Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf

604

605

Рис. 3.90. 

Ввод данных для моделирования динамики 

выполнения проекта (работа 6)

3. Нажать кнопку “Выполнить моделирование”.
При нажатии кнопки “Выполнить моделирование” будет 

запущен макрос CommandButton3_Click() и для работы с но-
мером 6 будет выполнено моделирование динамики выполнения 
проекта. Линейка хода выполнения работы (выделена черной 
утолщенной линией) через интервал времени 1 мин будет из-
менять свою длину (сутки за одну минуту).

Результат моделирования динамики выполнения работ 

проекта (для работы 6) показан на рис. 3.91.

Выполнив оценку имитационных задач, решаемых в “Micro-

soft Projeсt”, нетрудно заметить, что для реализации функций 
каждой из работ (задач) может быть разработана имитационная 
или же аналитическая подмодель. Например, модель принятия 
решения, модель основного производства и т. д. При имитации 
хода реализации бизнес-процесса каждая из подмоделей вклю-
чается в работу в моменты времени, определенные графиком 
процесса. По такому принципу построены многие из программ, 
предназначенных для решения задач моделирования экономи-
ческих процессов. 

Глава 15. Оптимизационные модели 

экономических систем

15.1. Основные понятия оптимизации и классификация методов 

решения оптимизационных задач

 Поиск оптимального решения — нахождение таких усло-

вий организации системы (процесса), при которых достигается 
экстремум некоторой функции или функционала. Примерами 
оптимизационных задач могут выступать:

•выбор дороги из дома на работу таким образом, чтобы за-

тратить меньше времени и выполнить определенные условия;

•определение неизвестных параметров модели, обеспечи-

вающих минимальное отклонение выходных координат, полу-
ченных экспериментальным путем, от рассчитанных по модели. 
Это задача идентификации;

606

607

Рис. 3.91. Результат моделирования динамики выполнения работ проекта (работа 6)

•выгодное проведение финансовой сделки, обеспечивающей

максимальную прибыль при выполнении определенных балан-

совых соотношений и т. д. 

При решении задач оптимизации используются следующие

понятия.

Критерий оптимальности

 — величина, оценивающая каче-

ство искомого решения. Примерами экономических критериев 

могут выступать себестоимость, прибыль.

Целевая функция

 — функция, позволяющая рассчитать

числовое значение критерия оптимальности. Иногда значение 

критерия оптимальности определяется 

функционалом

, т. е. не-

кой интегральной функцией.

Переменная оптимизации

 — переменная, определяемая при

решении оптимизационной задачи.

Решение оптимизационной задачи обычно находится при 

некоторых условиях. Они могут быть двух типов: определяться 

условиями в форме неравенств — это 

ограничения

, определяться

равенствами — это 

связи

.

Ограничения могут быть 

автономные

 — накладываются на 

каждую переменную оптимизации в отдельности, и 

неавтоном-

ные

 — накладываются на совокупность переменных.

Связи обычно задаются алгебраическими уравнениями,

дифференциальными, интегральными и т. д. и являются урав-

нениями математической модели.

Для решения задачи оптимизации формальными методами 

необходимо 

формализовать постановку задачи

. Формализация 

постановки задачи включает в себя несколько этапов:

•

словесная (содержательная) постановка;

•

введение обозначений;

•

формализация условий задачи.

Значение найденных переменных оптимизации, при кото-

рых достигается экстремум критерия оптимальности (на области

допустимых значений), называется 

решением оптимизационной

задачи

.

Значение целевой функции при соответствующем ей зна-

чении критерия называют 

значением задачи

.

606

607

Рис. 3.91. 

Результат моделирования динамики выполнения работ проекта (работа 6)

•выгодное проведение финансовой сделки, обеспечивающей 

максимальную прибыль при выполнении определенных балан-
совых соотношений и т. д. 

При решении задач оптимизации используются следующие 

понятия.

Критерий оптимальности — величина, оценивающая каче-

ство искомого решения. Примерами экономических критериев 
могут выступать себестоимость, прибыль.

Целевая функция — функция, позволяющая рассчитать 

числовое значение критерия оптимальности. Иногда значение 
критерия оптимальности определяется функционалом, т. е. не-
кой интегральной функцией.

Переменная оптимизации — переменная, определяемая при 

решении оптимизационной задачи.

Решение оптимизационной задачи обычно находится при 

некоторых условиях. Они могут быть двух типов: определяться 
условиями в форме неравенств — это ограничения, определяться 
равенствами — это связи.

Ограничения могут быть автономные — накладываются на 

каждую переменную оптимизации в отдельности, и неавтоном-
ные — накладываются на совокупность переменных.

Связи обычно задаются алгебраическими уравнениями, 

дифференциальными, интегральными и т. д. и являются урав-
нениями математической модели.

Для решения задачи оптимизации формальными методами 

необходимо формализовать постановку задачи. Формализация 
постановки задачи включает в себя несколько этапов:

•словесная (содержательная) постановка;

•введение обозначений;

•формализация условий задачи.
Значение найденных переменных оптимизации, при кото-

рых достигается экстремум критерия оптимальности (на области 
допустимых значений), называется решением оптимизационной 
задачи.

Значение целевой функции при соответствующем ей зна-

чении критерия называют значением задачи.

608

609

Задача оптимизации считается корректно поставленной, 

если она имеет решение, решение это единственное и устой-
чивое. В противном случае задача считается некорректно по-
ставленной.

Если в задаче оптимизации используется одновременно 

несколько критериев оптимальности, то такая задача многокри-
териальная. Например, необходимо одновременное сокращение 
расходов на сырье при увеличении количества выпускаемой 
продукции и повышение прибыли от ее реализации.

Эффективных методов решения многокритериальных задач 

нет, и решение таких задач часто не единственное. 

Можно привести несколько методов решения многокрите-

риальных задач:

•Нахождение решения, оптимального по Парето. Множе-

ство решений называется оптимальным по Парето, если ни одно 
из этих решений нельзя улучшить ни по одному из критериев, 
не ухудшая одновременно значение другого критерия.

•Метод справедливого компромисса, когда ухудшение по 

одному из критериев приравнивается к улучшению другого 
критерия.

•Метод уступок, когда все критерии упорядочиваются по 

важности и задача решается итеративно.

•Метод свертки критериев, когда переходят или к взве-

шенной сумме (произведению) всех критериев со своими весо-
выми коэффициентами (при этом все критерии нормируются 
и приводятся к одной размерности), или к однокритериальной 
задаче, выбирая один наиболее важный критерий и учитывая 
остальные в ограничениях.

Все методы оптимизации, позволяющие находить решение 

оптимизационных задач, можно классифицировать по разным 
признакам:

1. В зависимости от наложения условий:

•методы безусловной оптимизации (когда на переменные 

оптимизации не накладываются какие-либо условия);

•методы условной оптимизации (когда требуется соблю-

дение определенных условий).

2. В зависимости от числа переменных оптимизации:

• методы  одномерной оптимизации (одна переменная 

оптимизации);

• методы многомерной оптимизации (целевая функция 

зависит от нескольких переменных оптимизации).

3. В зависимости от вида функции, определяющей условия 

задачи:

•методы линейного программирования, если все функции, 

определяющие условия задачи, линейны;

•методы нелинейного программирования, если функции, 

определяющие условия задачи, нелинейные;

• методы дискретного программирования, если хотя бы 

часть переменных оптимизации может принимать только дис-
кретные значения;

• методы вариационного исчисления, если хотя бы часть 

переменных оптимизации или величин, зависящих от них, яв-
ляются функциями времени или пространственной координаты. 
Критерием оптимальности в таких задачах является всегда 
функционал, например интеграл. 

Методами безусловной оптимизации функции одной пере-

менной (одномерного поиска) являются, например, методы:

•сканирования;

•дихотомии;

•золотого сечения,

•фибоначи.
Методами безусловной оптимизации функции нескольких 

переменных (многомерного поиска) являются, например, методы:

•градиентные:
— с постоянным шагом;
— с оптимальным шагом (наискорейшего спуска или подъ-

ема);

— ускоренный.
•безградиентные:
— метод Гаусса-Зейделя (покоординатный подъем с по-

стоянным или оптимальным шагом);

— симплексный метод (деформированного многогранника);

608

609

Задача оптимизации считается корректно поставленной, 

если она имеет решение, решение это единственное и устой-
чивое. В противном случае задача считается некорректно по-
ставленной.

Если в задаче оптимизации используется одновременно 

несколько критериев оптимальности, то такая задача многокри-
териальная. Например, необходимо одновременное сокращение 
расходов на сырье при увеличении количества выпускаемой 
продукции и повышение прибыли от ее реализации.

Эффективных методов решения многокритериальных задач 

нет, и решение таких задач часто не единственное. 

Можно привести несколько методов решения многокрите-

риальных задач:

•Нахождение решения, оптимального по Парето. Множе-

ство решений называется оптимальным по Парето, если ни одно 
из этих решений нельзя улучшить ни по одному из критериев, 
не ухудшая одновременно значение другого критерия.

•Метод справедливого компромисса, когда ухудшение по 

одному из критериев приравнивается к улучшению другого 
критерия.

•Метод уступок, когда все критерии упорядочиваются по 

важности и задача решается итеративно.

•Метод свертки критериев, когда переходят или к взве-

шенной сумме (произведению) всех критериев со своими весо-
выми коэффициентами (при этом все критерии нормируются 
и приводятся к одной размерности), или к однокритериальной 
задаче, выбирая один наиболее важный критерий и учитывая 
остальные в ограничениях.

Все методы оптимизации, позволяющие находить решение 

оптимизационных задач, можно классифицировать по разным 
признакам:

1. В зависимости от наложения условий:

•методы безусловной оптимизации (когда на переменные 

оптимизации не накладываются какие-либо условия);

•методы условной оптимизации (когда требуется соблю-

дение определенных условий).

2. В зависимости от числа переменных оптимизации:

• методы  одномерной оптимизации (одна переменная 

оптимизации);

• методы многомерной оптимизации (целевая функция 

зависит от нескольких переменных оптимизации).

3. В зависимости от вида функции, определяющей условия 

задачи:

•методы линейного программирования, если все функции, 

определяющие условия задачи, линейны;

•методы нелинейного программирования, если функции, 

определяющие условия задачи, нелинейные;

• методы дискретного программирования, если хотя бы 

часть переменных оптимизации может принимать только дис-
кретные значения;

• методы вариационного исчисления, если хотя бы часть 

переменных оптимизации или величин, зависящих от них, яв-
ляются функциями времени или пространственной координаты. 
Критерием оптимальности в таких задачах является всегда 
функционал, например интеграл. 

Методами безусловной оптимизации функции одной пере-

менной (одномерного поиска) являются, например, методы:

•сканирования;

•дихотомии;

•золотого сечения,

•фибоначи.
Методами безусловной оптимизации функции нескольких 

переменных (многомерного поиска) являются, например, методы:

•градиентные:
— с постоянным шагом;
— с оптимальным шагом (наискорейшего спуска или подъ-

ема);

— ускоренный.
•безградиентные:
— метод Гаусса-Зейделя (покоординатный подъем с по-

стоянным или оптимальным шагом);

— симплексный метод (деформированного многогранника);