x
1
и x
2
удовлетворяют системе
¨
(x
1
+ x
2
)
2
− 5(x
1
+ x
2
) − x
1
x
2
+ 7 = 0,
(x
1
+ x
2
)
2
− x
1
x
2
− 8 = 0
⇔
x
y
x
1
x
2
−3 2
y
= x
3
− 8x + 3
y
= x
3
− 5x
2
+ 7x − 2
Рис. 7.1

Тренировочные задачи к § 7 67
⇔
¨ − 5(x
1
+ x
2
) + 15 = 0,
(x
1
+ x
2
)
2
− x
1
x
2
− 8 = 0
⇔
¨ x
1
+ x
2
= 3,
x
1
x
2
= 1.
Следовательно, x
1
и x
2
удовлетворяют уравнению
x
2
− 3x + 1 = 0,
(7.3)
решая которое находим x
1
= (3+
p
5)/2; x
2
= (3−
p
5)/2. Теперь, ис- пользуя уравнение (
7.3
), найдем значение a:
a
= x
3 1
− 5x
2 1
+ 7x
1
= x
1
(x
2 1
− 5x
1
+ 7) = x
1
((x
2 1
− 3x
1
+ 1) − 2x
1
+ 6) =
= x
1
(−2x
1
+ 6) = −2(x
2 1
− 3x
1
+ 1) + 2 = 2
и значение b:
−b = x
3 1
− 8x
1
= x
1
((x
2 1
− 3x
1
+ 1) + 3x
1
− 9) = x
1
(3x
1
− 9) =
= 3(x
2 1
− 3x
1
+ 1) − 3 = −3.
Ответ: a
= 2, b = 3.
Тренировочные задачи к § 7
7.1. Квадратное уравнение x
2
− 6px + q = 0 имеет два различных корня x
1
и x
2
. Числа p, x
1
, x
2
, q — четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите x
1
и x
2
7.2. При каких значениях a четыре корня уравнения
x
4
+ (a − 5)x
2
+ (a + 2)
2
= 0
являются последовательными членами арифметической прогрессии?
7.3. Уравнение ax
2
+ bx + 2 = 0, где a < 0, имеет одним из своих корней число x = 3. Решите уравнение ax
4
+ bx
2
+ 2 = 0.
7.4. Найдите все значения u и v, при которых найдутся два различ- ных корня уравнения x(x
2
+ x − 8) = u, являющиеся также корнями уравнения x(x
2
− 6) = v.
7.5. Определите все значения a, при каждом из которых три различ- ных корня уравнения x
3
+ (a
2
− 15a)x
2
+ 12ax − 216 = 0 образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.
7.6. Какие значения в зависимости от a может принимать выраже- ние x
2 1
+ x
1
x
2
+ x
2 2
, в котором x
1
, x
2
— два различных корня уравнения
x
3
− 2007x = a?

68
Часть 1.
Решение задач
7.7. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x
3
− ax
2
− (a
3
− 6a
2
+ 5a + 8)x − (a − 3)
3
= 0
имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрес- сию (укажите эти корни).
7.8. Даны три уравнения с действительными коэффициентами:
x
2
− (a + b)x + 8 = 0,
x
2
− b(b + 1)x + c = 0,
x
4
− b(b + 1)x
2
+ c = 0.
Каждое из них имеет по крайней мере один действительный корень.
Известно, что корни первого уравнения больше единицы. Известно также, что все корни первого уравнения являются корнями третьего уравнения и хотя бы один корень первого уравнения удовлетворяет второму уравнению. Найдите числа a, b, c, если b > 3.
7.9. Найдите сумму квадратов всех действительных корней уравне- ния
x
5
+ 2010x
2
+ 2011 = x
4
+ 2011x
3
+ 2012x.
Ответы
7.1
. (−3; 9); (2; 4).
7.2
. a
= −5; a = −5/13.
7.3
. x
= ±
p
3.
7.4
. u
= 6, v = 4.
7.5
. a
= 13; корни уравнения: 2; 6; 18.
7.6
. 2007 при |a| ¶ 2 · (669)
3/2
7.7
. Если a = 2, то корни уравнения: (3 −
p
5)/2; −1; (3 +
p
5)/2; если a = 4,
то корни уравнения: (3 −
p
5)/2; 1; (3 +
p
5)/2.
7.8
. a
= 2, b = 4, c = 64.
7.9
. 4025. Указание. Заметьте, что при разложении на множители многочле- на пятой степени один из множителей будет равен x
2
+ 1.
§ 8. Задачи на единственность решения или
определение количества решений
Запись f (a, x) означает, что функция зависит от параметра a. Ос- новной тип задач данного параграфа можно сформулировать так.
Задача A. Найдите все значения параметра a (или нескольких
параметров), при которых уравнение (или неравенство) f (a, x) = 0
( f (a, x) ¶ 0 или f (a, x) ¾ 0) имеет единственное решение.
Напомним определение чётности и нечётности функции.

§ 8.
Единственность решения или определение количества решений
69
Определение 8.1. Если область определения функции f (x) сим- метрична относительно начала координат и если для каждого x из об- ласти определения выполняется равенство f (−x) = f (x), то функция
f (x) чётная, а если область определения симметрична относительно начала координат и для каждого x из области определения выполня- ется равенство f (−x) = − f (x), то функция f (x) нечётная.
Функции
f
1
(x) = |sin x|,
f
2
(x) = cos x,
f
3
(x) = x
4
− 3x
2
,
f
4
(x) =
tg x · (7
????
− 1)
7
????
+ 1
чётные. Для первых трёх функций это очевидно. Проверим, что функ- ция f
4
(x) чётная:
f
4
(−x) =
tg(−x) · (7
−????
− 1)
7
−????
+ 1
=
− tg x · 7
−????
(1 − 7
????
)
7
−????
(1 + 7
????
)
=
= −
tg x · (1 − 7
????
)
(1 + 7
????
)
=
tg x · (7
????
− 1)
7
????
+ 1
= f
4
(x).
Пусть при решении задачи A функция f (a, x) оказалась чётной при каждом значении a. Тогда если x
0
является решением задачи A,
то и −x
0
— решение задачи A (см. рис.
8.1
), так как f (a, x
0
) = f (a, −x
0
).
Значит, для единственности решения необходимо, чтобы x
0
= 0 было
x
y
−x
0
x
0 0
y
= f (x)
Рис. 8.1. f (x
0
) = f (−x
0
) = 0
x
y
0
y
= f (x)
Рис. 8.2. f (0) = 0
x
y
−x
0
x
0 0
y
= f (x)
Рис. 8.3. f (x
0
) = f (−x
0
) = f (0) = 0

70
Часть 1.
Решение задач решением задачи A (см. рис.
8.2
,
8.3
), и достаточно, чтобы решений
(кроме x
0
= 0) больше не было (см. рис.
8.2
), таким образом, случай,
изображённый на рис.
8.3
, мы отбрасываем.
Решая задачу A, мы будем:
1) находить возможные значения a из уравнения (неравенства)
f (a, 0) = 0 ( f (a, 0) ¶ 0, f (a, 0) ¾ 0), т. е. из необходимого условия единственности решения задачи;
2) для найденных из необходимого условия значений a будем проверять, что других решений (кроме x = 0) нет, т. е. проверять достаточное условие единственности решения.
Пример 8.1. Найдите все значения a, при которых неравенство cos x − 2
p
x
2
+ 9 ¶ −
x
2
+ 9
a
+ cos x
− a
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем неравенство:
cos x − 2
p
x
2
+ 9 ¶ −
x
2
+ 9
a
+ cos x
− a ⇔
⇔
(a + cos x)
2
− 2
p
x
2
+ 9(a + cos x) + x
2
+ 9
a
+ cos x
¶ 0 ⇔
⇔
(a + cos x −
p
x
2
+ 9)
2
a
+ cos x
¶ 0.
Обозначим
f (x) =
(a + cos x −
p
x
2
+ 9)
2
a
+ cos x
Поскольку f (x) — чётная функция ( f (x) = f (−x); см. рис.
8.4
и
8.5
),
для того чтобы исходное неравенство f (x) ¶ 0 имело единственное
x
y
50 10
O
y
= f (x)
Рис. 8.4. График функции f (x) для a = 2

§ 8.
Единственность решения или определение количества решений
71
x
y
−50 10
O
y
= f (x)
Рис. 8.5. График функции f (x) для a = −2
решение, необходимо, чтобы x = 0 было решением неравенства (по- скольку если x
0
— решение неравенства, то и −x
0
является его реше- нием в силу чётности функции f (x)).
Таким образом, (a − 2)
2
/(a + 1) ¶ 0, т. е. a = 2 либо a < −1. Прове- рим, является ли решение x = 0 исходного неравенства единственным при найденных значениях a.
Пусть a < −1. Тогда неравенство
(a + cos x −
p
x
2
+ 9)
2
a
+ cos x
¶ 0
выполнено для всех x ∈ R, так как для a < −1 справедливы неравен- ства
(a + cos x −
p
x
2
+ 9)
2
¾ 0,
a
+ cos x < 0.
Пусть a = 2. Тогда 2 + cos x > 0 для любых x ∈ R. Следовательно,
(2 + cos x −
p
x
2
+ 9)
2 2 + cos x
¶ 0 ⇔ (2 + cos x −
p
x
2
+ 9)
2
¶ 0 ⇔
⇔ 2 + cos x −
p
x
2
+ 9 = 0 ⇔ 2 + cos x =
p
x
2
+ 9.
Но x = 0 является единственным корнем уравнения
2 + cos x =
p
x
2
+ 9,
так как для x 6= 0 получаем неверное утверждение
3 <
p
x
2
+ 9 = 2 + cos x ¶ 3.
Ответ: a
= 2.

72
Часть 1.
Решение задач
Пример 8.2. При каких значениях a и b система



x
????
− 1
x
????
+ 1
= a,
x
2
+ y
2
= b
имеет единственное решение?
Решение. I. Пусть f (x, y) =
x
????
− 1
x
????
+ 1
, g( x , y ) = x
2
+ y
2
. Из равенств
f (x, y) = f (x, − y), g(x, y) = g(x, − y) вытекает, что если (x
0
; y
0
) —
решение исходной системы, то и (x
0
; − y
0
) тоже решение системы.
Следовательно, для единственности решения должно выполняться условие y
0
= −y
0
, т. е. y
0
= 0. Подставив y
0
= 0 в исходную систему,
получаем систему
¨ a
= 0,
x
2
= b.
II. Итак, число a равно нулю. Выясним, при каких b система
¨ x
????
= 1,
x
2
+ y
2
= b,
полученная из исходной при a = 0, имеет единственное решение. Эта система определена при x > 0 и при этом равносильна совокупности систем






¨ y
= 0,
x
=
p
b
(при b > 0);
¨ x
= 1,
y
= ±
p
b
− 1 (при b ¾ 1),
решая которую находим, что:
1) при b ¶ 0 решений нет;
2) при b ∈ (0; 1] решение одно: (x; y) = (
p
b; 0);
3) при b > 1 три решения: (x; y) = (
p
b; 0), (1; ±
p
b
− 1).
Ответ: a
= 0, b ∈ (0; 1].
Тренировочные задачи к § 8
8.1. При каких значениях a уравнение cos 2x + 2 cos x − 2a
2
− 2a + 1 = 0
имеет ровно одно решение на промежутке x ∈ [0; 2π)?

Тренировочные задачи к § 8 73
8.2. При каких значениях b уравнение tg |b| = log
2
(cos x − |x|)
имеет ровно один корень?
8.3. Найдите все значения a, при которых уравнение
x
2
− 2a sin(cos x) + a
2
= 0
имеет единственное решение.
8.4. Найдите все значения a, при которых неравенство cos 2x + a ¶ 2
p
x
2
+ 16 −
x
2
+ 16
a
+ cos 2x
имеет единственное решение.
8.5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x
2
− |x − a + 6| = |x + a − 6| − (a − 6)
2
имеет единственный корень.
8.6. Найдите все значения b, при которых система уравнений
¨
(x
2
+ 1)b = y + cos 2x,
2
|sin ????|
+ |y| = 2
имеет единственное решение.
8.7. Найдите все значения b, при которых уравнение
b
2
x
2
− b tg(cos x) + 1 = 0
имеет единственное решение.
8.8. Найдите все значения a и b, при которых система
¨ a
+ sin bx ¶ 1,
x
2
+ ax + 1 ¶ 0
имеет единственное решение.
8.9. При каких значениях b система уравнений
¨ x
2
+ y
2
= 2,
| y| − x = b
имеет ровно три различных решения?

74
Часть 1.
Решение задач
8.10. При каких значениях b система уравнений
¨
4 y = 4b + 3 − x
2
+ 2x,
x
2
+ y
2
= 2x
имеет ровно два различных решения?
8.11. Найдите все значения a, при которых уравнение
x(2
????
− 1)
2
????
+ 1
+ 2a
= a
2
+ 1
имеет нечётное число различных решений.
8.12. При каких значениях a система
¨ x
4
− (a − 1)
p
a
+ 3y + a
4
+ 2a
3
− 9a
2
− 2a + 8 = 0,
y
=
p
a
+ 3 x
2
имеет ровно три различных решения?
8.13. Найдите все такие значения a и b, при которых система
¨ |bx| − |y| = 2a,
(x − b)
2
+ y
2
= a
2
имеет ровно три различных решения.
8.14. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
3 · 2
|????|
+ 5|x| + 4 = 3y + 5x
2
+ 3a,
x
2
+ y
2
= 1
имеет единственное решение.
8.15. Найдите все значения a, при которых система





(2 −
p
3)
????
+ (2 +
p
3)
????
− 5 = a − 2 y + y
2
,
x
2
+ (2 − a − a
2
) y
2
= 0,
0 ¶ y ¶ 2
имеет единственное решение.
8.16. При каких значениях a и b система
(
arctg y
x
2
+ 1
·
x
????
− 1
x
????
+ 1
= a,
( y
2
− 1)
2
+ b = x
имеет ровно пять различных решений?