Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

48
Часть 1.
Решение задач
Ответы
4.1
. a
= 12.
4.2
. a
∈ (−2 −
p
11; −2 +
p
11).
4.3
. a
=
p
3/2.
4.4
. a
∈ [−(7 +
p
45)/2; −4 + 2
p
3).
4.5
. a
∈ {−13; −17/9; −4}.
4.6
. a
∈ (−∞; −1/3].
4.7
. a
∈ (−1; 0] ∪ {(2 + 2
p
13)/3}.
4.8
. a
∈ ∅.
4.9
. x
∈ (2010
−2
; +∞).
4.10
. a
∈ (−∞; −2] ∪ {0} ∪ [7 +
p
17; +∞).
4.11
. a
= 2.
4.12
. a
∈ (−∞; 1] ∪ {5/4} ∪ [4/3; +∞).
4.13
. a
∈ [−3; 3].
4.14
. a
∈ (−∞; 20].
4.15
. a
∈ (−∞; (−1 −
p
43)/3] ∪ [7; +∞).
4.16
. a
∈ (0; 1/8).
4.17
. a
∈ (−2
p
2; +∞).
4.18
. a
= 2. Указание. Квадратное уравнение должно иметь хотя бы один неотрицательный корень.
4.19
. 1. a ∈ (1; (2 +
p
13)/4]. 2. b = 7/3.
4.20
. a
∈ (2; +∞).
4.21
. p
∈ (−∞; −5/2].
4.22
. При a < 0 решений нет; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если a > 0, то x ∈
∈ [−a/3; 0) ∪ (8a; +∞).
4.23
. b
∈ (−∞; −1/(2
p
2)] ∪ [−1/4; 1/4] ∪ [1/(2
p
2); +∞).
4.24
. a
∈ (−1/3; 3/10] ∪ {1}.
4.25
. a
∈ (0; 1) ∪ (1; 4) ∪ (4; 5). Указание. Разложите на множители и иссле- дуйте два квадратных уравнения.
4.26
. a
∈ (−1; 0) ∪ (0; 1).
4.27
. a
∈ (−∞; 2/3) ∪ {7/8} ∪ (1; +∞).
4.28
. a
∈
€
3 − 12
p
11 35
; −
3 7
Š
∪
€
−
3 7
; 0
Š
∪
€
0;
3 5
Š
∪
€
3 5
;
3 + 12
p
11 35
Š
4.29
. а) a = 2 +
p
2; б) a ∈ (−∞; 2 −
p
2) ∪ {1} ∪ (2 +
p
2; +∞).

§ 5.
Выделение полных квадратов
49
Пример 5.1. Найдите все значения a, при которых уравнение
(x
2
− 6|x| + a)
2
+ 10(x
2
− 6|x| + a) + 26 = cos
16π
a
имеет ровно два различных корня.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
(x
2
− 6|x| + a)
2
+ 2 · 5(x
2
− 6|x| + a) + 25 + 1 − cos
16π
a
= 0 ⇔
⇔ (x
2
− 6|x| + a + 5)
2
+
€
1 − cos
16π
a
Š = 0.
Функция (x
2
− 6|x| + a + 5)
2
и величина 1 − cos(16π/a) неотрицатель- ны при всех значениях переменных. Мы получили, что сумма неот- рицательных слагаемых равна нулю. Это имеет место тогда и только тогда, когда эти слагаемые обращаются в нуль одновременно, т. е.
исходное уравнение равносильно системе
( x
2
− 6|x| + a + 5 = 0,
1 − cos
16π
a
= 0
⇔
(
(|x| − 3)
2
= 4 − a,
a
=
8
n
,
n
∈ Z,
⇔
⇔





a ¶ 4,
|x| = 3 ±
p
4 − a,
a
=
8
n
,
n
∈ Z.
Совокупность уравнений |x| = 3 ±
p
4 − a имеет ровно два корня в том и только в том случае, когда либо p
4 − a = 0, либо 3 −
p
4 − a < 0,
т. е. либо a = 4, либо a < −5. Следовательно, значения a должны принадлежать множеству (−∞; −5) ∪ {4}, откуда с учётом условия
a
=
8
n
,
n
∈ Z, ⇔ a = ±8, ±4, ±
8 3
, . . .
находим два значения a = 4, a = −8, которые принадлежат множеству
(−∞; −5) ∪ {4}.
Ответ: a
= 4; a = −8.
Пример 5.2. Для каждого значения a решите уравнение
9a
2
+ log
2 2
x
+ 3 arccos(x − 1) − (3a − 1) log
2
x
2
− 6a + 1 = 0.
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
9a
2
+ log
2 2
x
+ 3 arccos(x − 1) − (3a − 1) log
2
x
2
− 6a + 1 = 0 ⇔
⇔ log
2 2
x
− 2 · (3a − 1) log
2
x
+ 9a
2
− 6a + 1 + 3 arccos(x − 1) = 0 ⇔

50
Часть 1.
Решение задач
⇔ log
2 2
x
− 2 · (3a − 1) log
2
x
+ (3a − 1)
2
+ 3 arccos(x − 1) = 0 ⇔
⇔ (log
2
x
− 3a + 1)
2
+ 3 arccos(x − 1) = 0.
Поскольку функции (log
2
x
− 3a + 1)
2
и 3 arccos(x − 1) неотрицатель- ные, исходное уравнение равносильно системе
¨
log
2
x
− 3a + 1 = 0,
3 arccos(x − 1) = 0
⇔
(
a
=
2 3
,
x
= 2.
Ответ: если a = 2/3, то x = 2; при других a решений нет.
Пример 5.3. Для каждого значения a решите уравнение sin
2
x
+sin
2 2x +sin
2 3x −2a(sin x +sin 2x +sin 3x)+cos x −cos 3x +2a
2
=0.
Решение. Приведём два решения данного примера.
I. Преобразуем cos x − cos 3x в произведение синусов:
cos x − cos 3x = 2 sin x sin 2x
и сгруппируем слагаемые
1
:
sin
2
x
+sin
2 2x + a
2
−2a(sin x +sin2x)+2sin x sin2x
+
+(a
2
+sin
2 3x − 2a sin 3x) = 0 ⇔ (sin x + sin 2x − a)
2
+(sin3x −a)
2
=0.
Но поскольку сумма квадратов — число неотрицательное, каждое сла- гаемое, являющееся полным квадратом, равно нулю, т. е.

sin x + sin 2x = a,
sin 3x − a = 0
⇔

sin x + sin 2x = sin 3x,
a
= sin 3x
⇔
⇔
(
2 sin
3x
2
cos
x
2
= 2 sin
3x
2
cos
3x
2
,
a
= sin 3x
⇔
⇔
(
sin
3x
2
sin x sin
x
2
= 0,
a
= sin 3x.
Решим уравнение sin(3x/2) sin x sin(x/2) = 0. Поскольку из равенства sin(x/2) = 0 следует, что sin x = 0, получаем эквивалентное уравнение sin(3x/2) sin x = 0, решая которое находим x = πm, x = 2πn/3, m, n ∈ Z.
Из равенства a = sin 3x следует, что для всех найденных x выполнено равенство a = 0.
1
Здесь мы используем формулу квадрата суммы трёх слагаемых (a + b + c)
2
=
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc.

Тренировочные задачи к § 5 51
Получаем следующий ответ: если a = 0, то x = πm, 2πn/3, m, n ∈ Z;
при a 6= 0 решений нет.
II. Приведём второе решение исходного уравнения. Уравнение можно рассмотреть как квадратное относительно a. Воспользовав- шись формулой разности косинусов cos x − cos 3x = 2 sin x sin 2x, мы получаем
2a
2
− 2a(sin x + sin 2x + sin 3x) +
+ sin
2
x
+ sin
2 2x + sin
2 3x + 2 sin x sin 2x = 0.
Найдём дискриминант данного уравнения:
D
4
= (sin x + sin 2x + sin 3x)
2
−
− 2(sin
2
x
+ sin
2 2x + sin
2 3x + 2 sin x sin 2x) =
= − sin
2
x
− sin
2 2x − sin
2 3x − 2 sin x sin 2x +
+ 2 sin x sin 3x + 2 sin 2x sin 3x = −(sin x + sin 2x − sin 3x)
2
¶ 0.
Но решение у квадратного уравнения существует лишь в случае D ¾ 0,
таким образом, D = −4(sin x + sin 2x − sin 3x)
2
= 0, откуда опять при- ходим к выводу, что уравнение будет иметь решение лишь в случае,
если sin x + sin 2x = sin 3x, и при этом
a
=
sin x + sin 2x + sin 3x
2
= sin 3x.
Таким образом, мы опять приходим к системе
¨
sin x + sin 2x = sin 3x,
a
= sin 3x,
решив которую получаем ответ.
Ответ: если a = 0, то x = πm, 2πn/3, m, n ∈ Z; при a 6= 0 решений нет.
Тренировочные задачи к § 5
5.1. Найдите все значения a, при которых уравнение
2 cos 2x − 4a cos x + a
2
+ 2 = 0
не имеет решений.
5.2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a
2
x
2
+ 2a(
p
2 − 1)x +
p
x
− 2 = 2
p
2 − 3
имеет решение.

52
Часть 1.
Решение задач
5.3. Решите систему уравнений
( p
x
2
+ 3x + 2 − |y + 2| = 0,
2
Æ
y
2
+ 4y + 4 +
p
x
2
− x − 2 = 0.
5.4. Решите систему
¨
2
−????
y
4
− 2 y
2
+ 2
????
¶ 0,
8
????
− y
4
+ 2
????
− 1 = 0.
5.5. Число α подобрано так, что уравнение
Æ
x
−
p
3 + α
2
x
2
+ 2αx(
p
6 −
p
3) = 6
p
2 − 9
имеет решение. Найдите это решение.
5.6. Найдите все тройки целых чисел (x; y; z), для которых выполня- ется соотношение 5x
2
+ y
2
+ 3z
2
− 2 yz = 30.
5.7. Найдите все значения a, при которых уравнение
(x
2
− 6|x| − a)
2
+ 12(x
2
− 6|x| − a) + 37 = cos
18π
a
имеет ровно два различных решения.
5.8. При каких значениях a уравнение
x
2
− 4ax + 4a
2
− 1
x
− 2a
+ x
2
− 2x + 1 = 0
имеет хотя бы одно решение?
5.9. Решите уравнение
(x − 1)
6
(sin 4x + sin 4)
1/6
+ (x + 1)
6
(sin 2 − sin 2x)
1/6
= 0.
5.10. Для каждого значения b найдите все пары чисел (x; y), удовле- творяющие уравнению
b sin 2 y + log
4
x
8
p
1 − 4x
8
= b
2
5.11. Для каждого значения a найдите все пары чисел (x; y), удовле- творяющие уравнению
a cos 2x + log
2
y
12
Æ
1 − 2 y
12
= a
2
5.12. Найдите все пары действительных чисел a и b, при которых уравнение
(3x − a
2
+ ab − b
2
)
2
+ (2x
2
− a
2
− ab)
2
+ x
2
+ 9 = 6x
имеет хотя бы одно решение x.

Тренировочные задачи к § 5 53
5.13. Найдите все рациональные решения уравнения
Æ
y
· (x + 1)
2
− x
2
+ x + 1 + log
2
|????+2|
21
cos
2
πy = 0.
5.14. При каких значениях a уравнение
€p
x
2
− 3ax + 8 +
p
x
2
− 3ax + 6
Š
????
+
+
€p
x
2
− 3ax + 8 −
p
x
2
− 3ax + 6
Š
????
= 2(
p
2)
????
имеет единственное решение?
5.15. Найдите наименьшее из значений x, для которых существуют числа y, z, удовлетворяющие уравнению x
2
+2y
2
+z
2
+ xy − xz− yz=1.
5.16. Найдите все решения системы



cos 10x − 2 sin 5x ¾ 3 · 4
????
− 3·2
????
+2
+
27 2
,
q
(2 −
p
3)
4????
+(2+
p
3)
4????
+2+14log
2
(cos 10x) + 6 cos 5x ¾ (2t + 1)
1,5
5.17. Для каждого значения a решите уравнение
4 − sin
2
x
+ cos 4x + cos 2x + 2 sin 3x sin 7x − cos
2 7x − cos
2
πa = 0.
5.18. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств
(
4
????
− 2
????
+????
¶
108a − 161 2a − 3
,
5 · 2
????
+????
− 9 · 4
????
¾ 54
имеет решение.
5.19. При каких значениях a уравнение
(x
2
− x + a
2
+ 2)
2
= 4a
2
(2x
2
− x + 2)
имеет ровно три различных решения.
5.20. Для каждого a решите уравнение cos
2
x
+ cos
2 2x + cos
2 3x + 2a(cos x − cos 2x + cos 3x) +
+ cos 2x + cos 4x + 2a
2
= 0.
Ответы
5.1
. a
∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞).
5.2
. a
= (1 −
p
2)/2.
5.3
. (−1; −2).
5.4
. (0; 1);
(0; −1).
5.5
. x
=
p
3.
5.6
. (1; 5; 0); (1; −5; 0); (−1; 5; 0); (−1; −5; 0).
5.7
. a
= −3;
a
= 9.
5.8
. a
= 0; a = 1.
5.9
.
−1; −1 + π/2 + πn, n ∈ Z.

54
Часть 1.
Решение задач
5.10
. При b = −1/2 решение (1/
8
p
8; −π/4 + πk), k ∈ Z; при b = 1/2 решение
(1/
8
p
8; π/4 + πm), m ∈ Z; при b 6= ±1/2 решений нет.
5.11
. При a = −1/2 решение (π/2 + πk; 1/
6
p
2), k ∈ Z; при a = 1/2 решение
(πm; 1/
6
p
2), m ∈ Z; при a 6= ±1/2 решений нет.
5.12
. (3; 3); (−3; −3); (2
p
3;
p
3); (−2
p
3; −
p
3).
5.13
. (−2/3; 1); (−1 − 1/(l − 1); l
2
+ l − 1); (−1 + 1/(l + 2); l
2
+ l − 1), l ∈ Z,
l
6= −5, −2, 1, 4.
5.14
. a
∈ (−2
p
6/3; 2
p
6/3).
5.15
. x
= −
p
7/5. Указание. Выделите полный квадрат сначала по перемен- ной z.
5.16
. t
= 1, x = −π/30 + 2πn/5, n ∈ Z.
5.17
. Если a ∈ Z, то решение x =π/4+πk/2, k ∈ Z; при других a решений нет.
5.18
. a
∈ (3/2; +∞). Указание. Введите обозначение u = 2
????
, v = 2
????
. Вычтите из первого неравенства второе и докажите, что при полученном ограниче- нии на α всегда существует решение.
5.19
. a
= ±
p
2; a = ±(
p
15 + 1)/4.
5.20
. Если a = 0, то x = π/4 + πm/2; если a = −1/2, то x = ±2π/3 + 2πn, где
m, n ∈ Z; если a 6= 0, −1/2, то решений нет.
§ 6. Разложение на множители
Разложение на множители часто значительно упрощает задачу.
Для этого, например, используется удачная группировка слагаемых.
Также бывает полезным умение разделить один многочлен на другой.
Опишем деление алгебраического многочлена
a
????
x
????
+ a
????
−1
x
????
−1
+ . . . + a
1
x
+ a
0
на одночлен x − a. Сначала разберём алгоритм деления, называемый
схемой Горнера.
I. Разделим многочлен
P
????
(x) = a
????
x
????
+ a
????
−1
x
????
−1
+ a
????
−2
x
????
−2
+ . . . + a
1
x
+ a
0
на одночлен x − a, т. е. представим его в виде
P
????
(x) = (x − a)Q
????
−1
(x) + R,
где R — остаток, а
Q
????
−1
(x) = b
????
−1
x
????
−1
+ b
????
−2
x
????
−2
+ . . . + b
1
x
+ b
0
— многочлен. Коэффициенты b
????
, k = 0, 1, . . . , n − 1, и остаток R удобно вычислять при помощи таблицы
a
????
a
????
−1
a
????
−2
a
2
a
1
a
0
a
b
????
−1
b
????
−2
b
????
−3
b
1
b
0
R

§ 6.
Разложение на множители
55
где
b
????
−1
= a
????
;
b
????
−2
= a
????
−1
+ a · b
????
−1
;
b
????
−3
= a
????
−2
+ a · b
????
−2
;
b
0
= a
1
+ a · b
1
;
R
= a
0
+ a · b
0
II. Опишем более общий способ деления многочлена на произ- вольный многочлен (пригодный и для рассмотренного выше деления на одночлен x − a). Для этого рассмотрим пример деления многочлена
ax
4
+ x
3
+ (2a + 3a
3
)x
2
+ 2x + 6a
3
на многочлен x
2
+ 2. Будем действовать по аналогии с обычным делением целых чисел. Сначала подберём одночлен так, чтобы при умножении его на x
2
+ 2 получился многочлен, имеющий старший коэффициент, равный ax
4
. Очевидно, это ax
2
. Вычтем из исходного многочлена многочлен ax
2
(x
2
+ 2) и получим
ax
4
+ x
3
+ (2a + 3a
3
)x
2
+ 2x + 6a
3
− ax
4
− 2ax
2
= x
3
+ 3a
3
x
2
+ 2x + 6a
3
Снова подбираем одночлен так, чтобы при его умножении на x
2
+ 2
получился многочлен со старшим коэффициентом x
3
. Этот одночлен равен x. Вычтем из x
3
+ 3a
3
x
2
+ 2x + 6a
3
многочлен x
3
+ 2x:
x
3
+ 3a
3
x
2
+ 2x + 6a
3
− x
3
− 2x = 3a
3
x
2
+ 6a
3
Наконец, подбираем одночлен, при умножении которого на x
2
+ 2 по- лучится многочлен со старшим коэффициентом 3a
3
x
2
. Этот одночлен равен 3a
3
. Разность многочленов 3a
3
x
2
+ 6a
3
и 3a
3
(x
2
+ 2) равна 0.
Это означает, что
ax
4
+ x
3
+ (2a + 3a
3
)x
2
+ 2x + 6a
3
= (ax
2
+ x + 3a
3
)(x
2
+ 2).
Эти вычисления удобно записать в виде деления уголком:
−
ax
4
+ x
3
+ (2a + 3a
3
)x
2
+ 2x + 6a
3
x
2
+ 2
ax
4
+ 0 +
2ax
2
ax
2
+ x + 3a
3
−
x
3
+
3a
3
x
2
+ 2x
x
3
+
0 + 2x
−
3a
3
x
2
+ 0 + 6a
3 3a
3
x
2
+ 0 + 6a
3 0

56
Часть 1.
Решение задач
Пример 6.1. При каждом значении a решите неравенство
ax
4
+ x
3
+ (2a + 3a
3
)x
2
+ 2x + 6a
3
> 0.
Решение. Имеем
ax
4
+ x
3
+ (2a + 3a
3
)x
2
+ 2x + 6a
3
> 0 ⇔
⇔ x
2
(ax
2
+ x + 3a
3
) + 2(ax
2
+ x + 3a
3
) > 0 ⇔
⇔ (x
2
+ 2)(ax
2
+ x + 3a
3
) > 0.
Поскольку для любого действительного x справедливо неравенство
x
2
+ 2 > 0, исходное неравенство эквивалентно неравенству
ax
2
+ x + 3a
3
> 0,
решённому в примере
4.1
Ответ: при a ¶ −1/
4
p
12 решений нет; если −1/
4
p
12 < a < 0, то
x
∈
€
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
Š
; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если
0 < a ¶ 1/
4
p
12, то x ∈
€
−∞;
−1 −
p
1 − 12a
4 2a
Š
∪
€
−1 +
p
1 − 12a
4 2a
; +∞
Š
;
если a > 1/
4
p
12, то x ∈ (−∞; +∞).
Пример 6.2. При каждом значении параметра a решите уравне- ние
Æ
−x
3
+ (a − 1)x
2
+ (a − 1)x + a = 2x
2
+ 3x + 2 − a.
Решение. Заметим, что a является корнем уравнения
−x
3
+ (a − 1)x
2
+ (a − 1)x + a = 0,
и разложим подкоренное выражение на множители:
−x
3
+ (a − 1)x
2
+ (a − 1)x + a = (a − x)(x
2
+ x + 1).
Обозначим u =
p
a
− x, v =
p
x
2
+ x + 1. Получим, что исходное урав- нение равносильно следующему:
uv
= 2v
2
− u
2
⇔ (u − v)(u + 2v) = 0.
Так как u ¾ 0, v > 0, получаем, что u + 2v 6= 0. Следовательно, u = v,
т. е. решения уравнения будут получены из системы
¨ x
2
+ x + 1 = a − x,
x ¶ a
⇔
¨
(x + 1)
2
= a,
x ¶ a
⇔





a ¾ 0,
x
1,2
= −1 ±
p
a,
x ¶ a.
Но неравенства x
1,2
¶ a выполнены при всех неотрицательных a.