Файл: Численные методы и математическое моделирование.pdf

54
При построении структурно-функциональной модели объект обычно рассматривается как целостная система, которую расчле- няют на отдельные элементы или подсистемы. Части системы связываются структурными отношениями, описывающими под- чиненность, логическую и временную последовательность реше- ния отдельных задач. Для представления подобных моделей удобны различного рода схемы, карты и диаграммы.
Причинно-следственная модель часто используется для объяс- нения и прогнозирования поведения объекта. Данные модели ориентированы в основном на следующее:
- выявление главных взаимосвязей между составными элемен- тами изучаемого объекта;
- определение того, как изменение одних факторов влияет на состояние компонентов модели;
- понимание того, как в целом будет функционировать модель и будет ли она адекватно описывать динамику интересующих исследователя параметров.
Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков
(например, языков математических теорий, универсального языка моделирования (UML) или алгоритмических языков).
В естественно-научных дисциплинах, как правило, удается по- строить формальную модель. Таким образом, когнитивные, со- держательные и формальные модели составляют три взаимосвя- занных уровня моделирования. Перечисленные выше разновид- ности моделей нельзя рассматривать изолированно одну от дру- гой, что и показано на схеме.
Взаимовлияние уровней моделирования связано со свойством потенциальности моделей. Создание любой модели сопряжено с появлением новых знаний об исследуемом объекте, что ведет к переоценке и уточнению концепций и взглядов на объект моде- лирования. Данное обстоятельство приводит, в свою очередь, к пересмотру соответствующих содержательных и когнитивных

55 моделей, обеспечивая спиральное развитие всех уровней модели- рования исследуемого объекта.
Следует обратить внимание на такие моменты: если значение содержательных и формальных моделей для процесса познания более или менее осознается исследователями, то роль когнитив- ных моделей часто недооценивается. Это связано с субъективно- стью таких моделей и скрытостью процесса мышления. Однако существуют объекты и процессы, для которых роль когнитивных моделей особенно велика. Например, оператор или лицо, прини- мающее решения, осуществляет управление объектом или про- цессом главным образом на основании собственных когнитивных моделей. В настоящее время изучением свойств и особенностей когнитивных моделей занимается новая, быстро развивающаяся дисциплина – когнитология.
Как уже отмечалось выше, одним из видов знакового модели- рования является математическое моделирование остановимся на этом понятие более подробно, так как именно оно является ос- новой проблемой данного пособия.
Математическое моделирование
Математическое моделирование – это идеальное научное зна- ковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических ме- тодов.
Фактически все современные разделы физики посвящены по- строению и исследованию математических моделей различных физических объектов и явлений. Так, физики-«ядерщики» до про- ведения экспериментов выполняют серьёзные исследования с применением математических моделей. При этом на основании результатов теоретического моделирования разрабатывается и уточняется методика натурных экспериментов, выясняется, какие эффекты, где и когда следует ожидать, когда и что регистриро- вать. Такой подход позволяет значительно снизить затраты на

56 проведение эксперимента, повысить его эффективность. Анало- гичные замечания можно сделать по другим современным дисци- плинам.
Как правило, значительные успехи в биологии и химии в по- следнее время были связаны с разработкой и исследованием ма- тематических моделей для биологических систем и химических процессов. В настоящее время широким фронтом идут работы по созданию математических моделей в экологии, экономике и со- циологии. Нельзя переоценить использование математических моделей в медицине и промышленности. Появилась возможность на научной (т.е. логически обоснованной) основе подходить ко многим экологическим и медицинским проблемам: имплантации и замене различных органов, прогнозированию развития эпиде- мий, обоснованной разработке планов ликвидации последствий крупных аварий и катастроф. Очень часто методы математиче- ского моделирования являются единственно возможными.
Вот те преимущества математического моделирования в срав- нении с натурным экспериментом:
- экономичность (в частности, сбережение ресурсов реальной системы);
- возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализо- ванных в природе объектов (прежде всего на разных этапах проектирования);
- возможность реализации режимов, опасных или трудновос- производимых в натуре (критический режим ядерного реак- тора, работа системы противоракетной обороны);
- возможность изменения масштаба времени;
- простота многоаспектного анализа;
- большая прогностическая сила вследствие возможности выяв- ления общих закономерностей;
- универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы (ЭВМ, системы программирования и па- кеты прикладных программ широкого назначения).

57
Классификация моделей и методов
Бурное развитие методов математического моделирования и многообразие областей их использования привело к появлению огромного количества моделей самого разного типа. В связи с этим возникает необходимость в определённом упорядочивании, классификации существующих и новых математических моде- лей. Учитывая большое число возможных классификационных признаков и субъективность их выбора, появление все новых классов моделей, следует отметить условность и незавершён- ность рассматриваемой ниже классификации. Но наличие опреде- лённой классификации и рекомендаций по решению таких моде- лей позволяет подобрать правильные методы решения этих задач для новых моделей. Представляется возможным подразделить математические модели на различные классы в зависимости от:
- сложности объекта моделирования;
- оператора модели (подмодели);
- входных и выходных параметров;
- способа исследования модели;
- цели моделирования.
Рассмотрим каждый из клас- сов классификации более по- дробно.
Классификация по сложности объекта моделирова- ния (рис. 3). Простой объект может быть решён с использо- ванием простого математиче- ского выражения. Система есть совокупность взаимосвязанных элементов (простых объектов), в определённом смысле обособленная от окружающей среды и вза- имодействующая с ней как единое целое.
Для сложных систем характерно наличие большого числа вза- имно связанных, взаимодействующих между собой элементов.
Рис. 3. Классификация по сложности объекта.

58
При этом связь между элементами А и В системы может отли- чаться от связи между элементами В и А.
Если система имеет N элементов и каждый элемент связан с каждым, то общее число связей равно N(N-1). Если все элементов имеют по M состояний, то для такой системы общее число состо- яний S равно М
N
Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называ- ются структурными. Наличие структуры позволяет строить алго- ритмы расчётов для всего объекта на основе расчёта простых его элементов.
Среди структурных динамических систем выделяют в отдель- ный подкласс имитационные системы, состоящие из конечного числа элементов, каждый из которых имеет конечное число со- стояний. Число связей между элементами также предполагается конечным. Моделирование взаимодействий элементов внутри си- стемы осуществляется с помощью некоторого алгоритма, реали- зуемого обычно с использованием ЭВМ. Для моделирования на
ЭВМ реального времени вводится понятие системного времени.
В качестве моделей отдельных элементов могут быть использо- ваны модели любого типа. Модели имитационного типа исполь- зуются для моделирования производственных процессов.
Следующая классификация строится от операторного описа- ния модели, которая показана на рис. 4. Ос- новное деление идёт на
линейные и нелинейные модели. Второе разде- ление производится по виду операторов мо- дели – простые, кото- рые представляют со- бой функции и обыкно-
Рис. 4. Классификация по операторам модели.

59
венные дифференциальные уравнения (ОДУ), и сложные, кото- рые включают в себя системы алгебраических (САУ) и диффе-
ренциальных уравнений (СОДУ), дифференциальные уравнения в
частных производных (ДУЧП) и интегрально-дифференциаль-
ные уравнения (ИДУ).
Данная классификация позволяет выбрать метод решения за- дачи, который включает в себя преобразование модели и соб- ственное решение полученной задачи.
Классификация по входным и выходным параметрам показана на рис. 5.
Рис. 5. Классификация по входным и выходным параметрам.
Верхняя часть диаграммы относится как к входным парамет-
рам, так и выходным параметрам, которые можно разделить на
детерминированные – значения всех параметров модели опреде- ляются детерминированными величинами (то есть каждому пара- метру соответствует конкретное число либо соответствующая функция, данный тип соответствует полной определённости па- раметров) и неопределённые, последние в свою очередь можно разделить на стохастические – значения всех или отдельных па- раметров модели определяются случайными величинами, задан-

60 ными определёнными законами распределения случайных вели- чин, случайные – значения всех или отдельных параметров мо- дели устанавливаются случайными величинами, заданными оцен- ками плотностей вероятности, полученными в результате обра- ботки ограниченной экспериментальной выборки данных пара- метров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматриваемом случае получаемые результаты моделирова- ния будут существенным образом зависеть от точности оценок моментов и плотностей вероятности случайных параметров, от постулируемых законов распределения и объёма выборок, интер-
вальные – значения всех или отдельных параметров модели опи- сываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значе- ниями параметра, и нечёткие – значения всех или отдельных па- раметров модели описываются функциями принадлежности соот- ветствующему нечёткому множеству. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели задаётся экспертом на естественном языке, а, следовательно, в «нечётких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».
Выходные параметры обычно делятся по отношению к вре-
мени и пространству, что создаёт одно- двух- и трехпараметри-
ческие модели по пространству и статические или динамические по времени. По составу параметров их можно разделить на дис-
кретные (только целые числа, определённый набор состояний и т.п.) или непрерывные (весь диапазон вещественных чисел), либо
смешенные, когда часть параметров дискретны, а другая непре- рывные. По своим значениям параметры могут быть количе-
ственными, когда они имеют соответствующий набор чисел или
качественные, которые обычно представляются набором опреде- лённых описаний.
В зависимости от типов параметров применяются различные методы расчёта. Не каждая модель поддаётся обычному с точки зрения математики расчёту. В ряде случаев требуются совсем не математические методы решения данных задач, что показано в

61 классификации спосо- бов реализации и ис- следования модели
(рис. 6).
Метод реализации модели относится к
аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счётная совокупность арифметических операций и переходов.
Частным случаем аналитических выражений являются алгеб-
раические выражения, в которых используется конечное или счётное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечения корня.
Очень часто аналитическое решение для модели представляют в элементарных или специальных функциях: показательных, ло- гарифмических, тригонометрических, гиперболических и т.п. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (напри- мер, Тейлора). Учитывая различное число членов ряда, можно вы- числять значение функции с различной степенью точности.
Например, учёт первых шести членов ряда в разложении показа- тельной функции обеспечивает точность в 10
-6
, а первых десяти –
10
-10
Таким образом значение функции при каждом значении ар- гумента в этом случае определяется приближённо. Модели, ис- пользующие подобный приём, называются приближенными.
Аналитические методы реализации модели являются более удобными, позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить свойства объекта моделирования, применяя традицион- ные хорошо развитые математические методы анализа аналити- ческих функций. Применение аналитических методов возможно
Рис. 6. Классификация по способу реали- зации модели и её исследованию.

62 без использования ЭВМ (за исключением случаев, когда аналити- ческое решение определяется в рядах). Кроме того, знание анали- тического выражения для искомых параметров позволяет иссле- довать фундаментальные свойства объекта, его качественное по- ведение, строить новые гипотезы о его внутренней структуре.
Следует отметить, что возможности аналитических методов су- щественно зависят от уровня развития соответствующих разделов математики.
В настоящее время большой интереса к аналитическим мето- дам при решении моделей связан с появлением пакетов матема- тических вычислений (Derive. MatLab, Mathcad, Maple,
Maihemaiica, Scientific Workplace и др.). Спектр решаемых дан- ными пакетами задач очень велик и постоянно расширяется (эле- ментарная математика, символьные операции с полиномами, про- изводными и интегралами, с векторами и матрицами, задачи тео- рии поля и векторного анализа, метод конечных элементов и т.п.).
Применение подобных программных средств не только упрощает процедуру получения аналитического решения, но и облегчает последующий анализ полученного решения с применением раз- личного рода визуализаторов.
К сожалению, существующие в настоящее время математиче- ские методы позволяют получить аналитические решения только для относительно несложных математических моделей в узком диапазоне значений параметров. В большинстве случаев при ис- следовании моделей приходится использовать алгоритмические
подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.
При численном подходе математические выражения модели за- меняется конечномерными аналогами. Это чаще всего достига- ется дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргу- мента. После дискретизации исходной задачи выполняется по- строение вычислительною алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и

63 позволяющих за конечное число шагов получить решение дис- кретной задачи (в конечном числе заранее заданных узлов мо- дели). Найденное решение дискретной задачи принимается как приближенное решение исходной математической задачи.
Степень приближения определяемых с помощью численного метода искомых параметров модели зависит как от погрешностей самого метода, связанных с заменой исходной модели её дискрет- ным аналогом, так и от ошибок округления, возникающих при вы- полнении любых расчётов на ЭВМ в связи с конечной точностью представления чисел в её памяти. Основным требованием к вы- числительному алгоритму является необходимость получения ре- шения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов.
К настоящему времени круг вопросов, связанных с разработ- кой и использованием численных методов, а также с построением на их основе вычислительных алгоритмов, выделился в самосто- ятельный быстро развивающийся и обширный раздел - вычисли- тельную математику.
Если при численном подходе дискретизации подвергалась по- лученная система математических выражений, то при имитаци-
онном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект ис- следования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется неко- торым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитываю- щим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы. Модели отдельных элементов могут быть как аналити- ческими, так и алгоритмическими.
Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс ана- лиза результатов моделирования. Так как применение моделей данного типа возможно лишь при наличии вычислительной тех- ники, то их эффективность зависит от мощности и быстродей-