Файл: Численные методы и математическое моделирование.pdf

74 соотношений, такие, как это следует непосредственно из «фи- зического» смысла изучаемой модели.
- Контроль экстремальных ситуаций – проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также резуль- таты моделирования, если параметры модели или их комбина- ции приближаются к предельно допустимым для них значе- ниям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экс- тремальных ситуациях модель часто упрощается, математиче- ские соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка. Например, в задачах механики де- формируемого твёрдого тела деформация материала в иссле- дуемой области в изотермических условиях возможна лишь при приложении нагрузок, отсутствие же нагрузок должно приводить к отсутствию деформаций.
- Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они ис- пользованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовле- творяют данным условиям.
- Контроль физического смысла – проверка физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере кон- струирования модели.
- Контроль математической замкнутости, состоящий в про- верке того, что выписанная система математических соотно- шений даёт возможность, притом однозначно, решить постав- ленную математическую задачу. Например, если задача све- лась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгеб- раических или трансцендентных уравнений, то контроль за- мкнутости состоит в проверке того факта, что число независи- мых уравнений должно быть n. Если их меньше n, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента

75 или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превышает n. но сами уравне- ния удовлетворяются лишь приближённо, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов. Неравенств среди условий также может быть любое число, как это бывает, например, в задачах линейного программирования.
Математическая модель является корректной, если для неё осуществлён и получен положительный результат всех контроль- ных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.
Теперь попробуем построит свою математическую модель и проверить её корректность по описанным выше контрольным по- казателям.
Найдём зависимости x(t), у(t) и V
x
(t), V
y
(t) из решения системы дифференциальных уравнений:
dt
dy
V
mg
dt
dV
m
dt
dx
V
dt
dV
m
y
y
x
x




,
,
,
0
(2) при следующих начальных условиях:
x(0) = x
0
, у(0) = y
0
(3)
V
x
(t) = V
0 cos(α0), V
y
(t) = V
0
sin(α
0
)
(4)
Вычислим параметр Δ по формуле:
Δ = x(t
k
) – x
k
(5) где: t
k
определяем из условий: t
k
> 0, V
y
(t) < 0, y(t
k
) = y
k
Понятие корректности задачи имеет большое значение в при- кладной математике. Например, численные методы решения оправдано применять лишь к корректно поставленным задачам.
При этом далеко не все задачи, возникающие на практике, можно считать корректными (например, так называемые обратные за- дачи). Доказательство корректности конкретной математической задачи – достаточно сложная проблема, она решена только для

76 некоторого класса математически поставленных задач. Проверка математической замкнутости является менее сложной по сравне- нию с проверкой корректности математической постановки. В настоящее время активно исследуются свойства некорректных за- дач, разрабатываются методы их решения. Аналогично понятию
«корректно поставленная задача» можно ввести понятие «кор- ректная математическая модель».
Математическая модель является корректной, если для неё осуществлён и получен положительный результат всех контроль- ных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.
Проверим полученную модель по перечисленным выше крите- риям:
- Контроль размерностей: сила –
 
 
   



 




 





2 2
с
м
кг
с
м
кг
Н
с
с
м
кг
F
dt
dV
m
расстояние – скорость –
 
 







с
м
с
м
V
dt
dr
;
- Контроль порядков - Все переменные одного порядка;
- Контроль характера зависимостей - На основании многих опы-
тов соответствует;
- Контроль экстремальных ситуаций - Экстремальных ситуа-
ций в зависимости нет;
- Контроль граничных условий - Используются все;
- Контроль физического смысла – Есть;
- Контроль математической замкнутости – 4 уравнения и 4 не-
известные;
Следующим этапом является выбор и обоснования метода ре-
шения. Если модель пока не даёт полного описания и имеется много предположений, которые упрощают её, то скорее всего надо использовать алгоритмическое решение, которое всегда

77 можно усложнить новыми условиями и подмоделями, для уточ- нения результатов.
Однако надо помнить, что применение любого численного ме- тода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяются три основных составляющих возникновения погрешности при численном решении исходной задачи:
- неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффи- циенты и правые части уравнений) даже небольшие погреш- ности в исходных данных могут привести к большим ошиб- кам;
- погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи (например, заменяя производную
у'(х) разностным аналогом получаем погрешность дискретиза- ции, которая стремиться к 0 при шаге так же стремящемся к 0, но это приводит к увеличению количества расчётов и соответ- ственно времени расчёта);
- ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чи- сел, представляемых в ЭВМ.
Теперь реализуем непосредственное решение задачи. Имея
СОДУ (2) мы может её решить аналитически. Для этого сначала проинтегрируем (2) и из начальных условий (3, 4) найдём значе- ния констант и получим само решение:
 
 
 
 
 
 
 
 
gt
V
t
V
V
t
V
gt
t
V
y
t
y
t
V
x
t
x
y
x














0 0
0 0
2 0
0 0
0 0
0
sin
,
cos
,
2
sin
,
cos




(6)
Примем для простоты, что в момент броска мяч находится в начале координат и на одном уровне с корзиной (X
0
= Y
0
= Y
k
=0).
Под дальностью L броска будем понимать расстояние вдоль оси
Х, которое пролетит мяч от точки броска до пересечения с гори- зонтальной плоскостью, проходящей через кольцо корзины. То- гда дальность броска выразится следующим образом:
 
k
x
L
g
V
L




,
2
sin
0 2
0

(7)

78
Попробуем усложнить задачу (пусть координаты Y точки броска и корзины будут разные) то решение сразу же резко усложнится из-за проверки ограничений и по координате Y, что исключает аналитическое решение задачи.
Попробуем решить эту же задачу алгоритмически. Для реше- ния СОДУ используем наиболее простой метод Эйлера. Алго- ритм решения показан на рис. 10.
Рис. 10. Алгоритм решения задачи методом Эйлера.
Вводим исходные данные, определяем начальные значения пе- ременных и в цикле (
Do … While
) вычисляем текущие значения ско- ростей и координат до тех пор, пока не достигнем значения Y
k
Точность решения напрямую зависит от заданного шага dt, кото- рый надо определить, что хорошо можно сделать из результатов аналитического решения задачи, принимая координату Y одина- ковой для точки броска и самой корзины. Полученной расстояние делим на заданной число шагов, например, 25 для нахождение не- обходимого шага.
Теперь надо создать программу, но прежде чем переходить к этому шагу, остановимся немного на общих этапах создания про- граммного обеспечения (ПО):
- техническое задание (ТЗ) определяет рамки и требования к со- здаваемому ПО, что исключает возможности заказчика к рас- ширению возможностей ПО;
- структура ПО может помочь правильно разбить подпро- граммы по их назначению и может существенно упростить все

79
ПО;
- кодирование алгоритма и есть сам процесс написания ПО на алгоритмическом языке;
- тестирование и отладка ПО позволяют найти скрытые ошибки и оптимизироваться сам код;
Если ПО может быть востребовано другими пользователями или будут использовано в будущем (через полгода, год) то лучше написать хорошее описание программы и даже заниматься его поддержкой.
ТЗ может включать следующие разделы:
1. Название задачи – даётся краткое определение решаемой за- дачи, название программного комплекса, указывается система программирования для его реализации и требования к аппарат- ному обеспечению (компьютеру, внешним устройствам и т.д.);
2. Описание – подробно излагается математическая постановка задачи, описываются применяемая математическая модель для за- дач вычислительного характера, метод обработки входных дан- ных для задач не вычислительного (логического) характера и т.д.
3. Управление режимами работы программы — формируются основные требования к способу взаимодействия пользователя с программой (интерфейс «пользователь-компьютер»),
4. Входные данные – описываются входные данные, указыва- ются пределы, в которых они могут изменяться, значения, кото- рые они не могут принимать, и т.д.
5. Выходные данные – описываются выходные данные, указы- вается, в каком виде они должны быть представлены (в числовом, графическом или текстовом), приводятся сведения о точности и объёме выходных данных, способах их сохранения и т.д.
6. Ошибки – перечисляются возможные ошибки пользователя при работе с программой (например, ошибки при вводе входных данных), указываются способы диагностики (в данном случае под диагностикой понимается выявление, обнаружение ошибок при работе программного комплекса) и защиты от этих ошибок на этапе проектирования, а также возможная реакция пользователя

80 при совершении им ошибочных действий и реакция программ- ного комплекса (компьютера) на эти действия.
7. Тестовые задачи – приводятся один или несколько тестовых примеров, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного комплекса.
Чем сложнее ПО, тем более серьёзным должно быть ТЗ.
После создания ПО переходят к проверке её адекватности. Под
адекватностью математической модели будет пониматься сте- пень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.
Проверка адекватности модели преследует две цели:
- убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформули- рованных на этапах концептуальной и математической поста- новок. Переходить к проверке гипотез следует лишь после проверки использованных методов решения, комплексной от- ладки и устранения всех ошибок и конфликтов, связанных с программным обеспечением;
- установить, что точность полученных результатов соответ- ствует точности, оговорённой в техническом задании.
Проверка разработанной математической модели выполняется путём сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае гово- рят о проверке путём сравнения с экспериментом, во втором – о сравнении с результатами решения тестовой задачи.
Решение вопроса о точности моделирования зависит от требо- ваний, предъявляемых к модели, и её назначения. При этом должна учитываться точность получения экспериментальных ре- зультатов или особенности постановок тестовых задач. В моде- лях, предназначенных для выполнения оценочных и прикидоч- ных расчётов, удовлетворительной считается точность 10÷15%. В моделях, используемых в управляющих и контролирующих си- стемах, требуемая точность может быть 1÷2% и даже более.
Неадекватность результатов моделирования возможна, по

81 крайней мере, по трём причинам:
1. значения задаваемых параметров модели не соответствуют допустимой области этих параметров, определяемой приня- той системой гипотез. Например, в задаче о баскетболисте ги- потезу об отсутствии сопротивления воздуха можно исполь- зовать лишь при относительно малых (менее 5 м/с) скоростях движения тела. При больших значениях начальной скорости мяча влияние силы сопротивления будет существенным;
2. принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно. Например, в случае задачи о баскетболисте значение ускорения свободного падения g может быть уточнено в зави- симости от широты местности, где находится баскетболист;
3. неверна исходная совокупность гипотез.
Все три случая требуют дополнительного исследования как моделируемого объекта (с целью накопления новой дополнитель- ной информации о его поведении), так и исследования самой мо- дели (с целью уточнения границ ее применимости).
Не будем анализировать влияние выбранного численного ме- тода на точность получаемого решения, а рассмотрим только ре- зультаты и выбранные методики:
Аналитическое решение задачи о баскетболисте и позволяют определить значения координат и скоростей центра масс мяча в любой момент времени. Это уравнение параболы в параметриче- ской форме, что качественно соответствует реальности.
Для удовлетворительной оценки точности попадания мяча в корзину расхождение результатов моделирования и эксперимента не должно превышать 1÷2 см. Это трудно доказать, но анализ по- казывает, что надо учитывать силы сопротивления воздуха:
F
сопр
= k
сопр
*V = 6*Пи()*μ*R
(8)
Учёт сил сопротивления в аналитической форме уже не даёт возможность получения желаемого ответа. Решение может быть получено только в алгоритмической форме.
Рассмотрим вопросы адекватности модели для нашей задачи.

82
В данном случае не анализируем влияние выбранного числен- ного метода на точность получаемого решения, а значит, и на адекватность модели. Вопрос о сходимости алгоритма и устойчи- вости получаемого выбранным численным методом решения, а также накопление погрешностей, связанных с ошибками округле- ния при использовании ЭВМ, здесь рассматривать пока не будем.
Аналитическое решение задачи о баскетболисте и позволяют определить значения координат и скоростей центра масс мяча в любой момент времени. Для координат х и у это уравнение пара- болы в параметрической форме. Мяч при броске движется по тра- ектории, близкой к ней. Поэтому в данном случае можно говорить о качественном совпадении результатов моделирования и экспе- риментальных данных. Вопрос о количественном совпадении ре- зультатов моделирования и эксперимента скорее всего будет ре- шён отрицательно, так как отказ от учёта силы сопротивления воздуха является грубым предположением. Для удовлетворитель- ной оценки точности попадания мяча в корзину расхождение ре- зультатов моделирования и эксперимента не должно превышать
1-2 см. Поэтому гипотезу об отсутствии силы сопротивления воз- духа в концептуальной постановке задачи надо учитывать через силу сопротивления.
Если Вы добавите наше аналитическое решение учёт этой силы, то мы получаем нелинейное уравнение, из которого нельзя математическими методами получить аналитическое решение.
Последним этапом разработки и внедрения модели является её практическое использование в работе и поддержка разработчи- ками определённое время эксплуатации.

83