Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

§ 6.
Разложение на множители
57
Ответ: при a < 0 решений нет; если a = 0, то x = −1; если a > 0,
то x = −1 ±
p
a.
Пример 6.3. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ x
3
− (a + 3)x
2
+ (3a + 2)x − 2a ¾ 0,
x
3
− (a + 3)x
2
+ 3ax ¶ 0
имеет единственное решение.
Решение. Имеет место равенство
x
3
− (a + 3)x
2
+ (3a + 2)x − 2a = (x − a)(x
2
− 3x + 2),
т. е.
x
3
− (a + 3)x
2
+ (3a + 2)x − 2a = (x − 1)(x − 2)(x − a).
Второй многочлен представим в виде
x
3
− (a + 3)x
2
+ 3ax = x(x − 3)(x − a).
Таким образом, исходная система эквивалентна системе неравенств
¨
(x − 1)(x − 2)(x − a) ¾ 0,
x(x − 3)(x − a) ¶ 0.
Рассмотрим пять случаев.
1. a ¾ 3. С помощью метода интервалов находим, что решения первого неравенства составляют множество [1; 2] ∪ [a; +∞), а реше- ния второго — множество (−∞; 0] ∪ [3; a] (или (−∞; 0) ∪ {3}, если
a
= 3). Пересечение этих множеств даёт единственное решение си- стемы x = a.
2. a ∈ [2; 3). В этом случае решения первого неравенства составля- ют, как и ранее, множество [1; 2] ∪ [a; +∞), а решения второго — мно- жество (−∞; 0] ∪ [a; 3], так что решением системы будет множество
[a; 3]. Таким образом, единственности решения в данном случае нет.
3. a ∈ [1; 2). Решения первого неравенства составляют множество
[1; a] ∪ [2; +∞) (или {1} ∪ [2; +∞), если a = 1), а решения второго —
множество (−∞; 0] ∪ [a; 3], так что решением системы будет множе- ство {a} ∪ [2; 3]. Таким образом, единственности решения в данном случае нет.
4. a ∈ (0; 1). Решения первого неравенства составляют множество
[a; 1] ∪ [2; +∞), а решения второго — множество (−∞; 0] ∪ [a; 3], так что решением системы будет множество [a; 1] ∪ [2; 3]. Таким обра- зом, единственности решения опять нет.

58
Часть 1.
Решение задач
5. a ∈ (−∞; 0]. Решения первого неравенства составляют множе- ство [a; 1] ∪ [2; +∞), а решения второго — множество (−∞; a] ∪ [0; 3],
так что решением системы будет множество {a} ∪ [0; 1] ∪ [2; 3]. Таким образом, единственности решения в данном случае также нет.
Ответ: a
∈ [3; +∞).
Пример 6.4. Для каждого значения a решите неравенство
3a − 1 − (8a − 5) · 3
−2
p
− log
81
(????
2
+6????+9)
¶ 3(a + 2) · |x + 3|
2
p log
|????+3|
(1/9)
Решение. Перепишем исходное неравенство в следующем виде:
3a − 1 − (8a − 5) · 3
−2
p
− log
9
|????+3|
¶ 3(a + 2) · |x + 3|
2
p
− log
|????+3|
9
Найдём ОДЗ неравенства:





|x + 3| > 0,
log
9
|x + 3| ¶ 0,
|x + 3| 6= 1
⇔ 0 < |x + 3| < 1.
Заметим, что
|x + 3|
2
p
− log
|????+3|
9
= 9 2
p
− log
|????+3|
9·log
9
|????+3|
=
= 9
−2
− log
9 |
????
+3|
p
− log
9 |
????
+3|
= 9
−2
p
− log
9
|????+3|
= 3
−2
p
− log
9
|????+3|

2
Введём обозначение
t
= 3
−2
p
− log
9
|????+3|
Найдём множество значений переменной t:
0 < |x + 3| < 1 ⇔ 0 < − log
9
|x + 3| < +∞ ⇔ 0 < t = 3
−2
p
− log
9
|????+3|
< 1.
Тогда исходное неравенство с учётом ОДЗ примет вид
¨
3(a + 2)t
2
+ (8a − 5)t − (3a − 1) ¾ 0,
0 < t < 1.
Решим эту систему. Для a = −2 имеем
¨ − 21t + 7 ¾ 0,
0 < t < 1
⇔ t ∈ (0; 1/3].
Для a 6= −2 найдём корни квадратного уравнения
3(a + 2)t
2
+ (8a − 5)t − (3a − 1) = 0,

Тренировочные задачи к § 6 59
например, вычисляя его дискриминант: t = 1/3, t = (1 − 3a)/(a + 2).
Таким образом, при a 6= −2 получаем
(
3(a + 2)
€
t
−
1 3
Š €
t
−
1 − 3a
a
+ 2
Š
¾ 0,
0 < t < 1.
Решаем последнюю систему относительно переменной t.
Если a ¶ −1/4, то t ∈ (0; 1/3]; если a ∈ (−1/4; 1/10), то t ∈ (0; 1/3] ∪
∪ [(1 − 3a)/(a + 2); 1); если a = 1/10, то t ∈ (0; 1); если a ∈ (1/10; 1/3),
то t ∈ (0; (1 − 3a)/(a + 2)] ∪ [1/3; 1); если a ¾ 1/3, то x ∈ [1/3; 1).
Чтобы получить окончательный ответ, перейдём обратно к пере- менной x.
Ответ: если a ¶ −1/4, то x ∈ [−3 − 1/
p
3; −3) ∪ (−3; −3 + 1/
p
3];
если a ∈ (−1/4; 1/10), то x ∈ (−4; −3 − f
????
] ∪ [−3 − 1/
p
3; −3) ∪ (−3;
−3 + 1/
p
3] ∪ [−3 + f
????
; −2); если a = 1/10, то x ∈ (−4; −3) ∪ (−3; −2);
если a ∈ (1/10; 1/3), то x ∈ (−4; −3 − 1/
p
3] ∪ [−3 − f
????
; −3) ∪ (−3;
−3 + f
????
] ∪ [−3 + 1/
p
3; −2); если a ¾ 1/3, то x ∈ (−4; −3 − 1/
p
3] ∪
∪ [−3 + 1/
p
3; −2), где f
????
= ((1 − 3a)/(a + 2))
log
3
p
(????+2)/(1−3????)
Тренировочные задачи к § 6
6.1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых сре- ди решений уравнения
(a
4
+ 2014a
3
+ 2014a
2
+ 2014a + 2013)x = a
3
+ 3a
2
− 6a − 8
есть неотрицательные числа.
6.2. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
x
2
+ 2|x − a| ¾ a
2
справедливо при всех действительных x.
6.3. Найдите наибольшее значение a, при котором уравнение
x
3
+ 5x
2
+ ax + b = 0
с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из ко- торых равен −2.
6.4. Для каждого допустимого значения a решите неравенство
a
????
(a − 1)
????
− 2a
????
+1
− (a − 1)
????
+ 2a ¶ 0
и найдите, при каких значениях a множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2.

60
Часть 1.
Решение задач
6.5. Найдите все значения a, при которых область определения функ- ции
y
= (
p
a)
2 ????+1
+
p
xa
4
− x
1/2+???? log
????
????
− (
p
a)
9

1/2
содержит два или три целых числа.
6.6. При каких значениях a неравенство
(x
2
− (a + 8)x − 6a
2
+ 24a)
p
3 − x ¶ 0
имеет единственное решение?
6.7. Для каждого значения a решите неравенство
(x
2
+ 2x − a
2
− 4a − 3)(sin x + 2x) > 0.
6.8. Для каждого значения a решите неравенство
x
2
· 2
|2????−1|
− 2x + 1
x
2
− (a − 2)x − 2a
> 0.
6.9. Фигура на плоскости (x; y) состоит из всех точек, через которые не проходит ни одна из кривых, задаваемых соотношением
(p
4
+4p
2
+16)
2
+(x
2
− y
2
)
2
=16(p
3
+4p)xy +2(p
4
+12p
2
+16)(x
2
+ y
2
)
при различных действительных значениях p. Найдите длину линии,
ограничивающей эту фигуру.
6.10. Найдите все значения a, при каждом из которых ровно одно решение неравенства
x
3
p
a
3
+ a
2
− a − 1 − x
2
p
a
3
+ a
2
+ x
p
a
4
− a
2
− a
2
¶ 0
удовлетворяет условию a ¶ x ¶ 2a + 1.
6.11. Для каждого значения a решите неравенство
2a + 3 − 2(a − 1) · 2
−2
p
2 log
1/2
|????−4|
¾ (3a + 7) · (x
2
− 8x + 16)
p
−(1/2) log
|????−4|
2
6.12. При каждом значении a решите уравнение
2x
2
+ 3x − a + 4 =
Æ
−x
3
+ (a − 1)x
2
+ (a − 2)x + 2a.
6.13. При каждом значении a решите неравенство
2ax
4
+ 8x
3
+ (a + 2a
3
)x
2
+ 4x + a
3
> 0.
6.14. Найдите все значения β, при которых уравнение
(x
2
+ x)(x
2
+ 5x + 6) = β
относительно x имеет ровно три различных корня.

Тренировочные задачи к § 6 61
6.15. Найдите все пары значений a и b, для каждой из которых си- стема уравнений
¨ x
2
− y
2
+ a(x + y) = x − y + a,
x
2
+ y
2
+ bxy − 1 = 0
имеет не менее пяти различных решений (x; y).
6.16. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ x
3
− (4 − a)x
2
+ (5 − 3a)x + 2a − 2 ¾ 0,
x
3
+ (a − 4)x
2
+ (3 − 3a)x ¶ 0
имеет единственное решение.
6.17. Найдите все такие значения y > 1/2, что неравенство
16 y
3
+ 6y
3
x
− 4 y
3
x
2
− 50 y
2
− 11 y
2
x
+
+ 10y
2
x
2
+ 52y + 4yx − 8yx
2
− 18 + x + 2x
2
> 0
выполняется при всех x из интервала 1 < x < 2 y.
6.18. При каком значении a сумма различных корней уравнения cos x − sin 2x + sin 4x = a(ctg x + 2 cos 3x),
принадлежащих отрезку [3π/4; 22π/3], максимальна?
6.19. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
2 3????
2
+2????
2
+8????−4????+8
+ 2
????
2
+4????+5
¶ 33 · 2 2 ????
2
+????
2
+4????+4
,
x
2
+ y
2
− 8x + 8 y = a
имеет хотя бы одно решение, но среди этих решений нет удовлетво- ряющих условию x + y = 0.
6.20. Найдите все значения a, при которых среди корней уравнения sin 2x + 6a cos x − sin x − 3a = 0
найдутся два корня, разница между которыми равна 3π/2.
6.21. Найдите все значения a из промежутка [−2; 1], при каждом из которых расстояние на числовой оси между любыми различными корнями уравнения sin 2x + |2a + 1| sin x + |a| = 2|a| cos x + sin x + |2a
2
+ a|
не меньше чем π/2.

62
Часть 1.
Решение задач
6.22. Найдите все значения a, при каждом из которых все решения уравнения
6 sin
€
2x −
11 12
πa
Š + 6 sin€
11 12
πa
Š + 3a
3
− 7a
2
+ 3a + 1 =
= 2(3a
2
− 4a − 1) cos
€
x
−
11 12
πa
Š + 6(a − 1) sin x,
будучи отложенными на тригонометрической окружности, образуют на ней ровно четыре точки, причём эти точки являются вершинами трапеции.
Ответы
6.1
. a
∈ (−2013; −4] ∪ {−1} ∪ [2; +∞).
6.2
. a
∈ [−1; 1].
6.3
. a
= 7.
6.4
. Если 1 < a < 2, то x ∈ (−∞; log
????
−1 2a] ∪ [0; +∞); если a = 2, то x ∈ [0; +∞);
если a > 2, то x ∈ [0; log
????
−1 2a]. При a = 2 +
p
3 множество решений — про- межуток длины 2.
6.5
. a
∈ (1; 3] ∪ [5; 7).
6.6
. a
∈ [1; 5/2].
6.7
. Если a ¶ −3, то x ∈ (a + 1; 0) ∪ (−(a + 3); +∞); если a ∈ (−3; −2), то x ∈
∈ (a + 1; −(a + 3)) ∪ (0; +∞); если a = −2, то x ∈ (0; +∞); если a ∈ (−2; −1), то
x
∈ (−(a + 3); a + 1) ∪ (0; +∞); если a ¾ −1, то x ∈ (−(a + 3); 0) ∪ (a + 1; +∞).
6.8
. Если a < −2, то x ∈ (−∞; a) ∪ (−2; +∞); если a = −2, то x ∈ R\{−2};
если a ∈ (−2; 1/2), то x ∈ (−∞; −2) ∪ (a; +∞); если a = 1/2, то x ∈ (−∞; −2) ∪
∪ (1/2; 1) ∪ (1; +∞); если a > 1/2, то x ∈ (−∞; −2) ∪ (a; +∞).
6.9
. 12
p
2. Указание. Введите новые переменные u = (x + y)
2
, v = (x − y)
2
6.10
. a
= −1; a =
p
2. Указание. Найдите ОДЗ по a для неравенства и для данных значений a решите его.
6.11
. Если a ¶ −3/2, то x ∈ (3; 4 − 1/
p
2] ∪ [4 + 1/
p
2; 5); если a ∈ (−3/2; −1),
то x ∈ (3; 4 − 1/
p
2] ∪ [4 − f
????
; 4) ∪ (4; 4 + f
????
] ∪ [4 + 1/
p
2; 5); если a = −1,
то x ∈ (3; 4) ∪ (4; 5); если a ∈ (−1; −2/3), то x ∈ (3; 4 − f
????
] ∪ [4 − 1/
p
2; 4) ∪
∪ (4; 4 + 1/
p
2] ∪ [4 + f
????
; 5); если a ¾ −2/3, то x ∈ [4 − 1/
p
2; 4) ∪ (4; 4 + 1/
p
2],
где f
????
= ((2a + 3)/(1 − a))
log
2
p
(1−????)/(2????+3)
6.12
. При a<1 решений нет; если a=1, то x=−1; если a>1, то x =−1±
p
a
− 1.
6.13
. При a ¶ −
p
2 решений нет;
если −
p
20, то x ∈
€
−2 +
p
4 − a
4
a
;
−2 −
p
4 − a
4
a
Š
; если a = 0, то x ∈ (0; +∞);
если 0 < a ¶
p
2, то x ∈
€
−∞;
−2 −
p
4 − a
4
a
Š
∪
€
−2 +
p
4 − a
4
a
; +∞
Š
; если a >
p
2,
то x ∈ (−∞; +∞).
6.14
.
β = 9/16.
6.15
. (1; −2); (−1; −2); (t; 2), t ∈ R.