Файл: 1. Изучение математического описания линейных звеньев.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НМ. Матвейчук ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. ПРАКТИКУМ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по специальности Автоматизация технологических процессов и производств (сельское хозяйство Минск
БГАТУ
2021
2
УДК 681.5(07)
ББК я
М Рецензенты кафедра робототехнических систем Белорусского национального технического университета кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой АР. Околов); кандидат технических наук, доцент, заведующий лабораторией научного обеспечения испытаний и информационно-технических технологий
РУП «НПЦ НАН Беларуси по механизации сельского хозяйства В. К. Клыбик
М33
Матвейчук, НМ Теория автоматического управления. Практикум : учебное пособие / НМ. Матвейчук. – Минск : БГАТУ, 2021. – 236 с.
ISBN 978-985-25-0109-5. Содержатся материалы для подготовки к практическим занятиям по дисциплине Теория автоматического управления, включающие разработку математической модели объекта управления и ее линеаризацию, определение передаточных функций и временных характеристик линейных звеньев, составление функциональной и структурной схем системы автоматического управления, определение устойчивости и качества регулирования, синтез законов регулирования, оценку робастности. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 1-53 01 01 Автоматизация технологических процессов и производств направления специальности
1-53 01 01-09 Автоматизация технологических процессов и производств (сельское хозяйство.
УДК 681.5(07)
ББК я
ISBN 978-985-25-0109-5
© БГАТУ, 2021
3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Тема 1. Изучение математического описания линейных звеньев. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Тема 2. Определение передаточных функций линейных звеньев. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 Тема 3. Изучение описания линейных звеньев в переменных состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34 Тема 4. Определение и линеаризация характеристик линейных звеньев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48 Тема 5. Изучение устройства, функционального состава и принципов действия систем автоматического управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60 Тема 6. Изучение математического описания и структурных схем линейных систем автоматического регулирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70 Тема 7. Определение передаточных функций соединений линейных звеньев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79 Тема 8. Определение передаточных функций и ошибки системы автоматического регулирования по задающему и возмущающему воздействиям . . . . . . . . . .
88 Тема 9. Оценивание статической точности систем автоматического регулирования по задающему и возмущающему воздействиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98 Тема 10. Оценивание качества регулирования по переходным функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104 Тема 11. Исследование устойчивости систем автоматического регулирования с использованием алгебраических критериев устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . .
115 Тема 12. Исследование устойчивости и определение запасов устойчивости систем автоматического регулирования с использованием частотных критериев устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131 Тема 13. Исследование управляемости и наблюдаемости систем автоматического управления . . . .
146 Тема 14. Изучение синтеза систем автоматического управления с использованием корректирующих устройств . . . .
156
4 Тема 15. Изучение описания систем автоматического управления в переменных состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167 Тема 16. Определение передаточных функций дискретных систем автоматического управления . . . . . . . . .
174 Тема 17. Исследование робастности систем автоматического управления . . . . . . . . . . . . . . . .
191 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . 201 ПРИЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5 ВВЕДЕНИЕ Теория автоматического управления является отраслью науки, изучающей системы автоматического управления техническими объектами независимо от их физической природы (механическими, электромеханическими, тепловыми, химико-технологическими и т. п. Управление объектом производится управляющим устройством (регулятором) с целью оптимизации технологического процесса. Выполнение практических заданий по дисциплине Теория автоматического управления направлено на изучение свойств систем автоматического управления и их отдельных звеньев. В пособии содержатся 17 тем для проведения практических занятий по дисциплине Теория автоматического управления для студентов, изучающих эту дисциплину в рамках направления специальности
1-53 01 01-09 Автоматизация технологических процессов и производств (сельское хозяйство. Каждое занятие посвящено изучению одной темы в соответствии с программой дисциплины. Темы 1–4 относятся к первому модулю, темы 5–8 – ко второму, темы 9–15 – к третьему, темы 16 и 17 – к четвертому модулю. При подготовке к занятию вначале нужно изучить ответы на вопросы раздела Вопросы для подготовки к занятию (они, как правило, содержатся в разделе Краткие теоретические сведения. Необходимые сведения из высшей математики, требующиеся для усвоения материала, также приведены в разделе Краткие теоретические сведения и оформлены как примечания. Методы решения типовых задач по изучаемой теме – в разделе Примеры решения задач. Затем можно переходить к самостоятельному решению задач из соответствующего раздела. В пособии предлагаются как типовые задачи, таки задачи повышенной сложности (отмечены *). Для успешного освоения темы рекомендуется решить все предлагаемые задачи.
6 Тема 1. ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ Цель занятия изучить математическое описание основных типов линейных звеньев. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение звена направленного действия.
2. Перечислите виды типовых входных воздействий на объект управления.
3. Как называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие
4. Как называется реакция системы на импульсное входное воздействие Краткие теоретические сведения Звено направленного действия – звено, передающее сигнал только водном направлении, – со входа на выход. Таким образом, звено преобразует входной сигнал в выходной. Типовые входные воздействия Единичное ступенчатое входное воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рис. 1.1). Рис. 1.1. График единичного ступенчатого воздействия
7 Единичному ступенчатому воздействию соответствует функция
Хевисайда:
( )
0, при ) 1 1, при t
t
t
<
=
=
≥
(1.1) Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы (рис. имеющий бесконечно большую высоту и длительность, стремящуюся к нулю. Рис. 1.2. График импульсного воздействия Импульсное воздействие описывается функцией Дирака (дель- та-функцией):
( )
, при )
δ
0, при t
t
t
∞
=
=
=
≠
(причем
( )
δ
1
t Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы рис. 1.3), описываемый функцией
(
)
( )
sin ω
φ
x t
A
t
=
+
, (-
∞
<
t
<
∞
), (1.3) где А – амплитуда сигнала
ω
= 2
π
/ Т – круговая частота сигнала (Т – период сигнала
φ – фаза сигнала.
8 Рис. 1.3. График гармонического воздействия Переходная функция h(t) – реакция звена на единичное ступенчатое входное воздействие при нулевых начальных условиях. Импульсная переходная функция,или функция веса,или весовая функцией w(t) – реакция звена на импульсное входное воздействие при нулевых начальных условиях. Математическое описание (математическая модель) звенапо- казывает связь между выходными входным сигналами звена. В ТАУ звенья в основном описываются дифференциальными уравнениями (звено тогда называется динамическим. Если ДУ линейное (нелинейное, то звено называют линейным
(соответственно, нелинейным. В общем виде линейное дифференциальное уравнение, описывающее звено, можно записать следующим образом
1 0
1 1
1 1
0 1
1 1
1 0
1 1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ),
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
k
k
k
k
k
k
d y t
d
y t
dy t
a
a
a
a y t
dt
dt
dt
d x t
d
x t
dx t
b
b
b
b x t
dt
dt
dt
d f t
d
f t
df t
c
c
c
c f t
dt
dt
dt
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
+
+
+
+ +
+
(1.4) где y(t), x(t), f(t) – соответственно, выходная, входная величины звена и возмущающее воздействие
a
i
, b
i
, c
i
– постоянные коэффициенты
n – порядок уравнения (n
≥
m, n
≥
k). В ТАУ принято, что ДУ, описывающее звено, должно иметь следующий вид слева – выходная величина и ее производные, справа – входная величина и все остальные члены, причем выходная величина y(t) должна иметь коэффициент, равный единице. Чтобы привести уравнение (1.4) к такому виду, разделим левую и правую его части на a
n
9 Приведем математическое описание, формулы и графики, переходные и весовые функции трех основных типов линейных звеньев. Пропорциональное (усилительное, безынерционное) звено Пропорциональное звено описывается следующим уравнением
( )
( ).
y t
K x t
=
(1.5) Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный враз (выходной сигнал пропорционален входному. Параметр K называется коэффициентом передачи (усиления. Размерность K – отношение единиц измерения выходного сигнала к единицам измерения входного сигнала. Переходная функция пропорционального звена
0,
0,
( )
( )
1( )
,
0.
t
h t
Kx t
K
t
K
t
<
=
= ⋅
=
≥
(Рис. 1.4. График переходной функции пропорционального звена Импульсная переходная (весовая) функция
пропорционального звена
0,
0,
( )
( )
δ( )
,
0.
t
w t
Kx t
K t
t
≠
=
=
=
∞
=
(Рис. 1.5. График функции веса пропорционального звена
K
t
w
t
10 Апериодическое звено го порядка (инерционное звено Апериодическое звено го порядка описывается уравнением
( )
( )
( )
dy t
T
y t
Kx t
dt
+
=
,
(1.8) где K – коэффициент передачи (усиления, его размерность равна отношению единиц измерения выходного сигнала к единицам измерения входного сигнала
T – постоянная времени, с. Выходной сигнал зависит от времени по экспоненциальному закону, переходный процесс – монотонный. Переходная функция апериодического звена го порядка
/
( )
(1
)
t T
h t
K
e
−
=
−
. (Рис. 1.6. График переходной функции апериодического звена го порядка Импульсная переходная (весовая) функция
апериодического звена го порядка
/
( )
t T
K
w t
e
T
−
=
. (Рис. 1.7. График функции веса апериодического звена го порядка
K
T
t
0
w
h
1
t
0
K < 1
K > 1
11 Звено чистого запаздывания Звено чистого запаздывания описывается уравнением
( )
(
τ)
y t
x t
=
−
(1.11) Выходная величина точно повторяетизменения входной величины, нос некоторым отставанием повремени, называемым временем чистого запаздывания (τ, с. Переходная функция звена чистого запаздывания
( ) 1(
τ)
h t
t
=
−
. (Рис. 1.8. График переходной функции звена чистого запаздывания Импульсная переходная (весовая) функция звена
чистого запаздывания
( )
δ(
τ)
w t
t
=
−
. (Рис. 1.9. График функции веса звена чистого запаздывания
h
τ
t
0
w
τ
t
0
12 Примеры решения задач Пример Определить математическое описание и переходную функцию делителя напряжения (рис. 1.10). Рис. 1.10. Схема делителя напряжения
Решение.Входной и выходной сигналы звена – соответственно, входное U
1 и выходное U
2 напряжение R
1
и R
2
– заданные сопротивления резисторов. Выполняются следующие соотношения
1 1
2
( )
(
) ( ),
U t
R
R I t
=
+
2 2
( )
( ),
U t
R I t
=
⋅
2 2
1 1
2
( )
,
( )
U t
R
U t
R
R
=
+
2 2
1 1
2
( )
( ).
R
U t
U Обозначим K =
2 1
2
R
R
R
+
. Размерность мм =
(безразмерный коэффициент. Получаем ( )
( )
y t
K x t
=
– уравнение, описывающее связь входного и выходного сигналов делителя напряжения. Делитель напряжения является пропорциональным звеном. Коэффициент усиления K показывает величину отношения значения выходного сигнала к значению входного. Найдем переходную функцию делителя напряжения. Для этого в качестве входного сигнала возьмем единичное ступенчатое воздействие. Подставим сигнал в уравнение звена, получим переходную функцию
R
2
U
2
= y(t)
U
1
= x(t)
R
1
13 0,
0,
( )
( )
1( )
,
0.
t
h t
Kx t
K
t
K
t
<
=
= ⋅
= Ответ делитель напряжения описывается пропорциональным звеном, уравнение ( )
( )
y t
Kx t
=
, переходная функция ( )
1( )
h t
K
t
= Пример Определить математическое описание и переходную функцию термосопротивления Pt100 (рис. 1.11). Рис. 1.11. Схематичный процесс нагрева термосопротивления Pt100
Решение.Если датчик (термосопротивление Pt100) поместить в камеру с теплым воздухом, температура которого θ, будут изменяться температура θ
t
и сопротивление R
t
самого датчика от воздуха к датчику будет передаваться теплота Q. За время dt от воздуха датчику будет передано количество теплоты, Дж
(
)
θ где k – теплопроводность чувствительного элемента (ЧЭ) датчика, Дж. Эта теплота приведет к изменению температуры ЧЭ dθ
t
:
θ
t
dQ
cd
=
, где с – теплоемкость ЧЭ (зависит от его массы и удельной теплоемкости, Дж. Получим
(
)
θ θ
θ ;
t
t
k
dt
cd
−
=
14
θ
θ
θ.
t
t
d
c
k
dt
⋅
+ =
(1.14) Считаем, что сопротивление металла линейно зависит от температуры где
3 1
3,9 10
C
A
−
−
≈
⋅
°
(для Pt100). Выразим температуру θ
t
через R
t
:
0 1
θ ,
t
t
R
A
R
= +
0 1
θ ,
t
t
R
A
R
− =
0 1
1
θ ,
t
t
R
A R
A
⋅
− =
0 1
1
θ
t
t
R
R Подставим полученное выражение для θ
t
в уравнение (1.14), получим
0 0
1 1
1 1
θ
t
t
d
R
R A
A
c
R
k
dt
R A
A
−
⋅
+
− =
,
0 0
( )
1 1
1
( )
θ( )
t
t
dR t
c
R t
t
k R A
dt
R A
A
⋅
⋅
+
= +
,
0 0
( )
( )
θ( )
t
t
dR t
c
R t
R
R A Обозначим Т =
c
k
– постоянная времени, с, K =
0
R A
– коэффициент усиления, Ом/
°
С. Получим итоговое дифференциальное уравнение
( )
( )
( ).
dy t
T
y t
Kx Термосопротивление Pt100 является апериодическим звеном первого порядка.
15 Найдем переходную функцию термосопротивления Pt100. В качестве входного сигнала возьмем единичное ступенчатое воздействие. Подставим сигнал в уравнение звена, получим
( )
( )
1( )
dy t
T
y t
K
t
dt
+
= или
( )
( )
dy t
T
y t
K
dt
+
=
(1.15) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Переходная функция h(t) – решение этого уравнения при нулевых начальных условиях. Найдем переходную функцию h(t), для чего решим уравнение
(1.15). Решение будет иметь вид
y(t) = y
1
(t) + y
*
(t),
(1.16) где y
1
(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения
y
*
(t) – частное решение исходного неоднородного уравнения. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
1 1
( )
( )
0
dy t
T
y t
dt
+
=
(1.17) Проинтегрируем уравнение (1.13):
1 1
( )
1
( )
dy t
dt
y t
T
= −
,
1 1
( )
1
( )
dy t
dt
y t
T
= −
∫
∫
,
1 1
ln
( )
ln
y t
t
C
T
= Получим общее решение однородного уравнения (1.17):
/
1
( )
t T
y t
Ce
−
=
(1.18)
16 Частное решение исходного неоднородного уравнения (1.15) будем искать в том же виде, что и правая часть уравнения (1.18):
/
*
( )
( )
t T
y t
C t e
−
=
(1.19) Подставим в уравнение (1.15):
/
/
( ( )
)
( )
t T
t T
d C t e
T
C t e
K
dt
−
−
+
=
,
/
/
/
1
( )
( )
( )
t T
t T
t T
T C t e
T C t
e
C t e
K
T
−
−
−
′
+
−
+
=
,
/
( )
t T
T C t e
K
−
′
=
,
/
( )
t T
K
C t
e
T
′ =
,
/
/
/
( )
t T
t T
t T
K
t
C t
e dt
K e Тогда из уравнения (1.19) получим
/
/
/
*
( )
( )
t T
t T
t T
y t
C t e
Ke Общее решение исходного неоднородного уравнения (1.15) в форме уравнения (1.16) следующее
/
1
*
( )
( )
( )
t T
y t
y t
y Найдем частное решение уравнения (1.11), соответствующее начальному условию (0) 0
y
=
. Получим
0/
0 0
1
,
T
Ce
K
Ce
K
C
K
C
K
−
=
+ =
+ = ⋅ + = +откуда
C
K
= Окончательно получим переходную функцию апериодического звена го порядка
/
( )
,
t T
h t
Ke
K
−
= −
+
17
/
( )
(1
).
t T
h Ответ термосопротивление Pt100 описывается апериодическим звеном го порядка, уравнение
( )
( )
( ),
dy t
T
y t
Kx t
dt
+
=
переходная функция
/
( )
(1
).
t T
h Пример Определить математическое описание трубы с вентилятором (рис. 1.12). Рис. 1.12. Схема движения потока воздуха в трубе с вентилятором
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15
Решение.Температура потока воздуха на выходе из трубы точно равна температуре воздуха после вентилятора (у нагревателя, нос некоторым отставанием повремени (время запаздывания. Время запаздывания τ (с) зависит от расстояниями скорости движения потока воздуха v (мс Получим итоговое уравнение звена
( )
(
τ)
y t
x t
=
−
(1.20) Труба с вентилятором описывается звеном чистого запаздывания. Размерность
[ ]
м
τ
τ
м/с
с
=
– время чистого запаздывания. Найдем переходную функцию трубы с вентилятором. Входным сигналом является единичное ступенчатое воздействие ( ) 1( )
x Подставим его в уравнение звена (1.20), получим
v
18
( )
(
τ) 1(
τ)
h t
x t
t
=
− Ответ труба с вентилятором описывается звеном чистого запаздывания, уравнение ( )
(
τ)
y t
x t
=
−
, переходная функция ( ) 1(
τ)
h Пример Найти функцию веса w(t) апериодического звена го порядка по известной переходной функции
/
( )
(1
).
t T
h t
K
e
−
=
−
Решение.Воспользуемся соотношением ( )
( )
w t
h t
′
=
, получим
/
/
/
1
( )
( )
( (1
))
( (
)
)
t T
t T
t T
K
w t
h t
K
e
K
e
e
T
T
−
−
−
′
′
=
=
−
=
− −
=
,
/
( )
t T
K
w Ответ функция веса апериодического звена го порядка
/
( )
t T
K
w Пример Найти переходную функцию h(t) апериодического звена го порядка по известной функции веса
/
( )
t T
K
w t
e
T
−
=
Решение.Из соотношения ( )
( )
w t
h t
′
=
следует, что необходимо проинтегрировать заданную функцию веса, получим
/
/
/
( )
( )
(
/ )
,
t T
t T
t T
K
h t
w t dt
e
dt
K e
d
t T
Ke
C
T
−
−
−
=
=
= −
−
= где С – произвольная постоянная. Найдем значение Сиз начального условия (0) 0
h
=
:
0/
0,
T
Ke
C
−
−
+ =
0,
K
C
− + Окончательно получим
/
( )
(1
).
t T
h Ответ переходная функция апериодического звена го порядка Задания для самостоятельного решения Задание Определить математическое описание заданного объекта, записать вид звена и найти переходную функцию. Данные по вариантам приведены в табл. 1.1. Таблица 1.1 Исходные данные для задания 1.1 Вариант Объект Вариант Объект Вариант 1 Рычаг Вариант 6 Помещение с электронагревателем Вариант 2 Редуктор Вариант 7 Помещение с водонагревателем Вариант 3 Мостовая схема Вариант 8 Резервуар с водой Вариант 4 Потенциометр Вариант 9 Ленточный транспортер Вариант 5 Электрический фильтр Вариант 10 Трубопровод гидравлической системы Задание Найти функцию веса w(t) по известной переходной функции h(t) (варианты 1–10) либо переходную функцию h(t) по известной функции веса w(t) (варианты 11–20). Данные повари- антам приведены в табл. 1.2. Таблица 1.2 Исходные данные для задания 1.2 Вариант Функция Вариант Функция Вариант 1
h(t) = 5t Вариант 11
w(t) = 7t Вариант 2
h(t) = 10 Вариант 12
w(t) = 3 Вариант 3
h(t) = 15t Вариант 13
w(t) = 5t Вариант 4
h(t) = Вариант 14
w(t) = 18 Вариант 5
h(t) = 20 Вариант 15
w(t) = 7t + 3 Вариант 6
h(t) = 5t
2
+ 5t Вариант 16
w(t) = 6 Вариант 7
h(t) = 18 Вариант 17
w(t) = 15t Вариант 8
h(t) = t
2
+ 8t Вариант 18
w(t) = 2t + 5 Вариант 9
h(t) = 4t Вариант 19
w(t) = 5t + 2 Вариант 10
h(t) = t
2
+ 5t + 10 Вариант 20
w(t) = 8t + 13
20 Тема 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ Цель занятия:научиться определять передаточные функции линейных звеньев. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите формулу прямого преобразования Лапласа.
2. Приведите формулу обратного преобразования Лапласа.
3. Раскройте физический смысл преобразования Лапласа.
4. Сформулируйте основное свойство преобразования Лапласа.
5. Приведите определение передаточной функции. Краткие теоретические сведения Преобразование Лапласа L – преобразование функции x(t) переменной в функцию Х) комплексной переменной s, называемой оператор Лапласа»,по формуле
0
( ( ))
( )
( )
st
L x t
X s
x t e dt
∞
−
=
=
∫
. (2.1) Функция x(t), входящая в интеграл Лапласа (формула (2.1)), называется оригиналом,результат интегрирования – функция Х) –
изображениемфункции x(t) по Лапласу.
Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t и функцией комплексной переменной, где σ = Re s – абсцисса абсолютной сходимости
j – мнимая единица
ω
= Im s – угловая частота, имеющая размерность рад/с. Физический смысл преобразования Лапласа – переход от временного описания сигнала к частотному. Обратное преобразование Лапласа L
–1
позволяет по изображению найти оригинал. Общая формула обратного преобразования Лапласа
21
ω
1
ω
1
( ( ))
( )
( )
,
2π
c j
st
c j
L
X s
x t
X s e ds
j
+
−
−
=
=
∫
(2.2) где с – абсцисса сходимостифункции Х. Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями (табл. 2.1). Таблица 2.1 Преобразование Лапласа некоторых функций Оригинал x(t) Изображение X(s) Оригинал x(t) Изображение X(s) функция
1 1(t –α)
α
1
s
e
s
−
1 1
s
αt
e
−
1
α
s
+
t
2 1
s
αt
te
−
2 1
(
α)
s
+
2
t
3 2
s
α
n
t
t e
−
1 1
(
α)
n
s
+
+
n
t
1
!
n
n
s
+
α
α(1
)
t
e
−
−
1
(
α)
s Сведения из курса высшей математики В случае, когда оригинал имеет вид 2 e
α
t
(C cos(
ω
t) – D sin(
ω
t)), изображение будет иметь вид
ω
ω
C
jD
C
jD
s
a
j
s
a
j
+
−
+
− −
− +При нахождении изображений сложных функций удобно пользоваться свойствами преобразования Лапласа. Основные свойства приведены в табл. 2.2. Передаточная функция отношение изображения Лапласа выходной величины Y(s) к изображению Лапласа входного воздействия) при нулевых начальных условиях
22
( )
( )
( )
Y s
W s
X s
=
(2.3) Заметим, что при использовании таблиц для выполнения обратного преобразования Лапласа часто бывает необходимо выполнить разложение имеющейся дробина сумму простейших дробей, т. к. исходная дробь в таблице отсутствует. Таблица 2.2 Основные свойства преобразования Лапласа Оригинал x(t) Изображение X(s) Свойство
a∙x(t) + b∙g(t)
a∙X(s) + b∙G(s) Линейность
x(at) при
>
Подобие
x(t –
α
)
e
–
α
s
X(s) Запаздывание (теорема о смещении аргумента)
( )
dx t
dt
s
⋅
X(s) – x(0) Дифференцирование
0
( )
t
x t dt
∫
( )
X Интегрирование Сведения из курса высшей математики Разложение дробина сумму простейших дробей
Для выполнения прямого и обратного перехода с помощью данных табл. 2.1 часто бывает необходимо выполнять разложение полученного дробно-рационального выражения на сумму простейших дробей. Краткое пояснение пусть имеется правильная рациональная дробь от переменной x:
23
( )
( )
m
n
P x
Q x
,
(2.4) где Р) и Q
n
(x) – многочлены степеней m и n соответственно, m < n. В случае, когда степень числителя не меньше степени знаменателя, вначале следует выделить целую часть. Многочлен Q
n
(x) можно разложить на множители не выше второй степени
1 1
2 2
2 1
2 1
1 2
2
( )
(
) (
)
(
) (
)
,
i
i
n
n
n
n
n
Q x
x
x
x
x
x
p x
q
x
p x
q
+
= −
−
⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅
(2.5) где х, х, … – действительные корни многочлена Q
n
(x), дискриминанты трехчленов
2 1
1
x
p x
q
+
+
,
2 2
2
x
p x
q
+
+
, … меньше нуля, те. эти трехчлены (значит, и исходный многочлен) имеют пару комплексно сопряженных корней. Простыми дробями называют дроби следующих четырех типов
I.
,
A
x
a
−
II.
,
(
)
k
A
x
a
−
2,
k
≥
III.
2
,
Cx
D
x
px
q
+
+
+
2 4
0,
p
q
+
<
IV.
2
,
(
)
k
Cx
D
x
px
q
+
+
+
2 Задача разложения правильной дробина простейшие состоит в следующем некоторую правильную рациональную дробь необходимо представить в виде суммы простейших рациональных дробей
I, II, III и IV типов. Теорема 2.1. О разложении правильной рациональной дробина сумму простых дробей Каждая рациональная дробь (2.4), знаменатель которой имеет вид произведения (2.5), может быть разложена, ипритом единственным образом, на сумму простых дробей по правилу
24 1
2 1
2 1
1 1
1 2
2 1
1 2
2 1
1 1
1
( )
( )
(
)
(
)
...,
(
)
i
i
i
n
n
m
n
n
n
n
n
n
A
B
P x
A
B
Q x
x
x
x
x
x
x
x
x
C x
D
C x
D
x
p x
q
x
p x
q
=
+ +
+
+ +
+ +
−
−
−
−
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
(2.6) где
1 2
1 1
1 1
, ...,
,
, ...,
, ...,
,
, ...,
,
, ...
i
i
n
n
n
n
A
A B
B
C D
C
D
– действительные постоянные числа, часть которых в разложении может обратиться в нуль. Алгоритм разложения дробина простейшие. Прежде всего, необходимо убедиться, что многочлен, содержащийся в знаменателе правильной рациональной дроби, разложен на множители так, что данное разложение имеет вид произведения (2.5).
2. Каждому множителю вида
x a
−
, расположенному в знаменателе, соответствует дробь вида
A
x
a
−
3. Каждому множителю вида
1
(
) ,
n
x b
−
расположенному в знаменателе, соответствует сумма из дробей
1 1
1 2
2
(
)
(
)
n
n
B
B
B
x b
x b
x b
+
+ +
−
−
−
4. Каждому множителю вида
2
,
x
px
q
+
+
расположенному в знаменателе, соответствует дробь вида
2
Cx
D
x
px
q
+
+
+
5. Каждому множителю вида
2
(
) ,
i
n
x
ux v
+ +
расположенному в знаменателе, соответствует сумма из дробей
1 1
2 2
(
)
i
i
i
n
n
n
E x
F
E x
F
x
ux
v
x
ux
v
+
+
+ +
+ +
+ +Для завершения разложения рациональной дробина сумму простейших дробей необходимо найти значения чисел
1 2
1 1
1 1
,...,
,
,...,
,...,
,
,...,
,
,...
i
i
n
n
n
n
A
A B
B
C Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении
(2.6) используется метод неопределенных коэффициентов
25 1. Правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства, – Q
n
(x).
2. В числителе левой части получим некоторый многочлен R
m
(x) с неизвестными коэффициентами.
3. Используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, следует равенство числителей
P
m
(x) = R
m
(x).
(2.7)
4. Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому в выражении R
m
(x) раскрываем скобки, группируем слагаемые при одинаковых степенях переменной x и приравниваем полученные коэффициенты к соответствующим коэффициентам в P
m
(x) (при одинаковых степенях переменной x). В результате получаем систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов. Решая ее, находим искомые коэффициенты.
4.* Можно не раскрывать скобки, а находить неизвестные коэффициенты из уравнения (2.7), подставляя вместо переменной некоторые числа (как правило, корни знаменателя. Примеры решения задач Пример Дано дифференциальное уравнение, характеризующее динамику технологического объекта
2 2
( )
( )
( )
( )
6, 25 4
( )
9 ( ) 1, 2 5
d y t
dy t
dx t
du t
y t
x t
d Определить передаточную функцию объекта.
Решение.Обозначим через Y(s), X(s) и U(s) изображения сигналов) и u(t), соответственно, и применим к данному дифференциальному уравнению преобразование Лапласа.
2 2
( )
( )
( )
( )
6, 25 4
( )
9 ( ) 1, 2 5
,
d y t
dy t
dx t
du t
L
y t
L
x t
d применим первое свойство преобразования Лапласа
26
(
) (
)
2 2
( )
( )
( )
( )
6, 25 4
( )
9 ( )
1, 2 5
,
d y t
dy t
dx t
du t
L
L
L y t
L
x t
L
L
d по свойству линейности преобразования Лапласа )
( )
2 2
( )
( )
( )
( )
6, 25 4
9
( )
1, 2 5
,
d y t
dy t
dx t
du t
L
L
Y s
L x t
L
L
d применим основное свойство преобразования Лапласа (при нулевых начальных условиях
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 6, 25 4
9 1, 2 5
s Y s
sY s
Y s
X s
sX s
U Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки
( )
(
)
( )(
)
( )
2 6, 25 4
1 9 1, 2 5
Y s
s
s
X s
s
U s
+ + Разделив обе части уравнения на коэффициент при Y(s), получаем
( )
( )
( )
2 2
9 1, 2 5
6, 25 4
1 6, 25 4
1
s
Y s
X s
U s
s
s
s
s
−
=
−
+ +
+ +Если обозначить передаточные функции объекта, как
( )
2 9 1, 2 6, 25 4
1
x
s
W s
s
s
−
=
+ +
и
( )
2 5
,
6, 25 4
1
u
W s
s
s
=
+ +то получим уравнение
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
x
u
Y s
W s X s
W s U s
=
+ Структурная схема объекта приведена на рисунке. Рис. Структурная схема объекта (к примеру 2.1) Ответ
( )
2 9 1, 2
,
6, 25 4
1
x
s
W s
s
s
−
=
+ +
( )
2 5
6, 25 4
1
u
W s
s
s
=
+ +
W
x
(s)
W
u
(s)
27 Пример Дана передаточная функция объекта управления
3 2
7 5,5
( )
(
0,5)(3 2)
s
W Определить дифференциальное уравнение, описывающее объект.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15
Решение.Для записи дифференциального уравнения необходимо учесть, что по определению
( )
( )
,
( )
Y s
W s
X s
=
откуда получим
3 2
7 5,5
( )
( )
;
(
0,5)(3 2)
( )
s
Y s
W s
s
s
X по правилу преобразования пропорции получаем
Y(s) (s – 0,5)(3s
2
+ 2) = X(s) (7s
3
+ 5,5), раскроем скобки
Y(s) (3s
3
+ 2s – 1,5s
2
– 1) = X(s) (7s
3
+ 5,5),
3s
3
Y(s) + 2s Y(s) – 1,5s
2
Y(s) – Y(s) = 7s
3
X(s) +
5,5 X(s). Применим обратное преобразование Лапласа
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
(
)
1 3
2 1
3 3
2 1,5 7
5,5
L
s Y s
sY s
s Y s
Y s
L
s X s
X по первому свойству преобразования Лапласа
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1 3
1 1
2 1
1 3
1 3
2 1,5 7
5,5
,
L
s Y s
L
sY s
L
s Y s
L
Y s
L
s X s
L
X s
−
−
−
−
−
−
+
+
−
+
−
=
=
+
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1 3
1 1
2 1
1 3
1 3
2 1,5 7
5,5
L
s Y s
L
sY s
L
s Y s
L
Y s
L
s X s
L
X Применим основное свойство преобразования Лапласа (при нулевых начальных условиях, считая Y(s) и X(s) изображениями сигналов) и x(t) соответственно
3 2
3 3
2 3
( )
( )
( )
( )
3 2
1,5
( )
7 5,5 ( ).
d y t
dy t
d y t
d x t
y t
x t
dt
dt
dt
dt
+
−
−
=
+
28 Ответ
3 2
3 3
2 3
( )
( )
( )
( )
3 2
1,5
( )
7 5,5 ( ).
d y t
dy t
d y t
d x t
y t
x Пример Случай обратного преобразования Лапласа при наличии комплексных корней. Изображение выходного сигнала Y(s) имеет вид
3 2
5,75
( )
(1,8 5, 22 4,3 6,75)
Y Найти оригинал y(t).
Решение.Оригинал данной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Найдем корни знаменателя, для чего решим уравнение
3 2
(1,8 5, 22 4,3 Получили, что корни знаменателя включают нулевой корень, действительный, и пару комплексных корней
s
0
= 0;
s
1
= – 2,54;
s
2,3
= – 0,18
±
j·1,20. Представим исходную дробь в виде суммы простейших дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде
(
2,54)(
0,18 1, 20)(
0,18 1, 20).
s s
s
j
s
j
+
+
+ ⋅
+
− Изображение Y(s) разбивается на сумму четырех дробей
0 1
2 3
0 1
2,3 1
2 3
( )
( )
( )
( )
M
M
M
M
Y s
Y s
Y Тогда оригинал y(t), согласно данным табл. 2.1, 2.2 и примечанию, имеет виде) – D sin(
ω
t)), где
α
и
ω
– действительная и мнимая части пары комплексных корней s
2,3
;
C и D – действительная и мнимая части пары коэффициентов Ми М
29 Для корня s
0
= 0:
0 3
2 1
0
(0)
5, 75 5,75 0,85,
(0)
1,8 5, 22 4,3 6, 75 6,75
s
B
M
A
s
s
s
=
=
=
=
=
+
+
+
0 0
0,85
( )
,
M
Y s
s
s
=
=
y
0
(t) = M
0
= 0,85. Для корня s
1
= –2,54:
1 1
1 4
3 2
( )
5, 75
( )
(1,8 5, 22 4,3 6,75 ) '
s s
s s
B s
M
A s
s
s
s
s
=
=
=
=
=
′
+
+
+
1 3
2 5, 75 0,18,
7, 2 15, 66 8, 6 6, 75
s s
s
s
s
=
=
= −
+
+
+
1 1
1 0,18
( )
,
2,54
M
Y s
s
s
s
−
=
=
−
+
y
1
(t) =
1 2 ,54 1
0,18
s t
t
M
e
e
−
⋅
= Для корней s
2,3
= –0,18
±
j·1,20:
2 2
2 4
3 2
( )
5, 75
( )
(1,8 5, 22 4,3 6, 75 ) '
s s
s s
B s
M
A s
s
s
s
s
=
=
=
=
=
′
+
+
+
2 3
2 5,75 0,34 0, 24,
7, 2 15, 66 8,6 6, 75
s s
j
s
s
s
=
=
= −
+ ⋅
+
+
+
2 3
2,3 2
3 0,34 0, 24 0,34 0, 24
( )
,
0,18 1, 20 0,18 1, 20
M
M
j
j
Y
s
s
s
s
s
s
j
s
j
−
+ ⋅
−
− ⋅
=
+
=
+
−
−
+
− ⋅
+
+ ⋅
y
2,3
(t) =2 е
(–0,34 cos(1,20 t) – 0,24 sin(1,20 t)). В итоге получаем оригинале е t
(0,34 cos(1,20 t) + 0,24 sin(1,20 t)). Ответе е t
(0,34 cos(1,20 t) +
+ 0,24 sin(1,20 t)).
30 Задание для самостоятельного решения Задание Требуется а) по заданному дифференциальному уравнению определить передаточные функции б изобразить структурную схему объекта в) по заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение. Данные по вариантам приведены в табл. 2.3. Таблица 2.3 Исходные данные для задания Вариант Дифференциальное уравнение Передаточная функция Вариант 1 2
2
( )
( )
6 5
( )
( )
2 ( )
d y t
dy t
y t
d t
dt
du t
x t
dt
+
+
=
=
+
2 3
5
( )
(
2)(
3)
s
W Вариант 2 3
2 3
2
( )
( )
( )
( )
( )
2
d y t
d y t
dy t
y t
dt
dt
dt
du t
dt
+
+
+
=
=
2 2
1
( )
3 12
s
W s
s
s
+
=
+ Вариант 3 2
2
( )
( )
6 3
2 ( )
( )
3 ( )
d y t
dy t
y t
dt
dt
du t
f t
dt
+
+
=
=
−
10
( )
(
2)(
5)
s
W Вариант 4 2
2
( )
( )
5 3
0,5 ( )
( )
( )
2 4 ( )
d y t
dy t
y t
dt
dt
du t
df t
u t
dt
dt
+
+
=
=
+
+
3 4
( )
3 1
s
W s
s
s
=
+ Вариант 5 2
2
( )
( )
( )
3 2 ( )
( )
3
( )
dy t
d y t
y t
u t
dt
dt
df t
f t
dt
+
+
=
+
+
+
2 1
( )
(
3)(
2)(
0, 5)
s
W s
s
s
s
+
=
−
+
+
31 Продолжение таблицы 2.3 Вариант Дифференциальное уравнение Передаточная функция Вариант 6 3
3
( )
( )
2
( )
( )
0
d y t
dy t
x t
dt
dt
df t
dt
+
−
+
+
=
2 3
8
( )
5
s
W Вариант 7 2
2
( )
( )
4
( )
( )
6
( )
d y t
dy t
y t
dt
dt
du t
u t
dt
+
+
=
=
+
2 5
( )
2 3
16
W s
s
s
=
+ +Вариант 8 2
2 2
2
( )
( )
( )
( )
( )
3 ( )
dx t
d y t
dy t
y t
dt
dt
dt
d f t
x t
dt
−
+
+
=
=
+
2 3
4
( )
(
1)(
2)
s
W Вариант 9 3
2 3
2
( )
( )
1, 25 4
( )
( )
5 3 ( )
0
d y t
d y t
dt
dt
dy t
df t
f t
dt
dt
−
+
+
+
−
=
2 2
5
( )
(
1)(
3)
s
W Вариант 10 2
3 2
3
( )
( )
( )
3 4
( )
3 2 ( )
( )
dy t
d y t
d y t
dt
dt
dt
df t
f t
x t
dt
+
+
=
=
−
+
3 1
( )
(
11)(
7)
s
W Вариант 11 3
2 3
2 2
2
( )
( )
( )
2 2
( )
( )
2
d y t
d y t
dy t
dt
dt
dt
d u t
u t
dt
−
+
−
−
=
2 4
( )
(
1)(
12)
s
W s
s
s
−
=
−
+
32 Продолжение таблицы 2.3 Вариант Дифференциальное уравнение Передаточная функция Вариант 12 2
2
( )
( )
( )
3 ( )
( )
2 ( )
d y t
dx t
y t
x t
dt
dt
du t
f t
dt
+
=
+
+
+
−
2 1
( )
(
2)(
3)
s
W Вариант 13
( )
2
( )
4 ( )
( )
2 ( ) 0,1
dy t
y t
u t
dt
dx t
f t
dt
+
= −
+
+
−
2 3
5
( )
(
2)(
3)
s
W Вариант 14 2
2
( )
( )
( )
2 2
( )
4 ( )
0
dy t
d y t
dx t
dt
dt
dt
x t
y t
−
+
−
−
−
+
=
2 3
( )
2 5
s
W Вариант 15 3
3
( )
( )
2
( )
( )
0
d y t
dy t
x t
dt
dt
df Вариант 16 2
2
( )
( )
4
( )
( )
6
( )
d y t
dy t
y t
dt
dt
du t
u t
dt
+
+
=
=
+
2 5
( )
3(
2)
s
W Вариант 17 2
2 2
2 2
2
( )
( )
( ) 2
( )
( )
3 ( )
d x t
d y t
y t
dt
dt
dy t
d f t
x t
dt
dt
−
+
+
+
=
+
2 2
3
( )
(
1)(
5)
s
W s
s
s
=
−
+
33 Окончание таблицы 2.3 Вариант Дифференциальное уравнение Передаточная функция Вариант 18 2
2
( )
( )
10 ( ) 2 4
( )
3 ( )
4 5 ( )
d y t
dy t
y t
dt
dt
df t
x t
u t
dt
+
+
−
−
=
+
2 1
( )
(
1)(
3 )
s
W Вариант 19 2
2
( )
( )
4 12 ( ) 2
( )
( )
d y t
dx t
y t
dt
dt
x t
f t
+
−
+
+
=
2 3
5
( )
(
2)(
3)
s
W Вариант 20 3
2 3
2 2
2
( )
( )
( )
2 2
( )
( )
2
d y t
d y t
dy t
dt
dt
dt
d u t
u t
dt
−
+
−
−
=
7 2
5
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
W
34 Тема 3. ИЗУЧЕНИЕ ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ В ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ Цель занятия:изучить описание линейных звеньев в переменных состояния. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение переменных состояния.
2. Запишите общий вид уравнения звена в переменных состояния.
3. Как называются матрицы А, В, Св уравнении звена в переменных состояния
4. Приведите формулы перехода от передаточной функции звена к уравнению в переменных состояния и обратно. Краткие теоретические сведения Переменные состояния Звено в общем виде представляется черным ящиком с m входами и r выходами, с каждым их которых связана соответствующая переменная (рис. 3.1). Рис. 3.1. Схема звена в виде черного ящика Переменные, характеризующие систему, можно разделить натри множества
1) входные переменные, характеризующие управляющие воздействия на вход системы, представим в виде вектора
u(t) = (u
1
(t), u
2
(t), …, Т
2) переменные состояния – внутренние (промежуточные) переменные, совокупность которых полностью характеризует свойства системы, представим в виде вектора
35
x(t) = (x
1
(t), x
2
(t), …, Т
3) выходные переменные представим в виде вектора
y(t) = (y
1
(t), y
2
(t), …, y
r
(t))
Т
Переменные состояния – абстрактные математические характеристики, физическая природа которых несущественна. Уравнения звена в пространстве состояний В пространстве состояний непрерывные линейные детерминированные системы в каждый момент времени t можно описать при помощи следующих матричных уравнений
1) уравнение состояния
( )
( )
( )
d t
A
t
B
t
dt
=
+
x
x
u
;
(3.1)
2) выходное уравнение, связывающее входи выход звена
( )
( )
( )
t
C
t
D
t
=
+
y
x
u
, (3.2) где матрицы коэффициентов
11 12 1
21 22 2
1 2
,
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
=
11 12 1
21 22 2
1 2
,
m
m
n
n
nm
b
b
b
b
b
b
B
b
b
b
=
11 12 1
21 22 2
1 2
,
n
n
r
r
rn
c
c
c
c
c
c
C
c
c
c
=
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
r
r
rm
d
d
d
d
d
d
D
d
d
d
=
,
A – матрица динамики системы
B – распределительная матрица – выходная матрица (матрица наблюдений – матрица «вход-выход». Уравнения состояния можно также записать в виде системы дифференциальных уравнений го порядка
36 1
11 1 12 2 1
11 1 12 2
1 2
21 1 22 2 2
21 1 22 2 2
1 1 2
2 1 1 2
2
;
;
n
n
m
m
n
n
m
m
n
n
n
nn
n
n
n
nm
m
dx
a x
a x
a x
b u
b u
b u
dt
dx
a x
a x
a x
b u
b u
b u
dt
dx
a x
a x
a x
b u
b u
b u
dt
=
+
+ +
+
+
+ +
=
+
+ +
+
+
+ +
=
+
+ +
+
+
+ +
• Если элементы матриц зависят от времени, то система называется линейной нестационарной.
• Если элементы матриц выражаются постоянными числами, то система называется линейной стационарной. Составление передаточной функции по уравнениям состояния Пусть дана модель в пространстве состояний
( )
( )
( ),
( )
( )
( ).
d t
A t
B t
dt
Y t
C t
D Преобразуем левые и правые части каждого уравнения по Лапласу
( )
( )
( );
( )
( )
( ).
s s
A s
B
s
Y s
C
s
D
s
=
+
=
+
x
x
u
x
u
(3.3) Преобразуем первое уравнение (3.3) (Е – единичная матрица
(
) ( )
( Получим выражение для
x
(s):
1
( )
(
)
( Подставим его во второе уравнение (3.3):
1 1
( )
(
)
( )
( )
( (
)
) ( ).
Y s
C sE
A
B
s
D
s
C Чтобы определить передаточную функцию, найдем отношение изображений выхода и входа
1
( )
( )
(
)
( )
Y s
W s
C sE
A
B
D
U s
−
=
=
−
+
(3.4)
37 Сведения из курса высшей математики
Если квадратная матрица второго порядка (2×2) имеет вид
,
a
b
M
c
d
= то обратную матрицу можно записать следующим образом
1
d
c
M
b
a
−
−
= Составление уравнений состояния по известной передаточной функции Пусть дана передаточная функция вида
1 0
1 1
1 0
1 1
( )
( )
( )
m
m
m
m
n
n
n
n
Y s
b s
b s
b
s
b
W s
d
U s
a s
a s
a s
a
−
−
−
−
+
+ +
+
=
= +
+
+ +Преобразуем ее следующим образом
1 1
0 1
1 0
1 1
( )
( )
( )
( );
m
m
n
n
m
m
n
n
Y s
dU s
U s
X s
b s
b s
b
s
b
a s
a s
a s
a
−
−
−
−
−
=
=
+
+ +
+
+
+ +
+
1 0
1 1
1 0
1 1
( )
( )
(
) ( ),
( )
(
) ( ).
m
m
m
m
n
n
n
n
Y s
dU s
b s
b s
b
s
b
X s
U s
a s
a s
a s
a X s
−
−
−
−
−
=
+
+ +
+
=
+
+ +
+
1 0
1 1
1 0
1 1
( )
( )
( ) ...
( )
( )
( ),
( )
( )
( ) ...
( )
( ).
m
m
m
m
n
n
n
n
Y s
b s X s
b s
X s
b
sX s
b X s
dU s
U s
a s X s
a s
X s
a sX s
a X s
−
−
−
−
=
+
+ +
+
+
=
+
+ +
+
(3.5) Применив обратное преобразование Лапласа ко второму уравнению (3.5), получим
1 0
1 1
1
( )
( )
( )
( )
( );
n
n
n
n
n
n
d x t
d
x t
dx t
u t
a
a
a
a x t
dt
dt
dt
−
−
−
=
+
+ +
+
1 1
1 1
0 0
0 0
( )
( )
( )
1
( )
( ).
n
n
n
n
n
n
d x t
a
d
x t
a
dx t
a
x t
u t
dt
a
dt
a
dt
a
a
−
−
−
= − ⋅
− Введем х = хи далее
38 1
2 2
2 3
2 1
1 1
1 1
1 1
0 0
0 0
( )
( )
( );
( )
( )
( );
( )
( )
( );
( )
( )
( )
1
( )
( ).
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
dx t
dx t
x t
dt
dt
dx t
d x t
x t
dt
dt
dx
t
d
x t
x t
dt
dt
d x t
a
d
x t
a
dx t
a
x t
u t
dt
a
dt
a
dt
a
a
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
= − ⋅
− Получаем уравнения состояния
1 1
1 1
1 2
1 0
0 0
0 0
( )
0 1
0 0
0
( )
0 0
1 0
( ).
0
( )
( )
0 0
1 1
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
dx t
dt
x t
u t
dx
t
x
t
dt
x t
a
a
a
a
dx t
a
a
a
a
a
dt
−
−
−
−
=
+
−
−
−
−
Получили
( )
( )
( ),
d t
A t
B где матрицы имеют следующий вид
1 2
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
0
,
0 0
1
n
n
n
A
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
=
−
−
−
−
0 0
0 1
B
a
=
(3.6) Для выходного уравнения из первого уравнения (3.5) получаем
39
(
)
1 1
0 1
( )
( )
0 0
( ).
( )
( )
m
m
n
n
x t
y t
b
b
b
du t
x
t
x Таким образом, получили выходное уравнение вида
( )
( )
( ),
t
C t
D где матрицы имеют следующий вид
(
)
1 0
0 0 ,
m
m
C
b
b
b
−
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
D
d
=
(3.7) Каждой передаточной функции соответствует бесчисленное множество моделей в пространстве состояний. Если передаточная функциянеправильная(степень числителя больше степени знаменателя, то такую модель нельзя представить в пространстве состояний. Примеры решения задач Пример Составить уравнения цепи (рис. 3.2) в пространстве состояний. Рис. 3.2. Схема цепи
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15
Решение.Источник тока i – это входное воздействие u(t). Напряжение на резисторе u
R
– это выходная величина у. Состояние звена можно полностью охарактеризовать двумя переменными
x
1
(t) = u
C
– напряжение на конденсаторе Сток в катушке индуктивности L.
40 Общая энергия Ев цепи зависит именно от этих переменных
2 поэтому они несут информацию о состоянии системы в текущий момент времени t (число переменных состояния равно числу независимых элементов системы, накапливающих энергию. Используя законы Кирхгофа, можно записать
,
;
C
L
L
R
C
i
i
i
u
u
u
+ =
+ =
R
L
u
Ri
=
,
;
C
L
L
R
C
du
C
i
i
dt
di
L
u
u
dt
+ =
+
=
1 1
,
1
C
L
L
C
L
du
i
i
dt
C
C
di
R
u
i
dt
L
L
= Перейдя к обозначениям переменных x
1
(t), x
2
(t), u(t), y(t), получим
1 2
2 1
2
( )
1 1
( )
( ),
( )
1
( )
( ).
dx t
x t
u t
dt
C
C
dx t
R
x t
x t
dt
L
L
= Отсюда сразу получаем уравнения в переменных состояния в матричной форме
– уравнение состояния
1 1
2 2
( )
( )
0 1 /
1/
( ),
( )
( )
1/
/
0
dx t
x t
C
C
dt
u t
x t
dx t
L
R L
dt
−
=
+
−
– выходное уравнение
41
(
)
1 2
( )
( )
0 0 ( ).
( )
x t
y t
R
u t
x Можем также записать
(
)
0 1 /
1 /
( )
( )
( ),
1 /
/
0
( )
0
( ).
C
C
d t
t
u t
L
R Полученная модель – стационарная, тку всех матриц коэффициенты не зависят от времени. Если для некоторой цепи имеем R = 3, L = 1 и Сто уравнение этой цепи в переменных состояния имеет вид
(
)
0 2
2
( )
( )
( ),
1 3
0
( )
0 3
( ).
d t
t
u t
dt
t
t
−
=
+
−
Заметим. что с помощью полученной модели, изменяя матрицы Си, можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Можно выбрать другой набор переменных состояния, например
*
1
( )
C
x t
u
=
и
*
2
( )
;
L
x t
u
=
*
1 1
*
2 1
2
( )
( ),
( )
( )
( ).
C
L
C
L
x t
u
x t
x t
u
u
Ri
x t
Rx Таким образом, в реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций переменных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовательно, описывают ее динамику. Это дает возможность более широкого выбора переменных состояния. Ответ
1 1
2 2
( )
( )
0 1 /
1 /
( ),
( )
( )
1 /
/
0
dx t
x t
C
C
dt
u t
x t
dx t
L
R L
dt
−
=
+
−
42
(
)
1 2
( )
( )
0 0 ( ).
( )
x t
y t
R
u t
x Пример 3.2. Дан объект со следующей моделью в пространстве состояний
(
)
3 4
1
,
,
1 0, 25 ,
0.
0,5 0
0
A
B
C
D
−
=
=
=
=
Найти его передаточную функцию.
Решение.Воспользуемся формулой (3.4), получим
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 2
2 2
0 3
4 1
( )
(
)
1 0, 25 0
0 0,5 0
0 3
4 1
0,5 1
1 1 0, 25 1 0, 25 0,5 0
4 3
0
(
3)
4( 0,5)
1 0, 25 4 1
1 0, 25 4
3 2
3 2
3 2
s
W s
C Es
A
B
D
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
−
−
−
−
=
−
+ =
−
+ =
−
=
=
=
−
−
−
−
− −
−
⋅
−
=
=
=
−
− +
− +
− +
Заметим, что полученную передаточную функцию можно сократить на s – 1. Получим
1
( )
2
W Для этой передаточной функции матрицы пространства состояний имеют вид Вместо исходной модели второго порядка получили модель первого порядка. Оказалось, что при нулевых начальных условияхсостоя- ние объекта определяется одной переменной, а зависимость между входом и выходом звена – одним уравнением первого порядка. Ответ
1
( )
2
W Пример Определить матричную передаточную функцию объекта, описываемого следующими дифференциальными уравнениями
43 1
1 1
1 1
2 2
2 2
1 2
2 5
6 3
4 8 ,
2 2 .
y
y
y
u
u
u
u
y
y
u
u
u
+
+
= +
+
+
+ = + +
&&
&
&&
&
&
&
&
&
Решение.Применим преобразование Лапласа
2 2
1 1
2 2
1 2
(
5 6) ( )
(
3 )
( ) (4 8)
( ),
(
1)
( )
( )
2(
1)
( ),
s
s
Y s
s
s U s
s
U
s
s
Y s
sU s
s
U
s
+ +или
1 1
2 2
1 2
4
( )
( )
( ),
2 3
( )
( )
2
( ).
1
s
Y s
U s
U
s
s
s
s
Y s
U s
U Тогда матричная передаточная функция будет иметь вид
11 12 21 22 4
( )
( )
2 3
( )
( )
( )
2 1
s
W
s
W
s
s
s
W s
W
s
W
s
s
s
+
+
=
=
Ответ
4 2
3
( )
2 1
s
s
s
W s
s
s
+
+
= Пример Определить матричную передаточную функцию объекта, если известны матрицы А, В и С
1 2
,
3 5
A
−
=
−
−
0 1
,
2 0
B
=
1 0
0 1
C
=
Решение.Исходя из заданных матриц, запишем дифференциальные уравнения состояния объекта
1 1
2 2
2 1
2 1
1 1
2 2
2
,
3 5
2 ,
,
x
x
x
u
x
x
x
u
y
x
y
x
= − +
+
= − − +
=
=
&
&
44 Применим преобразование Лапласа
1 1
2 2
2 1
2 1
1 1
2 2
( )
( )
2
( )
( ),
( )
3
( ) 5
( ) 2
( ),
( )
( ),
( )
( ).
sX s
X s
X
s
U
s
sX
s
X s
X
s
U s
Y s
X s
Y s
X
s
= −
+
+
= Из первого уравнения системы выразим Х
(s):
2 2
1 2
( )
( )
( )
1
X
s
U
s
X s
s
+
=
+
. (3.8) Из второго уравнения системы выразим Х
(s):
1 1
2 3
( )
2
( )
( )
5
X s
U s
X
s
s
−
+
=
+
(3.9) Для того, чтобы выразить Х
(s) через U
1
(s) и
(s), подставим выражение (3.9) в выражение (3.8), получим
1 2
1 2
4
( )
( )(
5)
( )
6 11
U s
U
s s
X s
s
s
+
+
=
+ +Таким же образом подставляем выражение (3.8) в выражение
(3.9) и получаем X
2
(s) через U
1
(s) и U
2
(s):
2 1
2 2
2
( )(2 12 10)
( )( 3 15)
( )
(
6 11)(
5)
U s
s
s
U
s
s
X s
s
s
s
+
+
+
− Так как Y
1
(s) = X
1 и Y
2
(s)
= X
2 получим систему уравнений, в которой при переменных управления находятся искомые матрицы
1 1
2 2
2 2
1 2
2 2
4 5
( )
( )
( ),
6 11 6
11 2(
1)
3
( )
( )
( ).
6 11 6
11
s
Y s
U s
U
s
s
s
s
s
s
Y s
U s
U
s
s
s
s
s
+
=
+
+ +
+ +
+
−
=
+
+ +
+ +Матричная передаточная функция имеет вид
45 2
2 2
2 4
5 6
11 6
11 2(
1)
3 6
11 6
11
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
+
+ +
+ +
+
−
+ +
+ +Ответ
2 2
2 2
4 5
6 11 6
11
( )
2(
1)
3 6
11 6
11
s
s
s
s
s
W s
s
s
s
s
s
+
+ +
+ +
=
+
−
+ +
+ +Задания для самостоятельного решения Задание Выполнить задание примера 3.3. Данные повари- антам приведены в табл. 3.1. Задание Выполнить задание примера 3.4. Данные повари- антам приведены в табл. 3.2. Задание 3.3.* Составить уравнения в пространстве состояний для объекта управления, рассмотренного при выполнении задания 1.1 при выполнении задания воспользоваться решением примера 3.1). Таблица 3.1 Исходные данные для задания 3.1 Вариант Дифференциальные уравнения Вариант Дифференциальные уравнения Вариант 1 1
1 1
1 1
1 2
2 2
1 2
2 2
2 4
4 ,
5 5 .
y
y
y
y
u
u
u
u
y
u
u
u
+ + + =
= + + +
= + +
&&& && Вариант 6 1
1 1
2 2
1 1
2 8
4 ,
3 6 .
y
u
u
u
y
u
u
u
= +
+
= + +Вариант 2 1
1 1
1 2
2 2
2 1
1 2
2 3
6 3 ,
y
y
u
u
u
u
y
y
u
u
u
+
=
+
+ + +
+ = + +
&
&
&
&&& && && & Вариант 7 1
1 1
1 1
1 2
2 2
1 2
2 2
8 2
8 6
24 2
2 ,
3
y
y
y
y
u
u
u
u
y
u
u
u
+
+
+
+ = +
+
+ +
=
+ +Вариант 3 1
1 2
2 2
1 1
1 1
2 3
4 ,
10 10 8
80
y
u
u
y
y
u
u
u
u
u
=
+
+
= +Вариант 8 1
1 1
1 2
2 2
1 2
2 2
6 12
,
2 3 .
y
y
u
u
u
y
y
u
u
u
+
=
+
+
+
+ = +
+ +
&
&
&
&
&
46 Окончание таблицы 3.1 Вариант Дифференциальные уравнения Вариант Дифференциальные уравнения Вариант 4 1
1 1
2 2
2 1
1 2
2 3
3 8
24 ,
6 2 .
y
y
u
u
u
y
u
u
u
u
+
=
+
+ +
= + +
+ +Вариант 9 1
1 1
1 1
2 2
2 2
1 2
2 7
12 4
3 ,
5 5 .
y
y
y
u
u
u
u
y
y
u
u
u
+
+
=
= + + +
+ = +
+ +Вариант 5 1
1 1
1 2
2 2
1 2
2 2
7 7
,
3 7
12 .
y
y
u
u
u
y
y
u
u
u
u
+ =
+
+ +
+ = + +
+
+
&
&
&
& Вариант 10 1
1 1
1 2
2 2
1 2
2 3
5 15
,
3 7
21 .
y
y
u
u
u
y
y
u
u
u
+
=
+
+
+
+ = +Таблица 3.2 Исходные данные для задания 3.2 Вариант Матрицы коэффициентов Вариант Матрицы коэффициентов Вариант 1 3
3
,
2 4
0 1
1 0
,
3 0
0 1
A
B
C
−
= Вариант 6 2
8
,
1 4 0
1 2
1
,
3 0
0 2
A
B
C
−
= Вариант 2 1 5
,
5 1 0
1 10 0
,
6 0
0 1
A
B
C
−
= Вариант 7 3
4
,
4 5
0 5
1 0
,
6 0
1 1
A
B
C
= Вариант 3 1
2
,
2 3
0 8 1
0
,
1 0
0 1
A
B
C
−
= Вариант 8 5
7
,
8 4
0 3
2 0
,
7 0
0 1
A
B
C
−
=
−
=
=
47 Окончание таблицы 3.2 Вариант Матрицы коэффициентов Вариант Матрицы коэффициентов Вариант 4 4
2
,
8 3
0 1
1 0
,
1 0
0 1
A
B
C
−
= Вариант 9 9
8
,
3 3 0
1 1 1
,
3 0
0 1
A
B
C
= Вариант 5 5 10
,
6 3
0 5
1 1
,
1 0
0 2
A
B
C
−
= Вариант 10 9 8
,
5 1 0
5 1
0
,
1 0
0 2
A
B
C
−
=
−
=
=
48 Тема 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ Цель занятия:научиться проводить линеаризацию характеристик линейных звеньев. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение статической характеристики.
2. Приведите определение частотной передаточной функции.
3. Приведите определение АЧХ.
4. Приведите определение ФЧХ.
5. Приведите определение АФЧХ.
6. Как называется график АФЧХ?
7. Приведите определение линеаризации. Краткие теоретические сведения Линеаризация Линеаризация – замена исходного нелинейного уравнения приближенным линейным. Пусть исходное уравнение имеет вид
( , )
dy
f x y
dt
=
(4.1) Линеаризацию проводят в окрестности рабочей точки (х, y
0
). Линеаризованное уравнение записывают в малых отклонениях Δ от рабочей точки
0 0
,
y
y
y
x
x
x
∆ = −
∆ = −
(4.2) Целью линеаризации является получение линейного уравнения
1 2
d y
k x k
y
dt
∆ = ∆ + ∆
(4.3) Обычно Δ не указывают, понимая, что уравнение записано вот- клонениях:
49 1
2
dy
k x k y
dt
=
+
(4.4) Коэффициентами при переменных в линеаризованном уравнении являются значения производных исходной функции по этим переменным в рабочей точке. Таким образом, чтобы найти коэффициент k
1
, нужно продифференцировать функцию f(x, y) попеременной хи в полученное выражение подставить значениях и y
0
:
1 0
0
( ,
).
x
k
f x y
′
=
(4.5) Аналогично, чтобы найти коэффициент k
2
, нужно продифференцировать функцию f(x, y) попеременной у, ив полученное выражение подставить значениях и y
0
:
2 0
0
( ,
).
y
k
f x y
′
=
(4.6) Статическая характеристика Статическая характеристика звена (системы) – зависимость между постоянным входным воздействием и постоянной выходной величиной звена (системы) в установившемся режиме (после окончания переходного процесса
y = f(x).
(4.7) Линеаризованная статическая характеристика имеет вид
,
y
k x
∆ = ∆
(4.8) где коэффициент k находится путем подстановки значениях в производную ( ) :
f x
′
0
(
).
k
f x
′
=
(4.9) При этом Δ также можно не указывать, понимая, что уравнение записано в отклонениях. Частотные характеристики Реакцию звена при гармоническом входном воздействии описывают частотные характеристики звена.
50 Наиболее часто используют следующие частотные характеристики амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
– фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
– амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ). Пусть на вход звена в момент времени t = 0 подано гармоническое воздействие вида sin ω ,
x
x
A
t
=
(4.10) где А – амплитуда
ω – угловая частота этого воздействия. По окончании переходного процесса на выходе звена будут существовать гармонические колебания стой же частотой, что и входные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе, те. в установившемся режиме выходная величина звена имеет вид sin(ω
φ),
y
y
A
t
=
+ ∆
(4.11) где А – амплитуда выходных установившихся колебаний
Δφ – разность фаз между выходными входным гармоническим сигналами. Амплитудная частотная характеристика(АЧХ)А(ω) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного гармонических сигналов от частоты в установившемся режиме
(ω)
y
x
A
A
A
=
(4.12) Фазовая частотная характеристика(ФЧХ) φ(ω)– зависимость разности фаз (фазового сдвига) между выходными входным сигналами от частоты в установившемся режиме
φ(ω)
φ.
= ∆
(4.13) Если в выражение передаточной функции звена W(s) подставить
s = jω, то полученная частотная передаточная функция W(jω) представляет собой комплекснозначную функцию и является
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15
ампли-
тудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).
51 График АФЧХ (годограф Найквиста) является совместным графиком АЧХ и ФЧХ на комплексной плоскости. Частотная передаточная функция W(jω) является комплексной величиной и может быть записана в виде
( ω)
Re(ω)
Im(ω).
W j
j
=
+
(4.14) Модуль частотной передаточной функции W(jω) есть амплитудная частотная характеристика А
(ω)
( ω) ,
A
W j
=
аргумент – фазовая частотная характеристика φ(ω): φ(ω) arg ( ω).
W Для построения АЧХ и ФЧХ по частотной передаточной функции используют формулы
2 2
(ω)
Re (ω)
Im (ω),
A
=
+
Im(ω)
φ(ω) arctg
Re(ω)
=
(4.15) Примеры решения задач Пример Получить уравнениесвязи между уровнем воды в баке h, ми расходом воды Q, мс (рисунок, и линеаризовать его. Рис. Схема расчета расхода воды
Решение.Пусть расход вытекающей воды – q, мс, скорость вытекания воды –v, мс, S – площадь бакам площадь попереч-
Q
h
q
S Выход Входного сечениям. По закону Бернулли,
2
ρ
ρ
,
2
v
gh
=
откуда Тогда
0 0
0 2
2
α
,
q
S v
S
gh
S
g где
0
α
2
S
g
=
– постоянный коэффициент, мс За малое время Δt расходы можно считать постоянными, тогда изменение уровня
(
)
α
,
Q q
Q
q
Q
h
h
t
t
t
S
S
S
S
S
−
∆ =
∆ =
−
∆ =
−
∆
α
h
Q
h
t
S
S
∆ = Переходя к пределу при Δt → 0, получим дифференциальное уравнение
( )
1
α
( )
( ),
dh t
Q t
h t
dt
S
S
=
−
(4.16) связывающее уровень воды в баке h, ми расход воды Q, мс. Линеаризуем уравнение (4.16) в окрестностях рабочей точки
(Q
0
, h
0
). Выполняется начальное условие
0 Запишем малые отклонения 0
,
Q
Q Q
h
h
h
∆ = −
∆ = Продифференцируем уравнение (4.16) по каждой из переменных
1
α
1
( )
( )
;
1
α
α
( )
( )
2
( )
Q t
h t
Q S
S
S
Q t
h t
h S
S
S h t
∂
−
=
∂
∂
−
= −
∂ Тогда по формуле (4.3) получаем
53 0
1
α
,
2
d h
Q
h
dt
S
S h
∆ = ∆ −
∆
0
α
1 2
d h
h
Q
dt
S
S h
∆ +
∆ = Обозначим
0
α
,
2
h
k
S Окончательно получаем линеаризованное уравнение в отклонениях от рабочей точки(знак Δ не ставим
( )
( )
( ).
h
Q
dh t
k h t
k Q Ответ
( )
( )
( ).
h
Q
dh t
k h t
k Q Заметим, что коэффициент k
h
зависит от h
0
, те. от выбора рабочей точки, при выборе другой рабочей точки коэффициент получится другой, в этом проявляется нелинейность объекта
2) полученное линеаризованное уравнение в отклонениях справедливо только при малых отклонениях от рабочей точки, Пример 4.2. Дана передаточная функция
( )
1
K
W Определить частотные характеристики звена (АЧХ, ФЧХ и
АФЧХ).
Решение.Запишем частотную передаточную функцию в виде выражения (4.14), заменив s на и преобразовав
( ω)
ω 1
K
W j
Tj
=
+
=
1
ω
K
jT
+
=
(1
ω)
(1
ω)(1
ω)
K
jT
jT
jT
−
+
−
=
2 2
ω
1 ω
K
j KT
T
−
+
=
=
2 2
1 ω
K
T
+
– j
2 2
ω
1 ω
KT
T
+
= Re(
ω
) + j Im(
ω
). Построим АЧХ по формуле (4.15):
54
(
) (
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
ω
ω
(ω)
1 ω
1 ω
1 ω
1 ω
ω
(1 ω
)
1 1 ω
1 ω
1 ω
1 ω
K
KT
K
K T
A
T
T
T
T
K
K Построим ФЧХ по формуле (4.15):
2 2
2 2
ω
1 ω
φ(ω) arctg arctg( ω ).
1 Ответ
2 2
(ω)
,
1 ω
K
A
T
=
+
φ(ω)
arctg(ω ).
T
= Пример 4.3. Определить сигнал хна выходе звена по известному входному сигналу хи передаточной функции звена W(s):
1
( )
2sin10 ,
x t
t
=
4
( )
0,1 1
W s
s
=
+
Решение.Известно, что при воздействии входного сигнала
x
1
(t) = X
1
sin ωt на звено выходной сигнал х) по истечении времени переходного процесса также будет гармоническим, но отличающимся от входного амплитудой и фазой
(
)
2 1
( )
(ω)
sin ω
φ(ω) ,
x t
A
X
t
=
+
(4.17) где A(ω) – АЧХ звена
φ(ω) – ФЧХ звена. Следовательно, для определениях) необходимо найти A(ω),
φ(ω) и воспользоваться выражением (4.17). По передаточной функции, с использованием формул (4.15), найдем
2 4
(ω)
,
0,1ω
1
A
=
+
φ(ω) = –arctg 0,1 ω.
55 Из заданного входного сигнала видно, что входная частота равна ω = 10, тогда
2 4
4
(10)
2 2,
2 0,1 10 1
A
=
=
=
⋅
+
π
φ(10)
arctg(0,1 10)
arctg1 4
= −
⋅
= −
= Подставим полученные выражения в формулу (4.17):
(
)
2
( )
4 2 sin 10
π / 4 .
x Ответ
(
)
2
( )
4 2 sin 10
π / 4 .
x Задания для самостоятельного решения Задание В окрестности точки установившегося режимах, у) аналитически линеаризовать нелинейное уравнение y = f(x). Данные по вариантам приведены в табл. 4.1. Задание 4.2. По заданным передаточным функциям определить частотные характеристики звена (АЧХ и ФЧХ). Данные по вариантам приведены в табл. 4.2. Задание 4.3.* Выполнить задание примера 4.3. Данные повари- антам приведены в табл. 4.3. Таблица 4.1 Исходные данные для задания 4.1 Вариант
х
0
у
0
y = f(x) Вариант 1 2
4,5
y = x
2
+ 1/x Вариант 2 1
2
y = x
2
+ 1/x Вариант 3 3
10
y = x
2
+ 3/x Вариант 4 2
6,5
y = x
2
+ 5/x Вариант 5 2
5,5
y = x
2
+ 3/x Вариант 6 2
4,5
y = x
2
+ 1/x Вариант 7 1
2
y = x
2
+ 1/x Вариант 8 2
24
y = Вариант 9 1
3
y = Вариант 10 3
81
y = 3x
3
56 Окончание таблицы 4.1 Вариант
х
0
у
0
y = f(x) Вариант 11 2
16
y = Вариант 12 2
8
y = Вариант 13 2
5
y = x
2
+ 2/x Вариант 14 1
3
y = x
2
+ 2/x Вариант 15 1
4
y = 2x
3
+ 2x Вариант 16 2
12
y = x
3
+ 2x Вариант 17 3
9
y = Вариант 18 2
16
y = Вариант 19 1
8
y = 3x
3
+ 5/x Вариант 20 2
34,5
y = 4x
3
+ 5/x
57 Таблица 4.2 Исходные данные для задания 4.2 Варианта) б) Варианта) б) Вариант 1
( )
2
W s
s
=
1 2
( )
,
(
1)(
1)
K
W s
T s
T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 11 1
( )
W s
s
s
= +
2 1
( )
,
(
1)
W где T = 2 Вариант 2 2
( )
4
W s
s
=
1 2
2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 12 1
( )
5
W s
s
s
= −
1 2
( )
,
(
1)(
1)
Ks
W s
T s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 3 1
( )
W s
s
=
1 2
2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
s T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 13 2
1
( )
W s
s
s
= +
1 2
( )
,
(
1)(
1)
K
W s
s T s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 4 2
1
( )
W s
s
=
2
( )
,
(
1)
K
W s
s где K = 3; T = 2 Вариант 14 2
3
( )
2
W s
s
s
=
−
1 2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 5
( )
2 1
W s
s
=
+
2
( )
,
(
1)
Ks
W где K = 3; T = 2 Вариант 15 2
1
( )
W s
s
s
= +
1 2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
s T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 57
58 Окончание таблицы 4.2 Варианта) б) Варианта) б) Вариант 6
( )
2 1
W s
s
=
−
2
( )
,
(
1)
K
W где K = 3; T = 2 Вариант 16 2
2
( )
W s
s
s
= −
1 2
(
1)
( )
,
1
Ks T s
W s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 7 1
( )
2
W s
s
= +
1 2
2 1
( )
,
(
1)
T s
W s
T где T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 17 2
( )
6
W s
s
s
= −
( )
,
(
1)
K
W s
s где K = 3; T = 2 Вариант 8 1
( )
3
W s
s
= −
1 2
2 1
( )
,
(
1)
T s
W s
s T где T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 18 3
( )
5
W s
s
s
= +
( )
,
1
Ks
W где K = 3; T = 2 Вариант 9 1
( )
2
W s
s
= − +
2 1
( )
,
(
1)
W s
s где T = 2 Вариант 19 2
3
( )
7
W s
s
s
=
−
( )
,
1
K
W где K = 3; T = 2 Вариант 10 1
( )
4
W s
s
= − −
2
( )
,
(
1)
s
W где T = 2 Вариант 20 2
( )
4 2
1
W s
s
s
=
+
+ −
1 2
1
( )
,
1
T s
W s
T где T
1
= 2; T
2
= 3 58
59 Таблица 4.3 Исходные данные для задания 4.3 Вариант Входное воздействие Передаточная функция Вариант 1 1
( )
5sin
x t
t
=
4
( )
W Вариант 2 1
( )
8sin 0, 25
x t
t
=
10
( )
4 1
W Вариант 3 1
( )
2sin10
x t
t
=
( )
2
W Вариант 4 1
( )
4sin 25
x t
t
=
( ) 10(4 1)
W Вариант 5 1
( )
3sin 4
x t
t
=
2 1
( )
4 1
s
W s
s
+
=
+
60 Тема 5. ИЗУЧЕНИЕ УСТРОЙСТВА, ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТАВА И ПРИНЦИПОВ ДЕЙСТВИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цель занятия:научиться составлять функциональные схемы систем автоматического управления. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определения объекта управления, управляющего устройства, систем автоматического управления и регулирования.
2. Приведите определение функциональной схемы САУ.
3. Перечислите правила построения функциональных схем.
4. Назовите фундаментальные принципы автоматического управления и дайте их определения. Краткие теоретические сведения Объект управления (ОУ) – совокупность взаимосвязанных технических средств и биологических объектов, которыми необходимо управлять для достижения цели. Устройство управления, или управляющее устройство (УУ) – это техническое устройство для управления объектом. Система автоматического управления (САУ) – совокупность взаимодействующих между собой объекта управления и управляющего устройства, осуществляющая сбор, обработку информации и управление объектом без непосредственного участия человека. Функциональная схема системы – наглядное графическое изображение системы в виде взаимосвязанных элементов, выполняющих определенную функцию. Правила построения функциональных схем Элементы функциональной схемы изображаются прямоугольниками, связи между ними указываются линиями со стрелками, соответствующими направлению прохождения сигнала. Иногда термины заменяют управление – регулирование, управляющее устройство – регулятор, и рассматривают систему автоматического регулирования (САР) как частный случай САУ. Наименование функционального элемента в сокращенной форме указывается внутри соответствующего прямоугольника. Над
61 линиями связи указывают обозначение сигнала. Под схемой или в тексте сокращения и обозначения расшифровываются. При описании устройства САР следует перечислить все элементы системы, описать связи между элементами, определить функцию, выполняемую каждым элементом, составить функциональную схему. При составлении функциональной схемы следует руководствоваться общим функциональным составом САР. Как правило, САР состоит из объекта управления и регулятора. В характеристике объекта управления (ОУ) необходимо указать, что является ОУ, регулируемой величиной, целью управления, управляющим воздействием на объект, возмущающими воздействиями, и какое возмущающее воздействие принято в качестве основного. Регулятор состоит из измерительного преобразователя (датчика, задающего устройства (за- датчика, усилительно-преобразовательного устройства, которым может быть регулирующий блок, исполнительного устройства (исполнительного механизма и регулирующего органа. В каждой конкретной системе указанные функциональные элементы представлены конкретными устройствами. Некоторые функциональные элементы в системе могут отсутствовать. В систему могут быть введены дополнительные устройства механизмы передачи движения, промежуточные преобразователи, устройства местной обратной связи и т. д. В конце следует описать работу системы. Принципы автоматического управления
1. Принцип разомкнутого управления
– по задающему воздействию. При формировании управляющего воздействия u(t) учитывается только значение задающего воздействия з
– с компенсацией возмущающего воздействия. Управляющее воздействие u(t) формируется так, чтобы компенсировать влияние возмущающего воздействия f(t).
2. Принцип замкнутого управления (управление с обратной связью, управление по отклонению, управление по ошибке. Управляющее воздействие u(t) формируется так, чтобы компенсировать ошибку е, где е) = з) – y (t) – сигнал ошибки (сигнал рассогласования.
3. Принцип комбинированного управления. Управляющее воздействие) формируется в зависимости и от ошибки е) = з) – y(t), и от возмущающего воздействия f(t).
62 Пример решения задачи
Пример.Составить и описать функциональную схему САР температуры в климатической камере (рис. 5.1).
Решение.САР температуры в климатической камере состоит из объекта управления и регулятора. Объект управления (ОУ) рассматриваемой САР – климатическая камера 2 с нагревательным элементом 3. Регулируемая величина – температура θ внутри камеры. Цель управления – поддержание температуры в климатической камере на постоянном заданном уровне. Управляющее воздействие на ОУ – напряжение н, подаваемое на нагревательный элемент 3. Основное возмущающее воздействие – изменение температурыθ
н наружного воздуха от расчетного номинального значения. Рис. 5.1. Схема системы автоматического регулирования температуры в климатической камере
1 – датчик (термометр сопротивления 2 – климатическая камера
3 – электрический нагреватель 4 – автотрансформатор 5 – редуктор
6 – электродвигатель 7 – потенциометр местной обратной связи
8 – дифференциальный усилитель 9 – мостовая измерительная схема
U
θ
θ
Н
R
Д
+U
П
R
2
R
1
R
3
4
1
3
9
5
6
U
7
8
2
63 Дополнительными возмущающими воздействиями могут быть, например, изменения напряжения питания моста пи трансформатора U. Датчиком (Д) является термометр 1 сопротивления д. Входной сигнал для термометра сопротивления – температура θ в камере, выходной сигнал – величина сопротивления д термометра.
Задатчиком является переменное сопротивление R
1
. Задающий сигнал – величина сопротивления R
1
, которая в определенном масштабе соответствует заданному значению температуры з в камере. Сравнивающее устройство (СУ) – мостовая измерительная схема М) 9, образованная сопротивлениями д, R
1
, и R
3
. Для нее входными сигналами являются величины сопротивлений д и R
1
, выходным сигналом является напряжением разбаланса моста, которое в определенном масштабе соответствует ошибке регулирования. Дифференциальный усилитель (ДУ) 8 выполняет функции устройства сравнения (вычитания) входных сигналов и усиления их разности. На вход усилителя поступают напряжением разбаланса моста и напряжение ос устройства местной обратной связи. Выходной сигнал усилителя – напряжение U
y
, подаваемое на электродвигатель 7. Исполнительный механизм состоит из электродвигателя (ДВ) 7 и редуктора (Р) 5. Входной сигнал для электродвигателя – напряжение у, выходной сигнал – угол φ
дв поворота вала электродвигателя. Входной сигнал для редуктора – φ
дв
, выходной сигнал – уголφ
р поворота вала редуктора. Регулирующим органом (РО) является автотрансформатор (АТ) 4. Входной сигнал – угол поворота р, выходной сигнал – напряжение U
н
,
подаваемое на нагревательный элемент 3 объекта управления. Устройство местной обратной связи (УОС) выполнено в виде потенциометрического датчика перемещения 6, подвижный контакт которого механически связан с валом редуктора. Входной сигнал УОС – угол φ
р
,
выходной сигнал – напряжение U
ос
На основании вышеизложенного составлена функциональная схема системы (рис. 5.2). Рис. 5.2. Функциональная схема САР температуры в климатической камере
θ
H
θ
3
R
2
М У φ
ДВ РОС R
Д
СУ З РОД
ДУ
УОС
ДВ Р
ОУ
64 Система работает следующим образом. В установившемся режиме, при равенстве значений температуры θ в камере заданнойθ
з
,
выход- ное напряжением равно 0. При отклонении значений температуры в камере от заданных, например, при изменении температуры наружного воздуха н, сопротивление д изменяется, мост разбалансируется. Напряжением разбаланса моста является сигналом возникшей ошибки системы, оно усиливается усилителем и подается на двигатель. Двигатель через редуктор перемещает подвижный контакт автотрансформатора, тем самым изменяет напряжение н на нагревательном элементе в нужную сторону. Если температура в камере ниже заданной, то напряжение н увеличивается, если температура выше заданной, то напряжение н уменьшается. Одновременно выходной вал редуктора перемещает подвижный контакт потенциометрического датчика местной обратной связи, выходное напряжение
U
oc которого подается на дифференциальный усилитель, где вычитается из напряжениям разбаланса моста. Усилитель усиливает разность напряжений ми ос. За счет местной обратной связи обеспечивается пропорциональная зависимость между напряжением ми углом р поворота вала редуктора. Поэтому изменение напряжения н на нагревательном элементе (управляющее воздействие на объект) пропорционально величине отклонения значений температуры в камере от заданного з значения. В результате температура в камере возвращается к заданному значению. При непрерывном изменении наружной температуры процесс регулирования идет непрерывно. Если наружная температура установится, то при правильно подобранных параметрах регулятора процесс регулирования через некоторое время закончится, и вся система придет в новое установившееся состояние. В результате рассмотрения устройства и работы системы можно сделать следующие выводы в системе реализован принцип управления по отклонению (по ошибке система является стабилизирующей. Ответ построенная САР температуры в климатической камере приведена на рис. 5.2. Задание для самостоятельного решения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15
51 График АФЧХ (годограф Найквиста) является совместным графиком АЧХ и ФЧХ на комплексной плоскости. Частотная передаточная функция W(jω) является комплексной величиной и может быть записана в виде
( ω)
Re(ω)
Im(ω).
W j
j
=
+
(4.14) Модуль частотной передаточной функции W(jω) есть амплитудная частотная характеристика А
(ω)
( ω) ,
A
W j
=
аргумент – фазовая частотная характеристика φ(ω): φ(ω) arg ( ω).
W Для построения АЧХ и ФЧХ по частотной передаточной функции используют формулы
2 2
(ω)
Re (ω)
Im (ω),
A
=
+
Im(ω)
φ(ω) arctg
Re(ω)
=
(4.15) Примеры решения задач Пример Получить уравнениесвязи между уровнем воды в баке h, ми расходом воды Q, мс (рисунок, и линеаризовать его. Рис. Схема расчета расхода воды
Решение.Пусть расход вытекающей воды – q, мс, скорость вытекания воды –v, мс, S – площадь бакам площадь попереч-
Q
h
q
S Выход Входного сечениям. По закону Бернулли,
2
ρ
ρ
,
2
v
gh
=
откуда Тогда
0 0
0 2
2
α
,
q
S v
S
gh
S
g где
0
α
2
S
g
=
– постоянный коэффициент, мс За малое время Δt расходы можно считать постоянными, тогда изменение уровня
(
)
α
,
Q q
Q
q
Q
h
h
t
t
t
S
S
S
S
S
−
∆ =
∆ =
−
∆ =
−
∆
α
h
Q
h
t
S
S
∆ = Переходя к пределу при Δt → 0, получим дифференциальное уравнение
( )
1
α
( )
( ),
dh t
Q t
h t
dt
S
S
=
−
(4.16) связывающее уровень воды в баке h, ми расход воды Q, мс. Линеаризуем уравнение (4.16) в окрестностях рабочей точки
(Q
0
, h
0
). Выполняется начальное условие
0 Запишем малые отклонения 0
,
Q
Q Q
h
h
h
∆ = −
∆ = Продифференцируем уравнение (4.16) по каждой из переменных
1
α
1
( )
( )
;
1
α
α
( )
( )
2
( )
Q t
h t
Q S
S
S
Q t
h t
h S
S
S h t
∂
−
=
∂
∂
−
= −
∂ Тогда по формуле (4.3) получаем
53 0
1
α
,
2
d h
Q
h
dt
S
S h
∆ = ∆ −
∆
0
α
1 2
d h
h
Q
dt
S
S h
∆ +
∆ = Обозначим
0
α
,
2
h
k
S Окончательно получаем линеаризованное уравнение в отклонениях от рабочей точки(знак Δ не ставим
( )
( )
( ).
h
Q
dh t
k h t
k Q Ответ
( )
( )
( ).
h
Q
dh t
k h t
k Q Заметим, что коэффициент k
h
зависит от h
0
, те. от выбора рабочей точки, при выборе другой рабочей точки коэффициент получится другой, в этом проявляется нелинейность объекта
2) полученное линеаризованное уравнение в отклонениях справедливо только при малых отклонениях от рабочей точки, Пример 4.2. Дана передаточная функция
( )
1
K
W Определить частотные характеристики звена (АЧХ, ФЧХ и
АФЧХ).
Решение.Запишем частотную передаточную функцию в виде выражения (4.14), заменив s на и преобразовав
( ω)
ω 1
K
W j
Tj
=
+
=
1
ω
K
jT
+
=
(1
ω)
(1
ω)(1
ω)
K
jT
jT
jT
−
+
−
=
2 2
ω
1 ω
K
j KT
T
−
+
=
=
2 2
1 ω
K
T
+
– j
2 2
ω
1 ω
KT
T
+
= Re(
ω
) + j Im(
ω
). Построим АЧХ по формуле (4.15):
54
(
) (
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
ω
ω
(ω)
1 ω
1 ω
1 ω
1 ω
ω
(1 ω
)
1 1 ω
1 ω
1 ω
1 ω
K
KT
K
K T
A
T
T
T
T
K
K Построим ФЧХ по формуле (4.15):
2 2
2 2
ω
1 ω
φ(ω) arctg arctg( ω ).
1 Ответ
2 2
(ω)
,
1 ω
K
A
T
=
+
φ(ω)
arctg(ω ).
T
= Пример 4.3. Определить сигнал хна выходе звена по известному входному сигналу хи передаточной функции звена W(s):
1
( )
2sin10 ,
x t
t
=
4
( )
0,1 1
W s
s
=
+
Решение.Известно, что при воздействии входного сигнала
x
1
(t) = X
1
sin ωt на звено выходной сигнал х) по истечении времени переходного процесса также будет гармоническим, но отличающимся от входного амплитудой и фазой
(
)
2 1
( )
(ω)
sin ω
φ(ω) ,
x t
A
X
t
=
+
(4.17) где A(ω) – АЧХ звена
φ(ω) – ФЧХ звена. Следовательно, для определениях) необходимо найти A(ω),
φ(ω) и воспользоваться выражением (4.17). По передаточной функции, с использованием формул (4.15), найдем
2 4
(ω)
,
0,1ω
1
A
=
+
φ(ω) = –arctg 0,1 ω.
55 Из заданного входного сигнала видно, что входная частота равна ω = 10, тогда
2 4
4
(10)
2 2,
2 0,1 10 1
A
=
=
=
⋅
+
π
φ(10)
arctg(0,1 10)
arctg1 4
= −
⋅
= −
= Подставим полученные выражения в формулу (4.17):
(
)
2
( )
4 2 sin 10
π / 4 .
x Ответ
(
)
2
( )
4 2 sin 10
π / 4 .
x Задания для самостоятельного решения Задание В окрестности точки установившегося режимах, у) аналитически линеаризовать нелинейное уравнение y = f(x). Данные по вариантам приведены в табл. 4.1. Задание 4.2. По заданным передаточным функциям определить частотные характеристики звена (АЧХ и ФЧХ). Данные по вариантам приведены в табл. 4.2. Задание 4.3.* Выполнить задание примера 4.3. Данные повари- антам приведены в табл. 4.3. Таблица 4.1 Исходные данные для задания 4.1 Вариант
х
0
у
0
y = f(x) Вариант 1 2
4,5
y = x
2
+ 1/x Вариант 2 1
2
y = x
2
+ 1/x Вариант 3 3
10
y = x
2
+ 3/x Вариант 4 2
6,5
y = x
2
+ 5/x Вариант 5 2
5,5
y = x
2
+ 3/x Вариант 6 2
4,5
y = x
2
+ 1/x Вариант 7 1
2
y = x
2
+ 1/x Вариант 8 2
24
y = Вариант 9 1
3
y = Вариант 10 3
81
y = 3x
3
56 Окончание таблицы 4.1 Вариант
х
0
у
0
y = f(x) Вариант 11 2
16
y = Вариант 12 2
8
y = Вариант 13 2
5
y = x
2
+ 2/x Вариант 14 1
3
y = x
2
+ 2/x Вариант 15 1
4
y = 2x
3
+ 2x Вариант 16 2
12
y = x
3
+ 2x Вариант 17 3
9
y = Вариант 18 2
16
y = Вариант 19 1
8
y = 3x
3
+ 5/x Вариант 20 2
34,5
y = 4x
3
+ 5/x
57 Таблица 4.2 Исходные данные для задания 4.2 Варианта) б) Варианта) б) Вариант 1
( )
2
W s
s
=
1 2
( )
,
(
1)(
1)
K
W s
T s
T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 11 1
( )
W s
s
s
= +
2 1
( )
,
(
1)
W где T = 2 Вариант 2 2
( )
4
W s
s
=
1 2
2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 12 1
( )
5
W s
s
s
= −
1 2
( )
,
(
1)(
1)
Ks
W s
T s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 3 1
( )
W s
s
=
1 2
2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
s T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 13 2
1
( )
W s
s
s
= +
1 2
( )
,
(
1)(
1)
K
W s
s T s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 4 2
1
( )
W s
s
=
2
( )
,
(
1)
K
W s
s где K = 3; T = 2 Вариант 14 2
3
( )
2
W s
s
s
=
−
1 2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 5
( )
2 1
W s
s
=
+
2
( )
,
(
1)
Ks
W где K = 3; T = 2 Вариант 15 2
1
( )
W s
s
s
= +
1 2
(
1)
( )
,
(
1)
K T s
W s
s T где K = 3; T
1
= 2; T
2
= 3 57
58 Окончание таблицы 4.2 Варианта) б) Варианта) б) Вариант 6
( )
2 1
W s
s
=
−
2
( )
,
(
1)
K
W где K = 3; T = 2 Вариант 16 2
2
( )
W s
s
s
= −
1 2
(
1)
( )
,
1
Ks T s
W s
T где K = 3; T
1
= 2;
T
2
= 3 Вариант 7 1
( )
2
W s
s
= +
1 2
2 1
( )
,
(
1)
T s
W s
T где T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 17 2
( )
6
W s
s
s
= −
( )
,
(
1)
K
W s
s где K = 3; T = 2 Вариант 8 1
( )
3
W s
s
= −
1 2
2 1
( )
,
(
1)
T s
W s
s T где T
1
= 2; T
2
= 3 Вариант 18 3
( )
5
W s
s
s
= +
( )
,
1
Ks
W где K = 3; T = 2 Вариант 9 1
( )
2
W s
s
= − +
2 1
( )
,
(
1)
W s
s где T = 2 Вариант 19 2
3
( )
7
W s
s
s
=
−
( )
,
1
K
W где K = 3; T = 2 Вариант 10 1
( )
4
W s
s
= − −
2
( )
,
(
1)
s
W где T = 2 Вариант 20 2
( )
4 2
1
W s
s
s
=
+
+ −
1 2
1
( )
,
1
T s
W s
T где T
1
= 2; T
2
= 3 58
59 Таблица 4.3 Исходные данные для задания 4.3 Вариант Входное воздействие Передаточная функция Вариант 1 1
( )
5sin
x t
t
=
4
( )
W Вариант 2 1
( )
8sin 0, 25
x t
t
=
10
( )
4 1
W Вариант 3 1
( )
2sin10
x t
t
=
( )
2
W Вариант 4 1
( )
4sin 25
x t
t
=
( ) 10(4 1)
W Вариант 5 1
( )
3sin 4
x t
t
=
2 1
( )
4 1
s
W s
s
+
=
+
60 Тема 5. ИЗУЧЕНИЕ УСТРОЙСТВА, ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СОСТАВА И ПРИНЦИПОВ ДЕЙСТВИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цель занятия:научиться составлять функциональные схемы систем автоматического управления. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определения объекта управления, управляющего устройства, систем автоматического управления и регулирования.
2. Приведите определение функциональной схемы САУ.
3. Перечислите правила построения функциональных схем.
4. Назовите фундаментальные принципы автоматического управления и дайте их определения. Краткие теоретические сведения Объект управления (ОУ) – совокупность взаимосвязанных технических средств и биологических объектов, которыми необходимо управлять для достижения цели. Устройство управления, или управляющее устройство (УУ) – это техническое устройство для управления объектом. Система автоматического управления (САУ) – совокупность взаимодействующих между собой объекта управления и управляющего устройства, осуществляющая сбор, обработку информации и управление объектом без непосредственного участия человека. Функциональная схема системы – наглядное графическое изображение системы в виде взаимосвязанных элементов, выполняющих определенную функцию. Правила построения функциональных схем Элементы функциональной схемы изображаются прямоугольниками, связи между ними указываются линиями со стрелками, соответствующими направлению прохождения сигнала. Иногда термины заменяют управление – регулирование, управляющее устройство – регулятор, и рассматривают систему автоматического регулирования (САР) как частный случай САУ. Наименование функционального элемента в сокращенной форме указывается внутри соответствующего прямоугольника. Над
61 линиями связи указывают обозначение сигнала. Под схемой или в тексте сокращения и обозначения расшифровываются. При описании устройства САР следует перечислить все элементы системы, описать связи между элементами, определить функцию, выполняемую каждым элементом, составить функциональную схему. При составлении функциональной схемы следует руководствоваться общим функциональным составом САР. Как правило, САР состоит из объекта управления и регулятора. В характеристике объекта управления (ОУ) необходимо указать, что является ОУ, регулируемой величиной, целью управления, управляющим воздействием на объект, возмущающими воздействиями, и какое возмущающее воздействие принято в качестве основного. Регулятор состоит из измерительного преобразователя (датчика, задающего устройства (за- датчика, усилительно-преобразовательного устройства, которым может быть регулирующий блок, исполнительного устройства (исполнительного механизма и регулирующего органа. В каждой конкретной системе указанные функциональные элементы представлены конкретными устройствами. Некоторые функциональные элементы в системе могут отсутствовать. В систему могут быть введены дополнительные устройства механизмы передачи движения, промежуточные преобразователи, устройства местной обратной связи и т. д. В конце следует описать работу системы. Принципы автоматического управления
1. Принцип разомкнутого управления
– по задающему воздействию. При формировании управляющего воздействия u(t) учитывается только значение задающего воздействия з
– с компенсацией возмущающего воздействия. Управляющее воздействие u(t) формируется так, чтобы компенсировать влияние возмущающего воздействия f(t).
2. Принцип замкнутого управления (управление с обратной связью, управление по отклонению, управление по ошибке. Управляющее воздействие u(t) формируется так, чтобы компенсировать ошибку е, где е) = з) – y (t) – сигнал ошибки (сигнал рассогласования.
3. Принцип комбинированного управления. Управляющее воздействие) формируется в зависимости и от ошибки е) = з) – y(t), и от возмущающего воздействия f(t).
62 Пример решения задачи
Пример.Составить и описать функциональную схему САР температуры в климатической камере (рис. 5.1).
Решение.САР температуры в климатической камере состоит из объекта управления и регулятора. Объект управления (ОУ) рассматриваемой САР – климатическая камера 2 с нагревательным элементом 3. Регулируемая величина – температура θ внутри камеры. Цель управления – поддержание температуры в климатической камере на постоянном заданном уровне. Управляющее воздействие на ОУ – напряжение н, подаваемое на нагревательный элемент 3. Основное возмущающее воздействие – изменение температурыθ
н наружного воздуха от расчетного номинального значения. Рис. 5.1. Схема системы автоматического регулирования температуры в климатической камере
1 – датчик (термометр сопротивления 2 – климатическая камера
3 – электрический нагреватель 4 – автотрансформатор 5 – редуктор
6 – электродвигатель 7 – потенциометр местной обратной связи
8 – дифференциальный усилитель 9 – мостовая измерительная схема
U
θ
θ
Н
R
Д
+U
П
R
2
R
1
R
3
4
1
3
9
5
6
U
7
8
2
63 Дополнительными возмущающими воздействиями могут быть, например, изменения напряжения питания моста пи трансформатора U. Датчиком (Д) является термометр 1 сопротивления д. Входной сигнал для термометра сопротивления – температура θ в камере, выходной сигнал – величина сопротивления д термометра.
Задатчиком является переменное сопротивление R
1
. Задающий сигнал – величина сопротивления R
1
, которая в определенном масштабе соответствует заданному значению температуры з в камере. Сравнивающее устройство (СУ) – мостовая измерительная схема М) 9, образованная сопротивлениями д, R
1
, и R
3
. Для нее входными сигналами являются величины сопротивлений д и R
1
, выходным сигналом является напряжением разбаланса моста, которое в определенном масштабе соответствует ошибке регулирования. Дифференциальный усилитель (ДУ) 8 выполняет функции устройства сравнения (вычитания) входных сигналов и усиления их разности. На вход усилителя поступают напряжением разбаланса моста и напряжение ос устройства местной обратной связи. Выходной сигнал усилителя – напряжение U
y
, подаваемое на электродвигатель 7. Исполнительный механизм состоит из электродвигателя (ДВ) 7 и редуктора (Р) 5. Входной сигнал для электродвигателя – напряжение у, выходной сигнал – угол φ
дв поворота вала электродвигателя. Входной сигнал для редуктора – φ
дв
, выходной сигнал – уголφ
р поворота вала редуктора. Регулирующим органом (РО) является автотрансформатор (АТ) 4. Входной сигнал – угол поворота р, выходной сигнал – напряжение U
н
,
подаваемое на нагревательный элемент 3 объекта управления. Устройство местной обратной связи (УОС) выполнено в виде потенциометрического датчика перемещения 6, подвижный контакт которого механически связан с валом редуктора. Входной сигнал УОС – угол φ
р
,
выходной сигнал – напряжение U
ос
На основании вышеизложенного составлена функциональная схема системы (рис. 5.2). Рис. 5.2. Функциональная схема САР температуры в климатической камере
θ
H
θ
3
R
2
М У φ
ДВ РОС R
Д
СУ З РОД
ДУ
УОС
ДВ Р
ОУ
64 Система работает следующим образом. В установившемся режиме, при равенстве значений температуры θ в камере заданнойθ
з
,
выход- ное напряжением равно 0. При отклонении значений температуры в камере от заданных, например, при изменении температуры наружного воздуха н, сопротивление д изменяется, мост разбалансируется. Напряжением разбаланса моста является сигналом возникшей ошибки системы, оно усиливается усилителем и подается на двигатель. Двигатель через редуктор перемещает подвижный контакт автотрансформатора, тем самым изменяет напряжение н на нагревательном элементе в нужную сторону. Если температура в камере ниже заданной, то напряжение н увеличивается, если температура выше заданной, то напряжение н уменьшается. Одновременно выходной вал редуктора перемещает подвижный контакт потенциометрического датчика местной обратной связи, выходное напряжение
U
oc которого подается на дифференциальный усилитель, где вычитается из напряжениям разбаланса моста. Усилитель усиливает разность напряжений ми ос. За счет местной обратной связи обеспечивается пропорциональная зависимость между напряжением ми углом р поворота вала редуктора. Поэтому изменение напряжения н на нагревательном элементе (управляющее воздействие на объект) пропорционально величине отклонения значений температуры в камере от заданного з значения. В результате температура в камере возвращается к заданному значению. При непрерывном изменении наружной температуры процесс регулирования идет непрерывно. Если наружная температура установится, то при правильно подобранных параметрах регулятора процесс регулирования через некоторое время закончится, и вся система придет в новое установившееся состояние. В результате рассмотрения устройства и работы системы можно сделать следующие выводы в системе реализован принцип управления по отклонению (по ошибке система является стабилизирующей. Ответ построенная САР температуры в климатической камере приведена на рис. 5.2. Задание для самостоятельного решения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15