Файл: Контрольная работа По дисциплине Теория игр.docx

Министерство образования и науки РФФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования«Алтайский государственный технический университетим. И.И. Ползунова»Заочный институтНаправление: «Экономика»Работа защищена с оценкой: ____________________Преподаватель _______ (Никифорова Елена Геннадьевна)«___» _______________20____г.Контрольная работаПо дисциплине «Теория игр»Выполнила: студентка гр. 4Эк(с)-01, Латышева Тахмина ТашрифовнаШифр зачетной книжки: 20330002Проверил: кандидат физико-математических наук, кафедра высшей математики - доцент Никифорова Елена ГеннадьевнаБарнаул 2023Задание 1

	Стратегии "B"
Стратегии "A"	B1	B2	B3
A1	4	11	8
A2	11	6	-1

Определим нижнюю цену игры - α

.Таблица 1

	Стратегии "B"
Стратегии "A"	B1	B2	B3	Минимумы строк
A1	4	11	8	4*
A2	11	6	-1	-1

В нашем случае нижняя цена игры равна: α = 4, и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 4 мы должны придерживаться стратегии A₁

Определим верхнюю цену игры - β

---

Таблица 2

	Стратегии "B"
Стратегии "A"	B1	B2	B3	Минимумы строк
A1	4	11	8	4*
A2	11	6	-1	-1
Максимумы столбцов	11	11	8+

В нашем случае верхняя цена игры равна: β = 8, и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 8 противник ( игрок "B") должен придерживаться стратегии B_{3Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они различаются, т.е.} α ≠ β, платежная матрица не содержит седловой точки. Это значит, что игра не имеет решения в чистых минимаксных стратегиях, но она всегда имеет решение в смешанных стратегиях.Сравнивая стратегии B₂ и B₃ (см. Табл.2) видим, что B₂ является заведомо невыгодной относительно B₃, поэтому удалим стратегию B₂ из платежной матрицы и получим игру представленную в таблице 3.Таблица 3

	Стратегии "B"
Стратегии "A"	B1	B3
A1	4	8
A2	11	-1

Из последней таблицы (табл. 3) видно, что игроку "A" следует искать свою оптимальную стратегию, смешивая случайным образом стратегии A₁ и A₂, а игроку "B" стратегии B₁ и B₃.Находим оптимальную частоту стратегии A₁:

p1 =

k23 - k21 k11 + k23 - k13 - k21

( 3 )

---

В данной задаче:

p1 =

-1 - 11 4 + -1 - 8 - 11

=

3 4

Вероятность р₂ найдем вычитанием р₁ из единицы:

p2 = 1 - p1 =

1

-

3 4

=

1 4

Находим цену игры подставив р₁, р₂ в уравнение (1) :

v = k11p1 + k21p2 =

4

·

3 4

+

11

·

1 4

=

23 4

Находим оптимальную смешанную стратегию для игрока "B":

SB* = B1 B3 q1 q3

---

где: q₁ , q₃ - вероятности (частоты) с которыми применяются соответственно стратегии B₁ и B₃Если игрок "A" будет пользоваться чистой стратегией A₁, то средний выигрыш v составит:k₁₁q₁ + k₁₃q₃ = v ( 4 )Поскольку цена игры v нам уже известна и учитывая, что q₁ + q₃ = 1, то оптимальная частота стратегии B₁ может быть найдена как:

q1 =

v - k13 k11 - k13

( 5 )

В данной задаче:

q1 =

23 4 - 8 4 - 8

=

9 16

Вероятность q₃ найдем вычитанием q₁ из единицы:

q3 = 1 - q1 =

1

-

9 16

=

7 16

---