ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 11745
Скачиваний: 76
266
обходимость упорядочивания объектов в сохраняющих порядок иерархиях. Гомо-
генность существенна для сравнения объектов одного порядка, так как человече-
ский разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых
элементов. Когда эта несопоставимость большая, элементы располагают в отдель-
ные кластеры сравнимых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпози-
ции.
3. Зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему выс-
шего уровня.
4. Результат анализа может отражать ожидания экспертов только в том случае,
если эти ожидания правильно воспроизведены в иерархии, т. е. все альтернативы,
так же как и все критерии, воспроизведены в иерархии. Это не предполагает ни ра-
циональности процесса, ни того, что процесс может приспосабливаться только к ра-
циональной точке зрения. Многие ожидания людей иррациональны.
Аксиомы позволяют получить ряд общих теорем, определяющих операционные
возможности МАИ и показывающих удобства парных сравнений и метода собствен-
ного вектора при оценке отношений, а также исследовать устойчивость собственно-
го вектора к малым возмущениям в данных (подробнее об этом в [Д8]).
Абсолютные и относительные измерения: перестановка рангов
В появившихся в последнее время работах Т. Саати и других авторов [Д9, Д10,
Д11] значительное внимание уделено вопросу сохранения и перестановки рангов,
связанного с абсолютными и относительными измерениями.
Известно, что ранжирование альтернатив может быть получено в, результате как
относительных измерений (основанных на парных сравнениях, дающих относитель-
ные значения), так и абсолютных измерений (основанных на сравнениях с извест-
ным стандартом). Тип измерений зависит от рассматриваемой ситуации. При совер-
шенно новой задаче принятия решений, или в старых задачах, для которых не уста-
новлены общепринятые стандарты, следует применять относительные измерения,
сравнивая альтернативы попарно для выявления их предпочтительности. Если же
стандарты имеются, то следует применять абсолютные суждения. Метод анализа ие-
рархий может быть использован при обоих типах измерений. Однако с типом изме-
рений связана одна важная особенность, обусловленная перестановкой рангов в
случае добавления дополнительных альтернатив (критериев) или удаления некото-
рых из рассматривавшихся альтернатив (критериев). Как показано в [Д10, Д11], при
абсолютных изменениях добавление или удаление альтернативы не меняет взаим-
ного расположения рангов начальных альтернатив для матрицы. Этот результат ве-
рен и для всей иерархии [Д12, Д13].
При относительных измерениях, когда имеется только один критерий и суждения
согласованны, добавление или удаление альтернативы не влияет на ранговый поря-
док начальных альтернатив. В случае многих критериев, при согласованности в су-
ждениях ранговый порядок любых двух альтернатив не меняется (в результате
структурных изменений), когда одна альтернатива предпочтительнее другой в мат-
рицах сравнения для всех критериев. Тем не менее даже для согласованных матриц,
когда одна альтернатива доминирует над другой не по всем критериям, структурные
изменения могут вызвать перестановку рангов альтернатив. В [Д11] приводятся ма-
тематические условия сохранения рангового порядка иерархических структур в об-
щем случае. Эта проблематика связана с теорией многокритериальных задач и мо-
жет быть рассмотрена в ее рамках (см. [Д14]).
267
Неполные сравнения
Как уже известно, для получения матрицы сравнения порядка
n
необходимо
произвести
(
)
1 / 2
n n
−
суждений. В [Д15] подход, распространен на ситуации, в ко-
торых ЛПР позволено отвечать «не знаю» или «не уверен» на некоторые из вопро-
сов. Подход Харкера основан на определении квазиобратносимметричных матриц.
Неотрицательная
n n
×
-матрица
A
квазиобратносимметрична, если
0
ij
a
≥
и из
0
ij
a
>
следует, что
1
ij
ji
a
a
=
,
,
1, 2,
,
i j
n
=
…
.
Пусть ЛПР рассмотрено множество
n
альтернатив и проведено некоторое под-
множество
(
)
1 / 2
n n
−
парных сравнений, которые позволили получить матрицу
( )
ij
C
c
=
с элементами
0
ij
c
≥
, и из
0
ij
c
>
следует, что
1
ij
ji
c
c
=
. Пусть
( )
ij
B
b
=
–
n n
×
-матрица, полученная из частично заполненной матрицы
C
следующим обра-
зом:
,
0,
0,
0,
ij
ij
ij
ij
c
если c
b
если c
>
=
=
ii
i
b
m
=
, т. е. диагональные элементы матрицы
B
равны числу недополученных
суждений в строке
i
.
Матрица
A I B
= +
– примитивна, т. е. существует такая постоянная
1
k
>
, что
матрица
k
A
положительна. Следовательно, решение задачи о собственном значении
для матрицы
A
можно рассматривать как приоритеты альтернатив при неполных
сравнениях. В [Д15] доказано также, что корень Перрона неотрицательной, непри-
водимой, квазиобратносимметричной матрицы
A
больше или равен
n
(рангу мат-
рицы
A
) и равен
n
только в том случае, если матрица
A
– согласованна.
Аналогичный подход к выявлению приоритетов для неполной обратносиммет-
ричной матрицы предложен и в [Д16].
Неопределенность в суждениях
Неопределенность может быть выражена в следующем виде:
1) точечные оценки с функциями распределения вероятностей,
2) интервальные оценки без вероятностного распределения,
3) нечеткие оценки в виде нечетких чисел (определение последних, см., напри-
мер, в [Д17, Д18]).
В работе Варгаса [Д19] исследованы матрицы с элементами в виде случайных
переменных. Показано, что при условиях полной согласованности, если суждения
подчинены гамма-распределению, главный правый собственный вектор результи-
рующей матрицы парных сравнений подчиняется распределению по Дирихле. Ут-
верждается, что этот результат верен и для несогласованности менее 10%.
Саати и Варгам в [Д20| исследовали интервальные оценки моделированием в
предположении, что все точки интервала распределены равномерно. Используя тест
Колмогорова–Смирнова, они показали, что компоненты собственного вектора удов-
летворяют усеченному нормальному распределению. Была подтверждена возмож-
ность распространения центральной предельной теоремы на распределение компо-
нент собственного вектора как предельных средних значений доминирования каж-
дой альтернативы над другими альтернативами по путям всех длин. Было показано,
каким образом выбираются альтернативы в соответствии с произведением их при-
оритетов и вероятностью того, что не произойдет перестановки рангов. Данный спо-
268
соб преодоления неопределенности в суждениях ЛПР позволяет измерять одновре-
менно как важность, так и вероятность сохранение рангов.
Применение МАИ при неопределенности, связанной с суждениями виде нечетких
чисел, рассмотрено в [Д21, Д22].
Д.3. ПРИЛОЖЕНИЯ
Как было отмечено, за последние годы МАИ широко использовался при решении
различных задач. Но претендуя здесь на полноту, отошлем читателя к ранее упомя-
нутым обзорным работам [Д6, Д7], а также к сборнику докладов Первого междуна-
родного симпозиума по МАИ [Д5] и вышедшей в 1989 г. в книге [Д23|, и в данном
обзоре остановимся на нескольких, наиболее интересных приложениях.
С помощью МАИ были найдены коэффициенты целевой функции для задачи це-
левого программирования большой размерности (9060 уравнений, 28730 перемен-
ных и 6950 целевых ограничений) [Д24]. В работе представлено интересное сопос-
тавление многомерной теории полезности с МАИ при решении многокритериальных
задач. Показано, что трудности, возникающие у аналитиков при непосредственном
определении требуемых функций полезности, сильно снижают привлекательность
подхода, основанного на теории полезности. В то же время МАИ позволяет аналити-
ку структурировать элементы проблемы довольно быстро и облегчает проведение
анализа. Существенные ограничения МАИ, связанные с проведением многочислен-
ных парных сравнений, преодолеваются при использовании предложенной в [Д15]
процедуры, значительно снижающей количество необходимых парных сравнений.
Э. Формен (один из авторов программной системы Expert Choice) предложил объ-
единить МАИ с традиционными методологиями исследования операций [Д25]. В ра-
боте обосновывается система поддержки принятия решений, которая понятна и ре-
левантна для ЛПР в реальной жизни. Показано, как ЛПР могут разрабатывать, пони-
мать и применять .модели для принятия управленческих решений, что на практике
они редко делают. Рассматривается объединение МАИ с линейным программирова-
нием, анализом очередей, методом критического пути, прогнозированием и цело-
численным линейным программированием для решения ряда практических задач
(дизайн новых видов продукции, распределение ресурсов во времени, по деньгам,
труду и материалам с целью своевременного выполнения проекта).
Новый подход к оценке риска для международных инвестиций, основанный на
МАИ, был предложен в [Д26]. Подход позволяет исследовать факторы как количест-
венно, так и качественно, обеспечивая основу для обсуждения и обмена идеями ме-
жду ЛПР при анализе риска. В работе исследуются структуры, в пределах которых
фирма может анализировать все важнейшие факторы, влияющие на ее бизнес за
рубежом, и быстро принимать логические решения.
Метод анализа иерархий успешно применялся при оценке эффективности лекар-
ственных средств [Д27, Д28, Д29]. Методика обработки данных морфологического
анализа позволила оценивать как действие отдельного препарата, так и сравнивать
эффективность отдельных фармакологических средств при лечении ишемической
болезни сердца. Полученные результаты хорошо согласуются с выводами клиниче-
ских исследований.
Заслуживает интереса возможность приложения МАИ в различных видах спорта,
связанная с определением состава эстафетной команды [Д27]. Из заданного множе-
ства кандидатов, относительно которых мы располагаем достаточно полной инфор-
мацией, следует отобрать необходимое число и расставить их по этапам эстафеты
(бег 4
×
100 м). В данном виде спорта оценка подготовки спортсмена производится
согласно специальным методикам, выделяющим шесть специальных показателей.
Часть этих показателей объективна (получается в результате абсолютных измере-
269
ний) и измеряется во времени. Есть и такие показатели, которые получаются в ре-
зультате относительных измерений (например, психологическая подготовка). Кроме
того, важность различных этапов также оценивается в результате относительных
сравнений, проводимых экспертами (тренерами). Следует отметить возможность по-
лучения неожиданных для ЛПР (тренера) решений, в данной задаче. Анализ, кото-
рый может быть проведен для этого примера, наглядно иллюстрирует теоретические
результаты, полученные в [Д11] для условий сохранения и перестановки рангов в
случае абсолютных и относительных измерений.
Метод анализа иерархий стал применяться и при построении экспертных систем.
Для задач принятие решений классификационного типа в [Д30] описана основанная
на фреймах экспертная система с элементами МАИ. Система проводит диагностику
текущего состояния затвора плотины и предсказывает его срок службы, основыва-
ясь как на структурных, так и на эмпирических точках зрения. Метод также приме-
няется в качестве средства для снижения неопределенности информации в интегри-
рованной системе поддержки приобретения знаний [Д31].
Д.4. ПРОГРАММНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ
В настоящее время имеется несколько программных систем для мини- и микро-
компьютеров, которые реализуют МАИ.
Наиболее известная зарубежная система Expert Choice создана Т. Саати и
Э. Форменом [Д32, ДЗЗ] Это – система поддержки принятия решений, предназна-
ченная для использования на персональных компьютерах IBM PC типа XT, AT и их
клонах. Она требует 256K памяти и один двухсторонний НГМД. Стоимость системы
около 500 долларов. Система Expert Choice позволяет:
– структурировать сложную проблему в виде иерархии в диалоговом режиме с
редактированием;
– воспринимать как количественные (абсолютные), так и качественные (относи-
тельные) суждения при оценках; соответственно имеется возможность переключе-
ния с вербальной шкалы на численную и обратно;
– изменять суждения с целью достижения лучшего индекса согласованности для
матриц парных сравнений, выявлять наиболее несогласованные суждения;
– синтезировать приоритеты нижнего уровня;
– анализировать чувствительность приоритетов;
– использовать подход ранговой шкалы вместо проведения парных сравнений
при большом числе альтернатив (до 100);
– прервать работу и продолжить её с прерванного места.
Отметим, что система нашла довольно широкое распространение в различных
правительственных и частных организациях США.
В 1988 г. X. Голям-Незад из Мурхедского государственного университета (штат
Миннесота, США) предложил новую реализацию программной системы, воспроизво-
дящей МАИ, под названием Decide. Это – система поддержки принятия решений,
также предназначенная для использования на персональных компьютерах IBM PC
типа XT, AT и их семействах. Основной особенностью системы является то, что в ней
применяется непрерывная шкала при высказывании суждений, причём она меняется
в диапазоне от нуля до пяти.
В Японии компания Sumitomo Computing Service, Inc. модифицировала систему
Expert Choice для японских персональных компьютеров NEC РС-9801 и IBM
JAPAN-5550. Имеется также японская оригинальная версия программной системы,
реализующей МАИ, которая разработана компанией .JUSF. Inc. под руководством
К. Тоне для персональных компьютеров серии NEC РС-9801.
270
Программные реализации МАИ для персональных компьютеров разработаны
также и в Китае (см., например, [Д34], где имеются соответствующие ссылки).
В Советском Союзе основанная на МАИ система поддержки принятия решений,
предназначенная для использования мини-ЭВМ СМ-4, разработана в 1985 г. [ДЗ5,
Д36]. Система под названием «САЭМА», созданная на языке ФОРТРАН IV, позволяет
сохранять несколько моделей иерархий, причем реализована парольная система
доступа к модели. Предусмотрены средства редактирования соответствующей ие-
рархии и прерывания работы с ней с возможностью ее возобновления во время дру-
гих сеансов работы с ЭВМ, а также возможность анализа иерархий большого разме-
ра.
В настоящее время (1990 г.) в Институте вычислительной математики
им. Н. И. Мусхелишвили АН Грузинской ССР разработана система поддержки приня-
тия решений, предназначенная для пользования на персональных компьютерах IBM
PC типа XT, AT и их семействах. Система под названием «ПРАИС» .(поддержка ре-
шений анализом иерархических структур) построена в виде открытой системы и
включает в себя ряд методов, которые могут быть в дальнейшем дополнены.
Система позволяет решить проблему, для которой может быть построена иерар-
хия в смысле МАИ с использованием различных подходов в зависимости от возмож-
ностей экспертов или ЛПР. В случае, когда иерархия и соответствующие оценки вво-
дятся в режиме диалога с компьютером, используется некоторый аналог системы
САЭМА. Но предусмотрен такой случай, когда часть информации об иерархии имеет-
ся в некотором наборе данных (подготовленном заранее или полученном из какой-
либо информационной базы). Другими словами, для некоторой исходной иерархии
часть информации существует в обработанном виде. Пользователь формирует «лич-
ную» иерархию в виде некоторого поддерева исходной. При этом он может расши-
рять исходную иерархию путем добавления вершин на отдельных уровнях. Таким
образом, диалог каждый раз «подстраивается» на получение недостающей инфор-
мации. В системе предусмотрена возможность работы при неполных сравнениях. В
случае, когда эксперты не полностью заполняют матрицы парных сравнений по
шкале 1–9, используется модификация МАИ согласно [Д15, Д16].
В системе ПРАИС предусмотрена также групповая экспертная процедура МАИ с
применением элементов кластерного анализа. И, наконец, в случае, когда эксперты
испытывают затруднения в оценках по шкале отношений, оценивая объекты по ди-
хотомической шкале (больше–меньше, лучше–хуже и т. д.), и более того, в некото-
рых случаях затрудняются вообще высказать какое-либо мнение при парных срав-
нениях, в системе ПРАИС для анализа иерархий используется подход, основанный
на групповой экспертной процедуре [Д37].
Для решения задачи стратегического планирования, описанной в гл. 6 (подроб-
ное описание методологии дано в [Д38]), разработан пакет прикладных программ
СТРАТЕГ. Система предусматривает два режима работы: 1) непосредственно опи-
санный в [Д38] и 2) так называемый многопользовательский, который предусматри-
вает заполнение матриц попарных сравнений иерархии и оценку переменных со-
стояния для первой итерации прямого процесса как согласованного мнения всей
группы экспертов, а в дальнейшем – работу каждого пользователя (эксперта) от-
дельно на итерациях первого обратного и последующих прямых и обратных процес-
сов. Затем информация, полученная от каждого эксперта, решающего задачу стра-
тегического планирования, обобщается. Система проводит анализ отклонений в
мнениях, а также их причины как для каждой матрицы попарных сравнений, так и
по структуре иерархии, создаваемых каждым экспертом. Такая организации процес-
са позволяет исследователям в полной мере учитывать мнения различных сторон,