Файл: Численные методы и математическое моделирование.pdf

64 ствия ЭВМ. Несомненным достоинством алгоритмических моде- лей является отсутствие принципиальных ограничений на слож- ность модели, что позволяет применять их для исследования си- стем произвольной сложности.
Классификация по целям мо- делирования (рис. 7) строит мо- дели по своим окончательным задачам, к которым решение стремится.
Целью дескриптивных моде-
лей (от лат. descriptio - описание) является установление законом изменения параметров модели. В качестве примера такой модели можно привести модель движения материальной точки под дей- ствием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона.
Полученная модель описывает зависимость выходных парамет- ров от входных, поэтому дескриптивные модели являются реали- зацией описательных и объяснительных содержательных моде- лей на формальном уровне моделирования.
Оптимизационные модели предназначены для определения оп- тимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия па- раметров моделируемого объекта или же для поиска оптималь- ного (наилучшего) режима управления некоторым процессом.
Часть параметров модели относят к параметрам управления, из- меняя которые можно получать различные варианты наборов зна- чений выходных параметров. Как правило, данные модели стро- ятся с использованием одной или нескольких дескриптивных мо- делей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различные варианты наборов значений выходных параметров между собой с целью выбора наилучшего. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств, связанные с особенностями рассматрива- емого объекта или процесса. Целью оптимизационных моделей
Рис. 7. Классификация по целям моделирования.

65 является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значе- ния».
Управленческие модели применяются для принятия эффектив- ных управленческих решений в различных областях целенаправ- ленной деятельности человека. В общем случае принятие реше- ний является процессом, по своей сложности сравнимым с про- цессом мышления в целом. Однако на практике под принятием решений обычно понимается выбор некоторых альтернатив из их заданного конечного множества, а общий процесс принятия ре- шений представляется как последовательность таких выборов альтернатив.
Теперь рассмотрим сам алгоритм построения модели.

66

67 объектах-аналогах, проведение при необходимости дополни- тельных экспериментов;
- аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту);
- анализ и обобщение всего накопленного материала, разра- ботка общего плана создания математической модели.
Весь собранный в результате обследования материал о накоп- ленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку мо- дели.
Для более доступного разбора всех этапов построения модели рассмот- рим их на примере построения модели броска мяча баскетболистом, схема которого показана на рис. 9. Сама по- становка задачи звучит следующим образом: необходимо математически описать бросок мяча баскетболистом и найти условия при кото- рых мяч будет попадать прямо с кольцо.
По результатам обследования делается содержательная поста- новка задачи:
Разработать математическую модель, позволяющую опи-
сать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскет-
больную корзину.
Модель должна позволять:
- Вычислять положение мяча в любой момент времени;
- Определять точность попадания мяча в корзину после броска
при различных начальных параметрах.
Исходные данные:
- Масса и радиус мяча;
- Начальные координаты игрока, начальная скорость и угол
Рис. 9. Постановка задачи.

68
броска;
- Координаты и диаметр корзины.
Вторым этапом построения модели становится концептуаль-
ная постановка задачи моделирования это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.
Для нашей задачи с баскетболиста на выглядит следующим об- разом: движение баскетбольного мяча может быть описано в
соответствии с законами классической механики Ньютона.
Примем следующие допущения (гипотезы):
- Объектом моделирования является баскетбольный мяч с из- вестным радиусом;
- Мяч считаем материальной точкой массой m, совпадающей с центром мяча;
- Движение происходит в поле сил тяжести с постоянным уско- рением g;
- Движение происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности земли и проходящей через точку броска и центр корзины;
- Пренебрегаем сопротивлением воздуха и другими возмуще- ниям, вызванными вращением мяча вокруг центра своей массы.
Здесь мы должны описать механизмы описания и расчета мо- дели.
Принятые допущения и гипотезы упрощают нашу задачу. В со- ответствии с изложенными гипотезами в качестве параметров движения мяча можно использовать координаты (х и у) и скорость в ее проекциях V
x
и V
y
для центра массы мяча. Тогда для опреде- ления положения мяча в любой момент времени достаточно найти закон движения центра масс мяча, т.е. зависимость коорди- нат х, у и проекций вектора скорости V
x
и V
y
центра мяча от вре- мени. В качестве оценки точности броска можно рассматривать

69 величину расстояния по горизонтали (вдоль оси х) от центра кор- зины до центра мяча в момент, когда последний пересекает гори- зонтальную плоскость, проходящую через плоскость кольца кор- зины.
Из данных допущений и гипотез можно построить простей- шую концептуальную модель: определить закон движения мате- риальной точки массой m под действием силы тяжести, если из- вестны:
- начальные координаты точки X
0
и Y
0
;
- начальная скорость V
0
и угол бросания α
0
;
- центр корзины имеет координаты X
k
и Y
k
Вычислить точность броска
Δ = X
tk
– X
k
,
(1) где t
k
– определяется из условий: t
k
> 0, V
y
< 0, Y(t
k
)= Y
k
Рассмотрим особенности приведённой в примере концептуаль- ной постановки задачи о баскетболисте. Первая из перечислен- ных гипотез особенно важна, так как ока выделяет объект моде- лирования. В данном случае объект можно считать простым. Од- нако в качестве объекта моделирования можно рассматривать си- стему «игрок – мяч – кольцо» Требуемая для описания подобной системы модель будет уже намного сложнее, так как игрок в свою очередь представляет сложную биомеханическую систему и его моделирование является далеко не тривиальной задачей. В дан- ной ситуации выбор в качестве объекта моделирования только мяча обоснован, поскольку именно его движение требуется ис- следовать, а влияние игрока можно учесть достаточно просто че- рез начальные параметры броска. Для сложных систем выбор объекта моделирования – далеко не простая и неоднозначная за- дача.
Гипотеза о том, что мяч можно считать материальной точкой, широко применяется для исследования движений тел в механике.
В рассматриваемом случае она оправдана в силу симметрии формы мяча и малости его радиуса по сравнению с характерными расстояниями перемещения мяча. Предполагается, что последний

70 является шаром с одинаковой толщиной стенки.
Гипотезу о применимости в данном случае законов классиче- ской механики можно обосновать огромным экспериментальным материалом, связанным с изучением движения тел вблизи поверх- ности Земли со скоростями много меньше скорости света. Учиты- вая, что высота полёта мяча лежит в пределах 5÷10 м, а дальность
– 5÷20 и предположение о постоянстве ускорения свободного па- дения также представляется обоснованным. Если бы моделирова- лось движение баллистической ракеты при дальности и высоте полёта более 100 км, то пришлось бы учитывать изменение уско- рения свободного падения в зависимости от высоты и широты ме- ста.
Гипотеза о движении мяча в плоскости, перпендикулярной по- верхности Земли, ограничивает класс рассматриваемых траекто- рий и значительно упрощает модель. Траектория мяча может не лежать в одной плоскости, если при броске он сильно подкручи- вается вокруг вертикальной оси. В этом случае скорости точек по- верхности мяча относительно воздуха на различных сторонах мяча будут различны. относительно воздуха на различных сторо- нах мяча будут различны. Для точек, движущихся навстречу по- току, относительная скорость выше, а для точек противополож- ной стороны, движущихся по потоку, – ниже скорости центра масс мяча. В соответствии с законом Бернулли, давление газа на поверхность больше там, где его относительная скорость меньше.
Поэтому на мяч могут действовать дополнительные силы. Этот эффект будет проявляться тем больше, чем больше скорость цен- тра масс мяча и скорость его вращения. Для баскетбола харак- терны относительно низкие скорости полёта мяча (до 10 м/с). При этом довольно редко используется подкрутка мяча рукой. По- этому гипотеза о движении мяча в одной плоскости кажется оправданной. Её использование позволяет отказаться от построе- ния значительно более сложной трёхмерной модели движения мяча.
Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха

71 наименее обоснована. При движении тела в газе или жидкости сила сопротивления увеличивается с ростом скорости движения.
Учитывая невысокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую форму и малые дальности бросков, указанная гипо- теза может быть принята в качестве первого приближения.
Следует отметить, что концептуальная постановка задачи мо- делирования в отличие от содержательной постановки использует терминологию конкретной дисциплины (в рассматриваемом слу- чае - механики). При этом моделируемый реальный объект (мяч) заменяется его механической моделью (материальной точкой).
Фактически в приведённом примере концептуальная постановка свелась к постановке классической задачи механики о движении материальной точки в поле сил тяжести. Концептуальная поста- новка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке можно сопоставлять произвольный матери- альный объект, брошенный под углом к горизонту футбольный мяч, ядро, камень или снаряд.
Построив концептуальную модель, можно переходить к созда- нию математической модели. Математическая постановка за- дачи моделирования – это совокупность математических соотно- шений, описывающих поведение и свойства объекта моделирова- ния. Наиболее простыми могут быть операторы модели, которые представлены системой алгебраических уравнений. Подобные модели можно назвать моделями аппроксимационного типа, так как для их получения часто используют различные методы ап- проксимации имеющихся экспериментальных данных о поведе- нии выходных параметров объекта моделирования в зависимости от входных параметров и воздействий внешней среды, а также от значений внутренних параметров объекта.
Однако область применения моделей подобного типа ограни- чена. Для создания математических моделей сложных систем и процессов, применимых для широкого класса реальных задач тре- буется, как уже отмечалось выше, применение большого объёма

72 знаний, накопленных в рассматриваемой дисциплине (а в некото- рых случаях и в смежных областях). В большинстве дисциплин
(особенно естественно научных) эти знания сконцентрированы в аксиомах, законах, теоремах, имеющих чёткую математическую формулировку.
Следует отметить, что во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соот- ношения, описывающие поведение отдельных объектов или их совокупностей. К числу первых в физике и механике относятся основные законы сохранения, например, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определённых условиях для любых материальных тел, незави- симо от их конкретного строения, структуры, состояния, химиче- ского состава. Уравнения этого класса подтверждены огромным количеством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого при- меняются в соответствующих математических моделях как дан- ность. Соотношения второго класса в физике и механике назы- вают определяющими или физическими уравнениями, или урав- нениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидко- стей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздей- ствиях различных внешних факторов.
Совокупность математических соотношений, указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев опе- ратор модели включает в себя систему обыкновенных дифферен- циальных уравнений (ОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) и/или интегрально-дифференци- альных уравнений (ИДУ) Для обеспечения корректности поста- новки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные и/или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями раз- личного порядка.
Можно выделить несколько наиболее распространённых типов

73 задач для систем ОДУ или ДУЧП:
- задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным
(начальным условиям) определяются значения этих искомых переменных для любого момента времени;
- начально-граничная, или краевая, задача, когда условия на ис- комую функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на гра- нице последней в каждый момент времени (на исследуемом интервале);
- задачи на собственные значения, в формулировку которых входят неопределённые параметры, определяемые из условия качественного изменения поведения системы (например, по- теря устойчивости состояния равновесия или стационарного движения, появление периодических режимов и т.д.).
Для контроля правильности полученной системы математиче- ских соотношений требуется проведение ряда обязательных про- верок:
- Контроль размерностей, включающий правило, согласно ко- торому приравниваться и складываться могут только вели- чины одинаковой размерности. При переходе к вычислениям данная проверка сочетается с контролем использовании одной и той же системы единиц для значений всех параметров.
- Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнитель- ных порядков складываемых величин и исключением мало- значимых параметров. Например, если для выражения
х+у+z=0 в результате оценки установлено, что в рассматрива- емой области значений параметров модели |z|<<|x| и |z|<< |y| – то третьим слагаемым в исходном выражении можно прене- бречь.
- Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных пара- метров модели, вытекающие из выписанных математических